1．3 两条直线的平行与垂直
1.3.1 两条直线的平行与垂直(1)
一、 单项选择题
1 已知过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5)的直线平行，则m的值为( )
A. －1 B. －2
C. 2 D. 1
2 (2023邢台质检联盟月考)若直线ax＋2y－6＝0与直线3x＋(a＋5)y＋3＝0平行，则实数a的值为( )
A. －6 B. 1
C. －6或1 D. 3
3 顺次连接点A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)所构成的图形是( )
A. 平行四边形 B. 直角梯形
C. 等腰梯形 D. 以上都不对
4 (2023黄石阶段练习)若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay－3－a＝0平行”的( )
A. 充要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充分且不必要条件
D. 既不充分又不必要条件
5 (2023潍坊月考)已知直线l1：y＝kx＋1(k∈R)，直线l2：x－y＋1＝0，则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交
C. 重合 D. 相交或重合
6 已知直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为( )
A. 4和3 B. －4和3
C. －4和－3 D. 4和－3
二、 多项选择题
7 已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1，0)，B(3，1)，则下列结论中正确的是( )
A. 直线l恒过定点(0，1)
B. 当m＝0时，直线l的斜率不存在
C. 当m＝1时，直线l的倾斜角为
D. 当m＝－时，直线l与直线AB平行
8 满足下列条件的直线l1，l2一定互相平行的是( )
A. 直线l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，直线l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B. 直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点M(3，2)，N(－2，－3)
C. 直线l1平行于y轴，直线l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)
D. 直线l1：y＝1，直线l2：y＝2
三、 填空题
9 过点P(3，4)且与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为______________．
10 (2023全国课时练习)已知点A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则实数m的值为________．
11 直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角α为________，过点(2，0)且与直线l平行的直线方程是________．
四、 解答题
12 已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和 点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，求实数a的值．
13 (2023天津四十二中月考)已知直线l1：(m＋2)x＋my－8＝0与直线l2：mx＋y－4＝0，m∈R.
(1) 若l1∥l2，求实数m的值；
(2) 若点P(1，m)在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．
【答案解析】
1．3 两条直线的平行与垂直
1.3.1 两条直线的平行与垂直(1)
1. B 由题意，得kAB＝＝，kCD＝＝.因为AB∥CD，所以kAB＝kCD，所以＝，解得m＝－2.
2. B 因为直线ax＋2y－6＝0与直线3x＋(a＋5)y＋3＝0平行，所以解得a＝1.
3. A 因为A(－4，3)，B(2，5)，C(3，2)，D(－3，0)，所以kAB＝＝，kBC＝＝－3，kCD＝＝，kAD＝＝－3，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，所以四边形ABCD是平行四边形．
4. A 因为直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay－3－a＝0平行的充要条件是＝且≠，即1＝a2，且－3a－a2≠2，解得a＝1，所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．
5. D 直线x－y＋1＝0可化为y＝x＋1，所以当k＝1时，两直线重合；当k≠1时，两直线相交．
6. C 由题意，得＝，则n＝－3.又直线mx＋ny＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，所以＝≠，解得m＝－4.
7. CD 直线l恒过点(0，－1)，故A错误；当m＝0时，直线l的方程为y＝－1，斜率为0，故B错误；当m＝1时，直线l的斜率为－1，倾斜角为，故C正确；当m＝－时，直线l的方程为y＝x－1.直线AB的方程为y＝(x－1)，即y＝x－，与直线l斜率相同且不重合，所以直线l与直线AB平行，故D正确．故选CD.
8. ACD 对于A，kAB＝－，kCD＝－，且A，B，C，D四点不共线，则l1∥l2，故A正确；对于B，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，则l1∥l2或l1，l2重合，故B错误；对于C，直线l2即为y轴，l1∥l2，故C正确；对于D，直线l1∥l2，故D正确．故选ACD.
9. 2x－y－2＝0 设与直线2x－y＋1＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0，将点P(3，4)的坐标代入直线方程，得m＝－2×3＋4＝－2，所以所求直线的方程为2x－y－2＝0.
10. 0或1 当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或m＝1时，由图形知，两直线不重合．综上，m的值为0或1.
11. x＋y－2＝0 由直线l：x＋y＋1＝0可得y＝－x－，所以k＝tan α＝－，由0≤α<π知α＝.过点(2，0)且与直线l平行的直线的斜率为－，所以y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.
12. 由题意，得l1∥l2，所以kl1＝kl2.因为kl1＝kAB＝＝－，kl2＝kMN＝＝3，所以－＝3，解得a＝－6.经检验，当a＝－6时，直线AB与直线MN没有公共点，满足题意，所以实数a的值为－6.
13. (1) 因为l1∥l2，所以m≠0，且＝≠，
由＝，得m2－m－2＝0，
解得m＝－1或m＝2.
又m≠2，所以m＝－1.
(2) 因为点P(1，m)在直线l2上，
所以m＋m－4＝0，解得m＝2，
所以点P的坐标为(1，2)，
所以设直线l的方程为y－2＝k(x－1)(k≠0).
令x＝0，则y＝2－k，令y＝0，则x＝1－.
因为直线l在两坐标轴上的截距之和为0，
所以1－＋2－k＝0，解得k＝1或k＝2，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或2x－y＝0.1．3.2 两条直线的平行与垂直(2)
一、 单项选择题
1 (2023河南新高中创新联盟期中)过点 (－1，2)且与直线x－y－1＝0垂直的直线l的方程为( )
A. x＋y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y－1＝0 D. x－y＋1＝0
2 若直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点( )
A. (－1，2) B. (2，1)
C. (1，－2) D. (1，2)
3 已知点A(1，－2)，B(m，2)，若线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A. －2 B. －7 C. 3 D. 1
4 已知点M(3，0)，N(1，4)，点P在y轴上，且∠MPN＝90°，则点P的坐标为( )
A. (0，1) B. (0，2)
C. (0，3) D. (0，1)或(0，3)
5 已知直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，l3：mx＋6y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n 的值为( )
A. －10 B. 10
C. －2 D. 2
6 已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )
A. 10 B. －4
C. 0 D. 14
二、 多项选择题
7 (2023江门台山一中期中)已知直线2x＋ay＝2和ax＋2y＝1，则下列说法中正确的是( )
A. 若l1∥l2，则a＝2
B. 若l1⊥l2，则a＝0
C. 若l1∥l2，则a＝±2
D. 若l1⊥l2，则a＝1
8 (2023南昌一中月考)已知直线m：(a＋1)x＋ay＋2＝0，n：ax＋(1－a)y－1＝0，则下列说法中正确的是( )
A. 直线m恒过点(2，－2)
B. 若m∥n，则a2＝
C. 若m⊥n，则a2＝1
D. 当0≤a≤1时，直线n不经过第三象限
三、 填空题
9 (2023南京期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2，)和N(4，0)，点Q在x轴上．若直线MQ与直线MN的夹角为，则点Q的坐标为________．
10 已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则边AB上的高所在直线的斜率为________．
11 已知直线l过点(1，－4)，若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，则直线l的方程是______________；若直线l与直线2x＋3y＋5＝0垂直，则直线l的方程是____________．
四、 解答题
12 (2023东莞南城开心实验学校期中)已知直线l：(a＋b)x＋(a－2b)y－(a－b)＝0(a，b均为不等于0的实数)，直线m：x＋2y－1＝0.
(1) 若l∥m，求的值；
(2) 若a＝1时，直线l过定点A，且l⊥OA(O为坐标原点)，求实数b的值．
13 (2023杭州钱塘联盟期中)已知△ABC的三个顶点是A(1，2)，B(－1，4)，C(4，5)，求：
(1) 边AC上的中线所在直线的方程；
(2) 边BC上的高所在直线的方程．
【答案解析】
1．3.2 两条直线的平行与垂直(2)
1. C 因为直线x－y－1＝0的斜率为1，所以所求直线l的斜率为－1.又直线l过点(－1，2)，所以由点斜式方程可知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
2. C 由两直线垂直，得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)，得x＋y＋1＝0，过点(1，－2).
3. C 因为A(1，－2)和B(m，2)的中点C 在直线x＋2y－2＝0上，所以－2＝0，所以m＝3.
4. D 因为点P在y轴上，所以设点P(0，y).因为M(3，0)，N(1，4)，且∠MPN＝90°，所以kMP·kNP＝·＝－1，解得y＝1或y＝3，即P(0，1)或(0，3).
5. C 因为直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，且l1∥l2，所以2n＝2×4，解得n＝4，经检验成立．因为直线l1：2x＋2y－1＝0，l3：mx＋6y＋1＝0，且 l1⊥l3，所以2m＋2×6＝0，解得m＝－6，所以m＋n＝－2.
6. B 由题意，得k1＝－，k2＝，所以－×＝－1，解得a＝10.将点(1，c)代入直线l1的方程，得c＝－2，代入直线l2的方程，得b＝－12，所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
7. BC 若l1∥l2，则4－a2＝0且－a≠－4，解得a＝±2，故A错误，C正确；若l1⊥l2，则2a＋2a＝0，解得a＝0，故B正确，D错误．故选BC.
8. BD 对于A，将(a＋1)x＋ay＋2＝0变形为a(x＋y)＋x＋2＝0，令解得故直线m恒过点(－2，2)，故A错误；对于B，若m∥n，则(a＋1)(1－a)－a2＝0且－(a＋1)－2a≠0，解得 a2＝，故B正确；对于C，若m⊥n，则a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C错误；对于D，当a＝0时，y＝1，直线n不经过第三象限；当a＝1时，x＝1，直线n不经过第三象限；当0
0，所以直线n：ax＋(1－a)y－1＝0经过第一、二、四象限，不经过第三象限．综上，当0≤a≤1时，直线n不经过第三象限，故D正确．故选BD.
9. 设点Q的横坐标为a，则kMQ＝，kMN＝－.因为MQ与MN相互垂直，所以kMQ·kMN＝－1，解得a＝，故点Q的坐标为.
10. － 因为A(－2，－4)，B(6，6)，所以直线AB的斜率为k＝＝，所以边AB上的高所在直线的斜率为－.
11. 2x＋3y＋10＝0 3x－2y－11＝0 设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程是2x＋3y＋m＝0，将点(1，－4)代入方程，得m＝10，故所求的直线方程为 2x＋3y＋10＝0.设与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线l的方程是 3x－2y＋n＝0，将点(1，－4)代入方程，得n＝－11，故所求的直线方程为 3x－2y－11＝0.
12. (1) 因为l∥m，所以＝≠，解得＝－.
(2) 当a＝1时，直线l：(1＋b)x＋(1－2b)y＋b＝1，
即(x－2y＋1)b＝1－x－y.
令得即A，
所以OA的斜率k＝2，
故kl＝－＝，解得b＝－.
13. (1) 设AC的中点为D，则D，
所以kBD＝＝－，
所以边AC上的中线所在直线的方程为y－4＝－(x＋1)，
即x＋7y－27＝0.
(2) 因为kBC＝＝，
所以边BC上的高所在直线的斜率为－5，
所以边BC上的高所在直线的方程为y－2＝－5(x－1)，
即5x＋y－7＝0.