第二章 一元二次方程单元测试卷（含答案）

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2025北师版九年级数学上册
第二章　一元二次方程
时间 90分钟　满分 100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2023·河南郑州外国语中学期中)将一元二次方程3x2=5x-1写成一般形式,下列等式正确的是 (　　)　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.3x2-5x-1=0 B.3x2+5x-1=0
C.3x2-5x+1=0 D.3x2+5x+1=0
2.(2023·齐齐哈尔期末)已知关于x的方程(m-2)x|m|-3x-4=0是一元二次方程,则(　　)
A.m≠±2 B.m=-2 C.m=2 D.m=±2
3.(2023·广东东莞段考)一元二次方程x2-10x=-9的两根分别是x1,x2,则x1·x2的值是 (　　)
A.-9 B.-10 C.9 D.10
4.如图是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为 (　　)
A.±2 B.±3 C.3或-1 D.2或-1
5.(2023·山东滨州期中)下表是求代数式ax2-bx的值的情况,根据表格中的数据可知,关于x的一元二次方程ax2-bx-2=0的根是(　　)
x … -2 -1 0 1 2 3 …
ax2-bx … 6 2 0 0 2 6 …
A.x=1 B.x1=0,x2=1
C.x=2 D.x1=-1,x2=2
6.(2023·河北邯郸永年区期中)已知方程x2-6x+4=□,等号右侧的数印刷不清楚.若可以将其配方成(x-p)2=7的形式,则印刷不清楚的数是 (　　)
A.6 B.9 C.2 D.-2
7.[中考创新题型|新定义试题]对于实数a,b定义新运算:a※b=ab2-b,若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.k>- B.k<-
C.k>-且k≠0 D.k≥-且k≠0
8.《九章算术》中有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行
十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何 ”大意是说:已知甲、乙二人同时从同
一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜
向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多少步 若设甲、乙二人相遇的时间为x,根据题意,可列方程为(　　)
A.(7x-10)2=102+(3x)2 B.102=(7x-10)2+(3x)2
C.(3x)2=102+(7x-10)2 D.(7x+10)2=102+(3x)2
9.(2022 ·江苏扬州江都区邵樊片段考)若关于x的方程ax2+bx+2=0的两根分别为x1=-2,x2=3,则方程a(x-2)2+b(x-2)+2=0的两根分别为 (　　)
A.x1=0,x2=5 B.x1=1,x2=6
C.x1=-1,x2=4 D.x1=-2,x2=3
10.(2023·上海黄浦区大同中学月考)求方程x2+8x=33正数解的几何方法:如图(1),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为33+22×4=49,则该方程的正数解为-2×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时,构造出如图(2)所示的正方形.已知图(2)中阴影部分的面积和为39,则该方程的正数解为(　　)
　　 图(1) 　　　　　图(2)
A.2 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2023·陕西咸阳期末)已知x=-1是一元二次方程ax2-bx+c=0的一个根,则a+b+c的值为　　　　　　.
12.(2023·北京首都师大附中实验学校月考)请写出一个满足以下两个条件的一元二次方程:①两根均为整数;②两根异号.这个方程可以是　　　　　.
13.(2023·江西上饶期中)已知α,β是方程x2+2x-2 022=0的实数根,则α2+αβ+
2α的值为　　　　　　.
14.(2023·江苏苏州铜罗中学月考)若关于x的一元二次方程x2-(m2-4)x+m-1=0的两根互为相反数,则m=　　　　　.
15.(2022·山西晋中期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.点P,Q同时出发,当一个点到达目的地时,所有运动停止.若四边形APQC的面积为9 cm2,则点P运动的时间是　　　　.
选择题、填空题答题区
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12.
13. 14. 15.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(8分)(2023·河南郑州外国语中学期中)下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的书写过程,请认真阅读并完成任务.
2x2-3x-5=0.
解:x2-x=,　　　　　　　　　　　　第一步
x2-x+()2=+()2, 第二步
(x-)2=, 第三步
x-=±, 第四步
x1=,x2=-1. 第五步
(1)任务一:①杨老师解方程的方法是　　　　　　;
A.直接开平方法　　　B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
②第二步变形的依据是　　　　　　　　　　　　.
(2)任务二:请你按要求解下列方程.
①x2+2x-3=0;(公式法) ②3(x-2)2=x2-4.(因式分解法)
17.(7分)(2023·北京八十中期中)关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0有两个实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m是满足条件的最大整数,求方程的根.
18.(8分)(2023·河南南阳期中)如图是2023年10月份的日历,在日历表上可以用一个方框圈出四个数.
(1)若圈出的四个数中,最小的数为n,则最大的数为 　　　　(用含n的代数式表示);
(2)若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为153,求这个最小数.
19.(10分)(2023·北京十八中期中)某农场要建一个饲养场,饲养场的一面靠墙(最大可用长度为30 m),另三边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地,并在如图所示的三处各留1 m宽的门(不用木栏),建成后木栏总长为57 m,设饲养场的宽CD为a m.
(1)饲养场的长为　　　　m(用含a的代数式表示);
(2)若饲养场的面积为297 m2,求该饲养场的长和宽.
20.(11分)(2023·山西省实验中学期中)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请问一元二次方程x2-3x+2=0是“倍根方程”吗 请说明理由;
(2)若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”,求证:4m2+5mn+n2=0;
(3)若关于x的一元二次方程ax2-6ax+c=0(a≠0)是“倍根方程”,求a和c的关系.
21.(11分)(2022·江西南昌期中)【课本再现】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.
(1)①共有　　　　场比赛;
②设比赛组织者邀请x个队参赛,每个队要与其他　　　个队各赛一场,所以全部比赛为　　　　场,列方程:　　　　　　　　.
【小试牛刀】(2)若参加聚会的每两人之间都要握手一次,所有人共握手了10次,则有多少人参加聚会
【综合运用】(3)嘉嘉给琪琪出题:“若在∠AOB的内部由顶点O引出a条射线(不含OA,OB边),角的总个数为20,求a的值.”
琪琪的思考:“在这个问题中,角的总个数不可能为20.”琪琪的思考对吗 请说明理由.
第二章　一元二次方程
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B C C D C A A A C
11.0 12.x2+2x-3=0(答案不唯一)
13.0 14.-2 15.3 s
16.【参考答案】(1)①B　②等式的基本性质1 (3分)
(2)①x2+2x-3=0,
a=1,b=2,c=-3,
Δ=b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,
x===-1±2,
所以x1=1,x2=-3. (6分)
②3(x-2)2=x2-4,
3(x-2)2-(x+2)(x-2)=0,
(x-2)(3x-6-x-2)=0,
x-2=0或3x-6-x-2=0,
所以x1=2,x2=4. (8分)
17.【参考答案】(1)根据题意得Δ=(2m-1)2-4(m2-1)≥0,解得m≤. (3分)
(2)由(1)知,m可取的最大整数是1, (4分)
当m=1时,方程为x2+x=0,
解得x1=-1,x2=0. (7分)
18.【参考答案】(1)(n+8)
(2)设这个最小数为n,则最大的数为(n+8),
根据题意得,n(n+8)=153,
整理得,n2+8n-153=0,
解得n1=9,n2=-17(不符合题意,舍去).
答:这个最小数为9.
19.【参考答案】(1)(60-3a) (3分)
解法提示:57-2a-(a-1)+2=60-3a.
(2)结合(1)得a(60-3a)=297,
整理得a2-20a+99=0,解得a1=11,a2=9.
当a=9时,60-3a=60-27=33>30,不符合要求,舍去;
当a=11时,60-3a=60-33=27<30,符合要求. (7分)
答:该饲养场的长为27 m,宽为11 m. (8分)
20.【解题思路】(1)先求出方程的两根,再根据“倍根方程”的定义判断即可;(2)根据“倍根方程”的定义可知-=1或4,据此可将n用含m的式子表示出来,代入所要求证的式子即可;(3)根据“倍根方程”的定义,进行相关问题的求证与探究即可.
【参考答案】(1)是. (1分)
理由:解方程x2-3x+2=0,
得x1=1,x2=2. (2分)
∵2是1的2倍,
∴一元二次方程x2-3x+2=0是“倍根方程”. (3分)
(2)证明:解方程(x-2)(mx+n)=0,
得x1=2,x2=-.
根据“倍根方程”的定义,得-=1或4,
∴n=-m或n=-4m.
将n=-m代入4m2+5mn+n2,
得4m2-5m2+m2=0;
将n=-4m代入4m2+5mn+n2,
得4m2-20m2+16m2=0.
综上,当(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”时,
4m2+5mn+n2=0. (7分)
(3)由“倍根方程”的定义可设方程ax2-6ax+c=0(a≠0)的两根分别为t和2t.
此时Δ=(-6a)2-4ac=36a2-4ac>0.
由根与系数的关系可知,3t=6,2t2=,
∴t=2,=8,∴c=8a. (10分)
当c=8a时,满足Δ=36a2-4ac=4a2>0.
∴a和c的关系为c=8a. (11分)
21.【参考答案】(1)①28 (1分)
②(x-1)　 　 =28 (4分)
(2)设有b人参加聚会,
由题意得=10,
解得b1=5,b2=-4(舍去).
答:有5人参加聚会. (7分)
(3)琪琪的思考对.理由如下: (8分)
由题意得(a+2)(a+1)=20,
解得a1=,a2=.
因为a为正整数,
所以角的总个数不可能为20. (11分)
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