1.4 两条直线的交点 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1．4　两条直线的交点
一、 单项选择题
1 直线y＝x与直线x＋y－2＝0的交点坐标是(　　)
A. (1，1) B.
C. (1，2) D. (2，1)
2 (2023泸州泸县五中月考)若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3 若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线 kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k满足(　　)
A. k≠1且k≠9
B. k≠1且k≠－9
C. k≠－1且k≠9
D. k≠－1且k≠－9
4 已知两条直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(1，2)，则过Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点的直线方程为(　　)
A. x－2y－1＝0 B. x＋2y－1＝0
C. 2x－y－1＝0 D. 2x＋y－1＝0
5 (2023宿州泗县二中月考)若y＝－a|x|的图象与直线y＝－a＋x(a<0)有两个不同的交点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，0) B. (－∞，－1)
C. (－∞，0) D. {－1}
6 (2023常德期中)若直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线为l2，则直线l2的方程为(　　)
A. 2x＋y＋1＝0 B. x＋2y－1＝0
C. x＋y＝0 D. x－2y＋3＝0
二、 多项选择题
7 若两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的有(　　)
A. ① B. ②
C. ③ D. 以上都不正确
8 (2023长沙期中)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0能构成三角形，则实数m的取值可能为(　　)
A. 2 B. － C. － D.
三、 填空题
9 若直线l1：x＋by＝1与直线l2：x－y＝a的交点坐标为(0，2)，则a＝________，b＝________．
10 已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a－b＝________．
11 (2023仪征二中月考)已知直线x＋ky＋2＝0经过直线3x＋2y－9＝0和x－1＝0的交点，则实数k的值为________．
四、 解答题
12 (2023随州曾都一中期中)已知△ABC的顶点B(4，3)，边AB上的高所在的直线方程为2x＋3y－9＝0，E为边BC的中点，且AE所在的直线方程为x－3y－2＝0.
(1) 求顶点A，C的坐标；
(2) 求过点E且在x轴，y轴上截距相等的直线l的方程．
13 (2023绵阳南山中学月考)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x－y－2＝0和直线l2：x＋y＋3＝0.
(1) 求直线l1与l2的交点坐标；
(2) 过点P(3，0)作直线l与直线l1，l2分别交于点A，B，且满足＝，求直线l的方程．
【答案解析】
1．4　两条直线的交点
1. A　由解得则两直线的交点坐标为(1，1).
2. A　联立解得故两条直线的交点为.因为交点在第一象限，所以解得－3. B　因为直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，所以两直线不平行，当两直线平行时，3(2k－3)－k·[－(k＋2)]＝0，即k2＋8k－9＝0，解得k＝1或k＝－9，所以若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k满足k≠1且k≠－9.
4. B　因为两条直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(1，2)，所以a1＋2b1－1＝0，a2＋2b2－1＝0，则Q1，Q2两点在直线x＋2y－1＝0上，所以过Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)两点所在直线方程为x＋2y－1＝0.
5. B　当x≥0时，由－a|x|＝－a＋x，可得－ax＝－a＋x，当a≠－1时，解得x＝；当x<0时，由－a|x|＝－a＋x，可得ax＝－a＋x，由a<0可知，方程的解是x＝－.又y＝－a|x|的图象与直线y＝－a＋x(a<0)有两个不同的交点，所以其中a<0，解得a<－1.
6. D　联立解得即直线l1与l的交点为(－1，1).又点A(0，3)在直线l1上，设点A关于直线l的对称点为A1(a，b)，则解得即点A1(1，2)，所以直线l2的斜率k＝＝，所以直线l2的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
7. ABC　对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确；对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正确；对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，故③正确．故选ABC.
8. AD　因为三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0都不平行，且直线mx－y－1＝0不过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0都不平行时，m≠，且m≠－.联立解得即直线2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点坐标为，代入直线mx－y－1＝0，得m＝－，所以m≠－，结合选项可知实数m的取值可以为2或.故选AD.
9. －2　　将点(0，2)代入直线x＋by＝1，解得b＝，再将点(0，2)代入直线x－y＝a，解得a＝－2.
10. －3　因为直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，所以解得所以a－b＝－3.
11. －1　联立解得即两直线的交点为(1，3)，将点(1，3)代入直线x＋ky＋2＝0，得1＋3k＋2＝0，解得k＝－1，即实数k的值为－1.
12. (1) 因为边AB上的高所在的直线方程为2x＋3y－9＝0，
所以可设直线AB：3x－2y＋m＝0.
因为直线AB过点B(4，3)，则3×4－2×3＋m＝0，解得m＝－6，
所以直线AB：3x－2y－6＝0.
又直线AE：x－3y－2＝0，
联立解得
即点A的坐标为(2，0).
设C(x0，y0)，则点E，
所以－×3－2＝0.
因为点C在边AB上的高线上，
所以2x0＋3y0－9＝0.
联立解得
所以点C的坐标为(6，－1).
(2) 由(1)得点E(5，1)，
当直线l过坐标原点时，设y＝kx，
则1＝5k，解得k＝，
所以直线l：y＝x；
当直线l不过坐标原点时，设直线l：＋＝1(a≠0)，
则＋＝1，解得a＝6，
所以＋＝1，即x＋y－6＝0.
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y－6＝0.
13. (1) 由解得
所以直线l1与l2的交点坐标为.
(2) 由＝，可知P是线段AB的中点．
在直线l2上任取一点M(x0，－3－x0)，
则点M关于点P(3，0)的对称点N(6－x0，3＋x0).
因为点N在直线l1上，
所以2(6－x0)－(3＋x0)－2＝0，解得x0＝，
所以M，所以kl＝＝8，
所以直线l的方程为y＝8x－24，即8x－y－24＝0.