1．5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
一、 单项选择题
1 已知线段AB的中点坐标是(－2，3)，点A的坐标是(2，－1)，则点B的坐标是( )
A. (－6，7) B. (6，7)
C. (6，－7) D. (－6，－7)
2 已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过点A的中线长为( )
A. B. 2
C. 11 D. 3
3 已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为 (－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A. 2 B. 4 C. 5 D.
4 若在直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和B(5，－1)的距离之和最小，则该最小值为( )
A. 2 B. 5 C. 4 D. 10
5 (2023枣庄滕州一中月考)已知点A(4，1)，B(0，4)，直线l：3x－y－1＝0，点P在直线l上，则|PB－PA|的最大值为( )
A. B. 2 C. D. 2
6 (2023哈尔滨双城区兆麟中学期中)设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B 的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，线段AB的中点为Q，则PQ的值为( )
A. B.
C. D. 与m的取值有关
二、 多项选择题
7 直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )
A. (－4，5) B. (－3，4)
C. (－1，2) D. (0，1)
8 (2023沧州河间十四中月考)已知在以C(2，3)为直角顶点的等腰三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，则下列结论中正确的是( )
A. 点A的坐标是(2，1)或(4，3)
B. △ABC的面积等于4
C. 斜边AB的中点坐标是(3，2)
D. 点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1)
三、 填空题
9 已知点A(1，1)，B(4，3)，点P在x轴上，则PA＋PB的最小值为________．
10 已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．
11 (2023合肥一中期中)在△ABC中，顶点A(2，3)，点B在直线l：3x－y＋1＝0上，点C在x轴上，则△ABC周长的最小值为________．
四、 解答题
12 (2023沈阳二中期中)在△ABC中，已知点A(－1，0)，B(0，－1)，C(2，2).
(1) 在边BC上是否存在一点D，使得AD⊥BD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2) 求△ABC的面积．
13 已知点P(0，2)，Q(－1，1).
(1) 求经过点Q，且与点P距离最远的直线l的方程；
(2) 在(1)的条件下，若点M(3，1)，试在直线l上求一点T，使得PT＋MT最小，并求出最小值．
【答案解析】
1．5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
1. A 设点B的坐标是(x，y)，则解得
2. B 设过点A的中线为线段AD，D为BC的中点，则点D(4，－2)，所以AD＝＝＝2.
3. D 根据中点坐标公式，得＝1，且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.
4. C 点A(－3，1)关于直线y＝－2的对称点为A′(－3，－5)，若直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和点B(5，－1)的距离之和最小，则P为直线A′B与直线y＝－2的交点，所以该最小值为A′B＝＝＝4.
5. C 如图，作出点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，并延长交直线l于点P.根据点关于直线的对称图形的特征，知PB＝PB′，此时|PB－PA|＝|PB′－PA|＝B′A，在直线l上另取点P1，连接P1A，P1B，P1B′，则P1B＝P1B′，|P1B－P1A|＝|P1B′－P1A|6. A 因为直线x＋my－m＝0经过定点(0，1)，所以A(0，1).因为直线mx－y－m＋3＝0即m(x－1)－y＋3＝0经过定点(1，3)，所以B(1，3).易知这两条直线互相垂直，所以△ABP为直角三角形，所以PQ＝AB＝＝.
7. BC 设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或故选BC.
8. ACD 取AB的中点P(x，y).因为△ABC为等腰三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得x＝3，y＝2，则AB的中点P的坐标为(3，2)，故C正确；由C知＝3①，而3－yA＝3－(xA－1)＝4－xA，3－yB＝3－(xB－1)＝4－xB，且AC⊥BC，所以·＝(2－xA)(2－xB)＋(3－yA)(3－yB)＝20－6(xA＋xB)＋2xAxB＝0②，联立①②，解得或所以点A的坐标为(2，1)或(4，3)，故A正确；因为CP＝＝，AB＝2CP＝2，所以S△ABC＝AB·CP＝×2×＝2，故B错误；设点C关于直线AB的对称点为C1，则CC1的中点为P，所以xP＝＝3，所以xC1＝4.又因为＝－1，解得yC1＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1)，故D正确．故选ACD.
9. 5 如图，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，则PA′＝PA，所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B.因为A′B＝＝5，所以PA＋PB≥5.故PA＋PB的最小值为5.
10. 10 因为直线2x－y＝0和x＋ay＝0互相垂直，所以2×＝－1，解得a＝2，所以线段AB的中点为P(0，5)，所以设A(m，2m)，B，则解得所以A(4，8)，B(－4，2)，所以AB＝＝10.
11. 2 设点A关于直线l的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，PQ与直线l的交点即为B，与x轴的交点即为C.如图，由两点之间线段最短可知，PQ的长即为△ABC周长的最小值．设P(x，y)，则解得即P(－，)，点A关于x轴的对称点为Q(2，－3)，故△ABC周长的最小值为PQ＝＝2.
12. (1) 因为B(0，－1)，C(2，2)，所以BC的斜率为＝，所以BC的方程为y＝x－1.
因为AD⊥BD，所以AD的斜率为－，
所以AD的方程为y＝－(x＋1).
联立解得
即点D.
因为BC＝＝，
BD＝＝，
所以＝.
(2) △ABC的面积S＝BC·AD＝××＝.
13. (1) 直线l经过点Q，将直线l沿点Q旋转，发现当PQ与l垂直时，点P到直线l的距离最大，最大长度为PQ.
因为kPQ＝＝1，kl·kPQ＝－1，
所以kl＝－1，
所以经过点Q，且与点P距离最远的直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.
(2) 如图，作点P关于直线l的对称点P′，连接P′M交直线l于点T，则点T即为所求．
因为PT′＋MT′＝P′T′＋MT′≥P′M，
当P′，T′，M三点共线时，等号成立．
根据对称性可得点P关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，0)，
所以P′M＝＝，
所以PT＋MT的最小值为.
因为P′M的直线方程为y＝(x＋2)，
即y＝(x＋2)，
联立解得
所以点T的坐标为.1．5.2 点到直线的距离(1)
一、 单项选择题
1 若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a的值为( )
A. －1 B. 5
C. －1或5 D. －3或3
2 设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则点P到直线l：2x－y＝1的距离为( )
A. B. C. D.
3 已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则两直线之间的距离是( )
A. 4 B.
C. D.
4 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )
A. B.
C. D. 6
5 (2023雅安中学月考)若点A(4，3)，B(3，5)到直线l：2x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A. 1 B. －1
C. 1或－2 D. －1或2
6 (2023清远四校联盟期中)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y－3m－3＝0，点M(4，3)，记点M 到直线l的距离为d，则d的取值范围为( )
A. [0，8) B. [0，8]
C. [0，2) D. [0，2]
二、 多项选择题
7 (2023内江威远中学期中)下列直线中与直线l：y＝2x－1平行，且与它的距离为2 的是( )
A. 2x－y＋9＝0 B. 2x－y－11＝0
C. 2x－y－12＝0 D. 2x－y＋10＝0
8 (2023常德期中)已知点A(1，4)，B(3，2)，C(2，－1)，若直线l经过点C，且点A，B到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是( )
A. x＋y－1＝0 B. x－y－3＝0
C. x－2＝0 D. y＋1＝0
三、 填空题
9 已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，1)，B(3，4)，C(4，－1)，则△ABC的面积为________．
10 (2023淮阴中学月考)已知直线l满足：原点到它的距离为，点(3，0)到它的距离为2，请写出满足条件的直线l的一个方程：________．
11 若M，N分别为平行直线l1：3x－4y＋12＝0与l2：ax－(2a－2)y－8＝0上的任意一点，则a的值为________，MN的最小值为________．
四、 解答题
12 已知直线l1：3x－2y＋4＝0与直线l2：x－ay＋a－2＝0相交于点P，且点P在直线 2x－y＋3＝0上．
(1) 求点P的坐标和实数a的值；
(2) 求与直线l2平行，且与点P的距离为的直线的方程．
13 (2023上海七宝中学月考)已知直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0，且直线l1与l2间的距离是.
(1) 求实数a的值；
(2) 若点P同时满足下列条件：①P是第一象限内的点；②点P到直线l1的距离是点P到直线l2距离的；③点P在直线x－2y＋4＝0上，求点P的坐标．
【答案解析】
1．5.2 点到直线的距离(1)
1. C 由点到直线的距离公式，得＝，解得a＝－1或a＝5.
2. D 联立解得可得点P(1，2).将直线l：2x－y＝1，化为2x－y－1＝0，所以点P到直线l：2x－y＝1的距离d＝＝.
3. D 因为3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.
4. D 3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间的距离d1＝＝，4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间的距离d2＝＝|c1－c2|.由正方形可知d1＝d2，即＝|c1－c2|，解得|c1－c2|＝6.
5. C 若点A，B在直线l的同侧，则＝－，解得a＝1.若点A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点，所以7＋4a＋1＝0，解得a＝－2.
6. C 若直线l过点M(4，3)，则4(m＋2)＋3(m－1)－3m－3＝4m＋2＝0，解得m＝－，此时，点M到直线l的距离为d＝0；由直线l：(m＋2)x＋(m－1)y－3m－3＝0，得m(x＋y－3)＋2x－y－3＝0，由解得即直线l：(m＋2)x＋(m－1)y－3m－3＝0过定点A(2，1)，则MA＝＝2，kMA＝＝1，当直线l：(m＋2)x＋(m－1)y－3m－3＝0与直线MA垂直时，d＝2最大，此时，直线l的斜率为k＝－＝－1，m的值不存在，即这样的直线l不存在，所以0≤d<2.
7. AB 设与直线l：y＝2x－1平行的直线方程为2x－y＋a＝0，由题意，得＝2，解得a＝9或a＝－11，故所求直线的方程为2x－y＋9＝0或2x－y－11＝0.故选AB.
8. AC 由题意知，A，B两点到直线l的距离相等，则需对直线分斜率存在和不存在两种情况．当斜率不存在时，直线的方程为x＝2，此时点A，B到直线l的距离都为1，故满足题意；当斜率存在时，设斜率为k，则直线的方程为y＝kx－(1＋2k)，由点到直线的距离公式，得＝，解得k＝－1，所以直线的方程为x＋y－1＝0.综上，直线方程为x＋y－1＝0或x＝2.故选AC.
9. 由点B(3，4)，C(4，－1)，得kBC＝＝－5，所以直线BC的方程为y＋1＝－5(x－4)，整理，得5x＋y－19＝0，所以点A(1，1)到直线BC的距离为d＝＝.又因为BC＝＝，所以S△ABC＝BC·d＝.
10. x－y＋1＝0(答案不唯一) 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝a，则|a|＝，且|a－3|＝2，显然无解；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，则整理，得即(k－b)(3k＋5b)＝0，所以k－b＝0或3k＋5b＝0.由解得k＝b＝1或k＝b＝－1，而方程组无解．综上，k＝b＝1或k＝b＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
11. 3 4 根据题意，得直线l1：3x－4y＋12＝0与l2：ax－(2a－2)y－8＝0是平行直线，则有－3(2a－2)＝－4a，解得a＝3，此时，直线l2的方程为3x－4y－8＝0，MN的最小值为两直线间的距离，则MN的最小值d＝＝4.
12. (1) 因为直线l1：3x－2y＋4＝0与直线l2：x－ay＋a－2＝0相交于点P，且点P在直线2x－y＋3＝0上．
联立解得
所以点P的坐标为(－2，－1).
将点P的坐标(－2，－1)代入直线l2：x－ay＋a－2＝0中，解得a＝2.
(2) 由(1)知直线l2：x－2y＝0，
设所求直线的方程为x－2y＋c＝0，
则＝，解得c＝5或c＝－5，
所以直线的方程为x－2y＋5＝0或x－2y－5＝0.
13. (1) 因为直线l2的方程为2x－y－＝0，
所以直线l1和l2间的距离为d＝＝，且a>0，
解得a＝3.
(2) 设点P的坐标为(x0，y0)，
若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，解得c＝或c＝，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若P(x0，y0)满足条件③，联立
解得即P，不符合条件①，舍去；
联立解得
即P，符合条件①.
综上，点P的坐标为.1．5.2 点到直线的距离(2)
一、 单项选择题
1 已知点P(－2，3)，Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则PQ的最小值为( )
A. 1 B. C. D.
2 (2023湖北校级联考)直线x＋2y＋3＝0关于y轴对称的直线方程是( )
A. x＋2y－3＝0 B. x－2y＋3＝0
C. x－2y－3＝0 D. 3x＋2y－1＝0
3 如果点P到点A，B及直线 x＝－的距离都相等，那么满足条件的点P有( )
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 无数个
4 若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为( )
A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x－3y－12＝0
C. 2x－3y＋12＝0 D. 2x＋3y＋12＝0
5 (2023安徽名校联盟期中)如图，已知某光线从点A(－2，0)射出，经过直线y＝x上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线x＝4上的点C后再次反射，该反射光线经过点D(2，10)，则直线BC的斜率为( )
A. B. C. D. 2
6 (2023石家庄期中)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，0)和点重合，点(7，3)和点(m，n)重合，则m＋n的值为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2023宿迁泗阳期中)下列说法中，正确的是( )
A. 直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可以表示任何直线
B. 直线y＝4x－2在y轴上的截距为－2
C. 直线2x－y＋3＝0关于点(3，2)对称的直线方程是2x－y－11＝0
D. 直线l1：x＋2y＋1＝0与l2：2x＋4y＋3＝0之间的距离为
8 (2023太原期中)已知直线l1：x＋y＝0，l2：2x－3y－6＝0，则下列说法中正确的是( )
A. 直线l1与l2相交于点
B. 直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为
C. 直线l2关于坐标原点O对称的直线方程为2x－3y＋6＝0
D. 直线l2关于直线l1对称的直线方程为 3x－2y＋6＝0
三、 填空题
9 已知直线l1过点A(3，0)，直线l2过点B(0，4)，且l1∥l2，用d表示l1与l2间的距离，则d的取值范围是________．
10 (2023海南期中)已知点A(3，3)，B(2，－5)，C(－2，－7)，设△ABC中BC边上的高所在的直线为l，则点P(0，－1)到直线l的距离为________．
11 已知直线l：y＝x，点P为直线l上任意一点，则＋的最小值为________．
四、 解答题
12 已知直线l过点P(－2，0)，点Q(1，)到直线l的距离为2，直线l′与直线l关于点Q对称．
(1) 求直线l′的方程；
(2) 记原点为O，直线l′上有一动点M，则当OM＋MQ最小时，求点M的坐标．
13 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在线段DC上的点G处，已知折痕EF所在直线的斜率为－.
(1) 求折痕EF所在的直线方程；
(2) 若P为BC的中点，求△PEF的面积．
【答案解析】
1．5.2 点到直线的距离(2)
1. B 由题意，得PQ的最小值为点P到直线l的距离，所以PQmin＝＝.
2. C 设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且在直线x＋2y＋3＝0上，代入可得－x＋2y＋3＝0，即x－2y－3＝0.
3. B 设满足条件的点P的坐标为(x，y).因为点P 到点A，B及直线 x＝－的距离都相等，所以解得即点P的坐标为，所以符合条件的点P有1个．
4. D 由ax＋y＋3a－1＝0，得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令得点M(－3，1).因为点M不在直线2x＋3y－6＝0上，所以设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求直线的方程为2x＋3y＋12＝0.
5. D 设点A(－2，0)关于y＝x的对称点为A1(x1，y1)，则解得所以A1(0，－2).又点D(2，10)关于直线x＝4的对称点为D1(6，10)，根据光的反射原理，可知点A1(0，－2)与点D1(6，10)均在直线BC上，所以kBC＝＝2.
6. A 设点O(0，0)和P，线段OP的中点为M，折线即为线段OP的中垂线，则M，直线OP的斜率为＝－，则折线斜率为2，所以折线的方程为y＝2－，即y＝2x－3.由题意，得点(7，3)与点(m，n)关于折线对称，则两点的中点在折线上且两点连线与折线垂直，所以解得所以m＋n＝.
7. BC 直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)不能表示直线x＝x1，故A不正确；由直线的斜截式方程可知，直线y＝4x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；设直线2x－y＋3＝0关于点(3，2)对称的直线方程为2x－y＋t＝0，t≠3，由点(3，2)到两直线的距离相等，得＝，解得t＝－11，则直线2x－y＋3＝0关于点(3，2)对称的直线方程是2x－y－11＝0，故C正确；直线l1：x＋2y＋1＝0，即2x＋4y＋2＝0，与直线l2：2x＋4y＋3＝0之间的距离为d＝＝，故D不正确．故选BC.
8. AC 由解得所以交点的坐标为，故A正确；直线l2：2x－3y－6＝0与x轴的交点为(3，0)，与y轴的交点为(0，－2)，直线l1过原点，由图可知，直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积为×3×＝，故B错误；由上述分析可知，直线l2关于原点O对称的直线过点(－3，0)，(0，2)，所以直线l2关于原点O对称的直线方程为y－2＝(x－0)，即2x－3y＋6＝0，故C正确；点(3，0)关于直线x＋y＝0的对称点是(0，－3)，点(0，－2)关于直线x＋y＝0的对称点是(2，0)，所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为＋＝1，即3x－2y－6＝0，故D错误．故选AC.
9. (0，5] 由题意可知AB＝＝5，d表示l1与l2间的距离，则010. 2 因为kBC＝＝，A(3，3)，所以直线l的方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0，所以点P(0，－1)到直线l的距离为d＝＝2.
11. ＋表示直线l：y＝x上的点P到点A(0，1)和B(0，2)的距离之和，故＋＝AP＋PB.设点A(0，1)关于直线l的对称点为A′，则A′(1，0)，故＋＝AP＋PB＝A′P＋BP≥A′B，当A′，P，B三点共线时，等号成立，故＋的最小值为A′B＝.
12. (1) 因为PQ＝＝2，所以直线l与直线PQ垂直，其斜率为k＝－＝－＝－，所以直线l的方程为y＝－(x＋2)，即x＋y＋2＝0.
又因为直线l′与直线l关于点Q对称，所以点Q到直线l′的距离等于2，且l∥l′，设直线l′的方程为x＋y＋m＝0，则d＝＝2，解得m＝－6或m＝2(舍去)，所以直线l′的方程为x＋y－6＝0.
(2) 根据题意画出图象，如图所示．
设点Q关于直线l′的对称点为Q′(a，b)，则MQ＝MQ′，所以OM＋MQ＝OM＋MQ′≥OQ′，
所以当Q′，M，O三点共线时取等号，
则解得
所以直线OQ′的方程为y＝x，与直线l′的方程联立解得
所以点M的坐标为.
13. (1) 设折痕EF所在的直线方程为y＝－x＋b，点A落在线段DC上的对称点为G(a，2)，其中0≤a≤3，则AG的中点M的坐标为，
所以解得
所以折痕EF所在的直线方程为y＝－x＋.
(2) 由(1)知，折痕EF所在的直线方程为y＝－x＋，即－x－y＋＝0，
所以点E，F，
所以EF＝＝.
因为P为BC的中点，
所以点P的坐标为(3，1)，
所以点P到折痕EF的距离为
d＝＝，
所以△PEF的面积S＝EF·d＝××＝.
