山东省济南市山东省实验中学2024届高三下学期全国统一考试（模拟）数学（PDF版含答案）

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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D C C B B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 CD BCD BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 0 ； 13．3，2 ，答案不唯一；14．4．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】
（1）此次测试的平均成绩为：
0.2 65 0.3 75 0.4 85 0.1 95 79； ··································· 5 分
（2）由题意可知，录取率为 0.3，能进入第一梯队的概率为0.1； ··········· 7 分
设录取分数为 x ，因为分数落在[90，100]的概率为 0.1，
分数落在[80，90) 的概率为 0.4，
所以 x [80，90)，令0.1 (90 x) 0.04 0.3，解得 x 85， ·········· 10 分
所以录取分数大概为 85 分，进入第一梯队的分数大概为 90 分，
所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． ····························· 13 分
16．【解析】
若选择①
c 2a cos( C)
（1）因为 ，
b cos B
由正弦定理得 sin BcosC cosBsinC 2sin AcosB 0 , ·················· 2 分
所以 sin(B C) 2sin Acos B 0，即 sin A(2cos B 1) 0 ，
- 1 -
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1
从而 cos B ， ································································ 5 分
2
2
因为 B 0， ，所以 B ． ·············································· 7 分
3
AD c
（2）在△ABD 中， ，
sin B sin ADB
csin B 2
所以 sin ADB ， ··············································· 10 分
AD 2

所以 ADB ，所以 BAD DAC ，
4 12

所以 ACB BAC ， ····················································· 13 分
6
所以△ABC是等腰三角形，且 a c ，

所以b 2acos 2 3 ． ······················································· 15 分
6
若选择②
sin A sinC b c
（1）因为 ，
sin B sinC a
2
由正弦定理得b a
2 c2 ac ， ··············································· 2 分
b2 a2 c2又由余弦定理 2accos B，
1
从而 cos B ， ·································································· 5 分
2
2
B 0， ，所以 B ． ······················································ 7 分
3
（2）同①中第二问．
若选择③
B
（1）因为 2asin2 3bsin A，所以 a 1 cos B 3bsin A，
2
由正弦定理得 sin A 1 cos B 3sin Bsin A， ····························· 2 分
1
整理得 3sin B cosB 1，所以 sin B ··························· 5 分
6 2
7
因为 B 0， ，所以 B ， ，
6 6 6
- 2 -
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5 2
所以 B ，所以 B . ················································· 7 分
6 6 3
（2）同①中第二问．
17．【解析】
（1）取线段 A B 的中点为 H ，连接 EH ，FH ， 1
1
因为 F 为线段 AC 的中点，所以1 FH BC ，且 FH BC ； ············· 2 分
2
ED 1又 E 是 AD 的中点，所以 BC ，且 ED BC；
2
所以 ED FH ，且 ED FH ，故四边形 EDFH 为平行四边形；
所以 DF EH ， ······································································· 5 分
因为 DF 平面 A1BE， EH 平面 A ， 1BE
所以 直线 DF 平面 A BE； ························································ 7 分 1
z
A1
H A
E
F
B
（2）因为 E 是 AD 的中点，
D
x y
所以 BE AD，所以 BE A1E ；
C
因为平面 A BE 平面 ， 1 BCDE
平面 A BE 平面1 BCDE BE，
所以 A E 平面 BCDE . ··························································· 8 分 1
以 E 为原点， EB，ED，EA 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 1
设 AB 2 ，则 E(0，0，0) ， A (0，0，1)，1 B( 3，0，0)，C( 3，2，0)，
则 EA1 (0，0，1)， BA ，1 ( 3，0，1) BC (0，2，0)， ·················· 9 分
- 3 -
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n BA1 0 3x z 0设平面 A BC的法向量为n (x，y，z) ，则 ，即 ， 1
n BC 0 2y 0
取 x 1，则n (1，0，3)， ····················································· 11 分
设直线 A1E 与平面 A BC所成角为1 ，
n EA 3
则 sin | cos n，EA | 1 ， ·································· 13 分 1
| n || EA 21 |

所以直线 A E 与平面 A BC所成角为 . ······································· 15 分 1 1
3
18．【解析】
（1）由题意可知， 4 2p ，所以 p 2 ， ········································· 2 分
所以 抛物线 E 的方程为 y2 4x . ··············································· 4 分
（2）（i）设 A x1 ，y1 ，B x2 ，y2 ，将直线 AB 的方程代入 y
2 4x 得：
2
k2x2
4 2km m
(2km 4)x m2 0 ，所以 x1 x2 ，x1x2 ， ········ 6 分
k2 k2
因为直线 PA 与 PB 倾斜角互补，
y 2 y 2 kx m 2 kx m 2
所以 k 2 1PA kPB
2 1 0，
x2 1 x1 1 x2 1 x1 1
1 1 x x
即 2k (k m 2)( ) 2k (k m 2) 1 2
2
0，
x2 1 x1 1 (x2 1)(x1 1)
4 2km 2k2
所以 2k (k m 2) 0，
(k m 2)(k m 2)
4 2km 2k2
即 2k 0，所以 k 1； ····································· 10 分
k m 2
（ii）由（i）可知 x2 (2m 4)x m2 0 ，所以 x1 x2 4 2m，x1x2 m
2 ，
2
则 AB 1 1 x1 x2 4x1x2 4 2 1 m ，
因为 (2m 4)2 4m2 0，所以m 1，即 1 m 3，
| 3 m |
又点 P 到直线 AB 的距离为 ，
2
1 | 3 m |
所以 S 4 2 1 m 2 (3 m)2(m 1) ， ························ 13 分
2 2
1
因为 (3 m)2 (m 1) (3 m)(3 m)(2m 2) ，
2
- 4 -
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1 3 m 3 m 2m 2 32
( )3 ，
2 3 27
所以 8 6
1
S ，当且仅当3 m 2m 2，即m 时，等号成立，
9 3
所以 8 6△PAB面积最大值为 . ··············································· 17 分
9
1
19.(1)解：因为 X B(2, ) ，
2
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
1 1 1
P
4 2 4
(3 分)
1 1 1 1 1 1 3
所以 H(X ) ( log2 log2 log2 ) .(4 分)
4 4 2 2 4 4 2
(2)（i）解：记发出信号 0 和 1 分别为事件 Ai,收到信号 0 和 1 分别为事件 Bi,i=0,1,
则 P(A0) p1, P(A1) 1 p，(5 分)
P(B0 | A0) P(B1 | A1) q, P(B1 | A0) P(B0 | A1) 1 q，(6 分)
所以P(B0) P(A0)P(B0 | A0) P(A1)P(B0 | A1)
pq (1 p)(1 q) 1 p q 2pq. (7 分)
P(A
所以 P(A 0
)P(B0 | A0) pq
0 | B0 ) .(9 分)
P(B0 ) 1 p q 2pq
(ii)证明：由(i)知， P(B0) 1 p q 2pq，
所以P(B1) 1 P(B0) p q 2pq，(10 分)
p 1 p
所以 KL(X ||Y) p log2 (1 p) log2 ，(11 分)
1 p q 2pq p q 2pq
1 1 x
设 f (x) 1 ln x，则 f (x) ，
x x2
当 x∈(0,1)时， f (x) 0 , f (x)单调递增;
当 x (1, )时, f (x) 0 , f (x)单调递减.
- 5 -
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1
所以 f (x) f (1) 0，即 ln x 1 ，
x
ln x 1 1
所以 log2 x (1 ) .(13 分)
ln 2 ln 2 x
1 1 p q 2pq 1 p q 2pq
所以 KL(X ||Y) p (1 ) (1 p) (1 ) 0 ， (15
ln 2 p ln 2 1 p
分)
p 1 p 1
当且仅当 1，即 p ,0 q 1时等号成立.
1 p q 2pq p q 2pq 2
即 KL(X||Y)≥0得证.(17 分)
【评分细则】
1. 第 一 问 没 有 交 待 X 的 分 布 列 ， 直 接 得 到 H(X) 的 值 ， 得 1 分 ; 若 交 待
1 1 1
P(X 0) , P(X 1) , P(X 2) 没有列表，不扣分;
4 2 4
2.第二问(i)直接得到 P(B0) 1 p q 2pq没有交待过程，扣 1 分，第二问(ii)
没有交待等号成立条件，扣 1 分。
- 6 -
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