第1章 直线与方程 复习 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第1章 直线与方程 复习
一、 单项选择题
1 直线3x＋2y＋6＝0在y轴上的截距为b，则b的值为(　　)
A. 3 B. －2 C. 2 D. －3
2 已知直线MN的斜率为4，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则点M的坐标为(　　)
A. (2，3) B. (4，5)
C. (2，1) D. (5，7)
3 已知点M(1，－2)，N(m，2)，若点M，N关于直线x＋2y－2＝0对称，则实数m的值是(　　)
A. 3 B. 1 C. －2 D. －7
4 (2024北海期末)已知点A(－2，－1)，B(2，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为(　　)
A. －1或0 B. －
C. －1 D. 2
5 (2023洛阳期中)已知直线3x＋2y－6＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，若直线x＋y－1＝0上存在一点C，使CA＋CB最小，则点C的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
6 (2023河南校联考)设M为函数f(x)＝x2＋3(0A. －4 B. 1－ C. 4 D. 1
二、 多项选择题
7 已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l过定点(0，1)
B. 当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
C. 若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
D. 当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距互为相反数
8 (2023宁德一中月考)已知动直线m：λx－y＋λ＝0和n：x＋λy－3－2λ＝0，P是两直线的交点，A，B是两直线m和n分别过的定点，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点B的坐标为(3，－2)
B. y轴上的点到点A，B距离之差的最大值为2
C. PA·PB的最大值为10
D. 点B到直线m距离的最大值为2
三、 填空题
9 已知直线3x＋y－6＝0与直线x＋2y－2＝0交于点Q，则点Q关于直线x＋2y＋3＝0的对称点的坐标是________．
10 已知△ABC的顶点B(2，3)，边BC上的中线AP所在直线的方程为x＋9y＋6＝0，边AB上的高CH所在直线的方程为8x＋3y－17＝0，则边AC的中点为________．
11 (2023揭阳第一中学榕江新城学校期中)函数f(x)＝＋的最小值是________．
四、 解答题
12 已知△ABC的顶点B(5，1)，AB边上的高所在直线的方程为x－2y－5＝0.
(1) 求直线AB的方程；
(2) 在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
①角A的平分线所在直线的方程为x＋2y－13＝0；
②BC边上的中线所在直线的方程为 2x－y－5＝0.
________，求直线AC的方程．
13 (2023株洲五雅中学期中)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－5－2a＝0(a∈R).
(1) 求证：不论a为何值，直线l一定经过第一象限；
(2) 若直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A(xA，0)，B(0，yB)，当△AOB的面积为12时，求△AOB的周长．
【答案解析】
第1章 直线与方程 复习
1. D　因为直线3x＋2y＋6＝0化为斜截式可得y＝－x－3，所以直线3x＋2y＋6＝0在y轴上的截距为－3.
2. A　因为点M在直线y＝x＋1上，所以设点 M(x0，x0＋1)，则直线MN的斜率k＝＝＝4，解得x0＝2，所以点M的坐标为(2，3).
3. A　由题意，得MN的中点在直线x＋2y－2＝0上，且直线x＋2y－2＝0与直线MN垂直，即解得m＝3.
4. C　 根据点到直线的距离公式及题意，得＝，解得a＝－1.
5. A　由题意，得直线3x＋2y－6＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，则A(2，0)，B(0，3)，设点B关于直线x＋y－1＝0对称的点为B1(x0，y0)，则解得所以B1(－2，1)，则直线AB1：y＝(x－2)，即y＝－x＋.因为CA＋CB＝CA＋CB1≥AB1，所以当点C在AB1上时，CA＋CB最小．联立解得所以点C的坐标为.
6. A　设点M(xM，yM)，则＝(0，－1)，＝(xM，yM－1)，所以·＝||·||·cos ∠ONM＝－||·cos (π－∠ONM)＝－||·＝－|yM－1|.又OM2＝x＋y＝(3)2，所以yM－3＋y＝(3)2，所以y＋yM－30＝0.又因为07. ABD　对于A，当x＝0时，y＝1，与a的取值无关，故直线l过定点(0，1)，故A正确；对于B，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，其斜率为1，而直线x＋y＝0的斜率为－1，所以当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直，故B正确；对于C，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，故C错误；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，横截距和纵截距分别是－1，1，互为相反数，故D正确．故选ABD.
8. BCD　对于A，由直线m：λx－y＋λ＝0，得y＝λ(x＋1)，令x＝－1，得y＝0，所以直线m过定点A(－1，0)；由直线n：x＋λy－3－2λ＝0，得(x－3)＋λ(y－2)＝0，令y＝2，得x＝3，所以直线n过定点B(3，2)，故A错误；对于B，取点A(－1，0)关于y轴的对称点A′(1，0)，对于y轴上的点M，则有|MA－MB|＝|MA′－MB|≤A′B＝2，当且仅当M，A′，B三点共线时，等号成立，所以y轴上的点到点A，B距离之差的最大值为2，故B正确；对于C，因为λ×1＋(－1)×λ＝0，所以m⊥n，即PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝20.又因为PA2＋PB2≥2PA·PB，即20≥2PA·PB，解得PA·PB≤10，当且仅当PA＝PB＝时，等号成立，所以PA·PB的最大值为10，故C正确；对于D，因为直线m过定点A(－1，0)，所以点B到直线m距离的最大值为AB＝2，故D正确．故选BCD.
9. (0，－4)　因为直线3x＋y－6＝0与直线x＋2y－2＝0交于点Q，所以联立方程解得即点Q(2，0).设点Q(2，0)关于直线x＋2y＋3＝0的对称点P为(a，b)，则点Q(2，0)与P(a，b)的中点坐标为，kPQ＝，故解得即对称点的坐标为(0，－4).
10. 　设A(a，b)，因为直线AB与直线CH垂直，且点A在直线x＋9y＋6＝0上，所以解得故A(－6，0).设C(m，n)，由题意知P，解得故C(4，－5)，所以边AC的中点为.
11. 5　函数f(x)＝＋＝＋，即为点P(x，0)到点A(－3，8)和B(2，2)的距离之和，点A(－3，8)关于x轴对称的点为A′(－3，－8)，所以PA＋PB＝PA′＋PB，由图形易得最小值为A′B＝＝5.
12. (1) 由AB边上的高所在的直线方程为x－2y－5＝0，得AB边上的高所在的直线的斜率为，则kAB＝－2.
又B(5，1)，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－5)，即2x＋y－11＝0.
(2) 若选①：角A的平分线所在直线方程为x＋2y－13＝0，
由解得
则点A的坐标为(3，5).
设B′(x0，y0)是点B关于直线x＋2y－13＝0的对称点，
则解得
则B′.
又B′是直线AC上的点，所以kAC＝＝，
所以直线AC的方程为2x－11y＋49＝0.
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为2x－y－5＝0，
由解得
则点A的坐标为(4，3).
设点C(x1，y1)，
因为BC的中点在直线2x－y－5＝0上，
所以2×－－5＝0，即2x1－y1－1＝0，
则点C在直线2x－y－1＝0上．
又点C在直线x－2y－5＝0上，
则有解得
即C(－1，－3)，所以kAC＝＝，
所以直线AC的方程为y＋3＝(x＋1)，
即6x－5y－9＝0.
13. (1) 由(a＋1)x＋y－5－2a＝0，
整理，得a(x－2)＋x＋y－5＝0，
令解得
所以定点P的坐标为(2，3).
因为点P在第一象限，所以不论a为何值，直线l必过第一象限．
(2) 由题意知，a＋1≠0，由(a＋1)x＋y－5－2a＝0，
当y＝0时，xA＝，当x＝0时，yB＝5＋2a，
由得a>－1，
所以△AOB面积S＝·xA·yB＝··(5＋2a)＝12，解得a＝，
此时A(4，0)，B(0，6)，AB＝＝2，
所以△AOB的周长为4＋6＋2＝10＋2，
故当△AOB面积为12时，△AOB的周长为10＋2.