【北师大版八上同步练习】 第二章 实数（能力提升）检测题（含答案）

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【北师大版八上同步练习】
第二章实数（能力提升）检测题
一、单选题
1．我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　）
A．①③ B．①② C．①④ D．③④
2．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(2，3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4． 已知、b、c是△ABC三边的长，则的值为(　　)
A．2 B．2b C．2c D．2(-c)
5．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为 4，3，2，则图中阴影部分的面积为 （　　）
A．2 B． C． D．
二、判断题
6．若a+1是负数，则a必小于它的倒数．
三、填空题
7．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）
8．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为　 　
9．若一个各位数字均不为的四位数（，，，，，，为整数）满足：把的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字组成的两位数与的和记作，的千位数字与个位数字的倍的和记作，如果的各位数字之和与的和是一个正整数的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数称“赓续元素”；当，时，最小“赓续数”为　 　；若“赓续数”满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大为　 　.
四、计算题
10．计算（需写出计算过程）：
（1）；
（2）．
11． 计算
（1）
（2）
12．已知y＜ + +3，化简|y﹣3|﹣ ．
五、解答题
13．当分别取下列值时，求二次根式的值．
（1）．
（2）．
（3）．
14． 计算下列各式并归纳结论：
（1）　 　；　 　；
（2）　 　；　 　；
（3）根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论：　 　（选填“”或“”）．
15．阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令 则 ；
③ ，则 ；
……以此类推 次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值.
①取正数 .
②于是 a2= 　 　；则　 　
③ 的3阶过剩近似值 是　 　，3阶不足近似值是　 　
六、综合题
16．已知x－9的平方根是±3，x＋y的立方根是3.
（1）求x，y的值；
（2）x－y的平方根是多少？
17．
（1）若等式x2+ax+19=（x-5）2-b成立，则a+b的值为（　　）
A．16 B．-16 C．4 D．-4
（2）一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加44 cm2，这个正方形的原边长是　 　cm．
18．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
七、实践探究题
19．综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
20．阅读材料：像，……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）与　 　互为有理化因式；
（2）计算：；
（3）已知有理数a，b满足，求a，b的值．
21． 阅读理解：
若x满足，试求的值，
解：设，，则，且a＋b＝(210－x)＋(x－200)＝10，
∵，
∴，即的值为．
解决问题
（1）若x满足，则　 　；
（2）若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x ，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；乘方的相关概念；求算术平方根
3．【答案】A
【知识点】无理数的估值；勾股定理
4．【答案】B
【知识点】二次根式的定义；三角形三边关系；绝对值的概念与意义
5．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
6．【答案】正确
【知识点】无理数的概念
7．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算
8．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
9．【答案】1119；8127
【知识点】整式的混合运算；定义新运算；实数运算的实际应用
10．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
11．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=6-2
=4
【知识点】二次根式的混合运算
12．【答案】解：根据题意得： ，解得：x=2，
则y＜3，
则原式=3﹣y﹣|y﹣4|
=3﹣y﹣（4﹣y）
=-1．
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
13．【答案】（1）解：把x=0代入 得， =；
（2）解：把x=2代入 得， =；
（3）解：把x=代入 得， =.
【知识点】二次根式的化简求值
14．【答案】（1）4；2
（2）解：12；8
（3）≠
【知识点】探索数与式的规律；算术平方根的性质（双重非负性）
15．【答案】；；；
【知识点】无理数的估值
16．【答案】（1）解：∵x－9的平方根是±3，
∴x－9＝9，解得x＝18.
∵27的立方根是3，
∴x＋y＝27，
∴y＝9
（2）解：由(1)得x－y＝18－9＝9，9的平方根是±3，
∴x－y的平方根是±3
【知识点】平方根；立方根及开立方
17．【答案】（1）D
（2）10
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
18．【答案】（1）|
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
19．【答案】解：∵，，
∴．
∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示．
∴．
∵，
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴彩带长度最小值为．
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
20．【答案】（1）
（2），
，
，
，
；
（3）∵，
，
∴，，
∴，．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
21．【答案】（1）100
（2）解：设，，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，
∵，
∴，解得，即的值为
（3）解：由图及题中条件可知正方形CFGH 的边长为，正方形CEMN的边长为，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到，
阴影部分面积为，
设，，则，且a＋b＝(10－x)＋(x－6)＝4，
∵，
∴，
，
阴影部分面积为．
【知识点】完全平方公式及运用
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