第四章 图形的相似单元测试卷（含答案）

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2025北师版九年级数学上册
第四章　图形的相似
时间 90分钟　满分 100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2023·北京门头沟区期末)如果=,那么的值是 (　　)
A. B. C. D.
2.(2023·广西贺州平桂区期末)已知△ABC∽△A1B1C1,且=.若△ABC的周长为8,则△A1B1C1的周长是 (　　)
A.4 B.8 C.12 D.18
3.(2023·贵州贵阳期中)如图,在5×3的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,点A,B,C,D都在格点上,线段AB与CD相交于点E,则AE∶BE等于 (　　)
A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶1
　　　　
第3题 第4题 第5题
4.(2022·山东青岛期中)如图,把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形,如果每个小矩形都与原矩形相似,那么原矩形纸片的长与宽之比为 (　　)
A.∶1 B.2∶1 C.3∶1 D.4∶1
5.(2023·河北保定三中期末)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,其中∠A与∠B不相等.将△ABC沿下列选项的图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)
A B C D
6.(2023·吉林长春南关区期末)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验如图(1).并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端.”在如图(2)所示的小孔成像实验中,若物距为10 cm,像距为15 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9 cm,则蜡烛火焰的高度是 (　　)
　
　图(1)　　　　　　　图(2)
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
7.(2022·天津和平区期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第二象限,点B的坐标为(-2,0),点C的坐标为(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C.若点A的对应点A'的坐标为(2,-3),点B的对应点B'的坐标为(1,0),则点A的坐标为(　　)
A.(-3,2) B.(-3,) C.(-,) D.(-,2)
　 　
第7题 第8题
8.(2023·安徽合肥四十五中一模)如图,图(1)是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上如图(2)所示,此时液面距离杯口的距离h= (　　)
A.cm B.2 cm C.cm D.3 cm
9.(2023·广东佛山阶段练习)如图,在△ABC中,中线AE,BD相交于点F,连接DE,则下列结论:①=,②=,③=,④=.其中正确结论的个数是 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
　　　　
第9题 第10题
10.(2022·河北邢台信都区期中)如图,有一块形状为直角三角形的余料ABC.已知∠A=90°,AB=6 cm,AC=8 cm,要把它加工成一个平行四边形工件DEFG,使GF在边BC上,点D,E分别在边AB,AC上,且DE=5 cm,则 DEFG的面积为 (　　)
A.24 cm2 B.12 cm2 C.9 cm2 D.6 cm2
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2023·湖南岳阳云溪区期中)如图,在△ABC中,点D为边AC上的点,连接BD,添加一个条件:　　　　　　　,可以使得△ADB∽△ABC.
　　　
第11题 第12题
12.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.当△ACP∽△PDB时,
∠APB=　　　　°.
13.(2023·河南郑州金水区期中)如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF的周长之比为a∶b,则=　　　　　　.
　　 　
第13题 第14题 第15题
14.(2023·山东青岛期中)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E,F分别为边AB,BC的中点,连接DE,AF相交于点G,则△AGE的面积为　　　　.
15.如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=8 cm.点P在BC上,连接PD,折叠矩形,点B与点C都恰好落在PD上的点F处,折痕是PQ,PR,AB的对应线段EF与AD交于点G,则线段DG的长度是　　　　.
选择题、填空题答题区
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12.
13. 14. 15.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(8分)方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出△A1B1C1.
(2)点A1的坐标为　　　　　　　　.
17.(8分)[中考创新题型|创新作图题](2023·福建漳州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.
(1)求作:∠ABC的平分线BD交AC于点D;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:点D为线段AC的黄金分割点(即AD2=CD·CA).
18.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,∠EDF=∠B.
(1)如图(1),求证:DE·CD=DF·BE.
(2)若点D为BC的中点,如图(2),连接EF.求证:ED平分∠BEF.
图(1) 图(2)
19.(9分)(2022·河南平顶山期末)某数学兴趣小组为了测量校内路灯的灯柱AB的高度,设计了以下三个方案.
方案一:如图(1),在操场上点C处放一面平面镜,从点C处后退1 m到点D处,恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像.再将平面镜向后移动4 m(即FC=4 m)放在F处,从点F处向后退1.5 m到点H处,恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像,其中眼睛距地面的高度ED,GH均为1.5 m,已知点B,C,D,F,H在同一水平线上,且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH.(平面镜的大小忽略不计)
方案二:如图(2),利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5 m,测得DE=2 m,
CE=2.5 m.
方案三:如图(3),将直角三角形支架的直角边CE保持水平,并且边CE与点M在同一直线上.已知两条边CE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边CE离地面距离DC=1.5 m.
以上三种方案中,方案　　　　不可行,请选择可行的方案,并求出灯柱的高度.
20.(10分)(2022·山东枣庄期中)如图(1),在正方形ABCD中,点G是对角线BD上一点,CG的延长线交AB于点E,交DA的延长线于点F,连接AG.
(1)求证:△AEG∽△FAG;
(2)若GE·GF=16,求GC的长.
(3)结合前两步的解答,你能得出GE,GF和GC的数量关系吗 如果把图(1)中的正方形变为菱形,其余条件不变[如图(2)],以上关系还成立吗 (请直接写出答案,不需要证明)
21.(11分)[中考创新题型|探究性试题](2023·广东揭阳一模)
(1)问题发现
如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①的值为　　　　;
②∠AMB的度数为　　　　.
(2)类比探究
如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由.
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
　　
图(1) 图(2) 备用图
第四章　图形的相似
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A B D A C A D B
11.∠ABD=∠C(答案不唯一) 12.120
13. 14. 15.cm
16.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1即为所作. (6分)
(2)(1,1)或(-1,-1) (8分)
17.【参考答案】(1)∠ABC的平分线BD交AC于点D,如图所示.(3分)
(2)证明:在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∴AD=BD,∠BDC=72°,
∴BD=BC,
∴AD=BC. (6分)
∵∠BCD=∠ACB,∠CBD=∠CAB,
∴△BCD∽△ACB,
∴BC∶AC=CD∶BC,
∴AD∶AC=CD∶AD,
∴AD2=CD·CA,
∴点D为线段AC的黄金分割点. (8分)
18.【参考答案】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°,
∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,∠EDF=∠B,
∴∠DEB=∠FDC,
∴△BDE∽△CFD,
∴=,
即DE·CD=DF·BE. (5分)
(2)由(1),可知=.
∵点D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴=,
∴=. (7分)
又∵∠B=∠EDF,
∴△BDE∽△DFE,
∴∠BED=∠DEF,
∴ED平分∠BEF. (9分)
此题涉及的图形为相似模型中的“一线三等角”模型,该模型在考试中经常出现,其基本图形如图(1)所示,当∠B=∠APM=∠C时,显然有△ABP∽△PCM.这一基本图形往往存在于一些特殊图形中,其常见形式有如下三种:①如图(2),在等边三角形ABC中,∠DEF=60°,显然有△BED∽△CFE;②如图(3),在矩形ABCD中,若∠CEF=90°,显然有△AEF∽△DCE;③如图(4),在梯形ABCD中,若∠A=∠D=∠BPC,显然有△ABP∽△DPC.
　　　　 图(1) 　　图(2)　　 图(3)　　图(4)
19.【参考答案】二、三 (2分)
解法提示:根据相似三角形的知识可知,
方案二中△ABE缺少边长的条件,
故方案二不可行.
方案三中△AMC缺少边长的条件,
故方案三不可行.
选择方案一. (3分)
∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC,
∴△ABC∽△EDC,
∴=,∴AB==1.5BC. (5分)
设BC=x m,则AB=1.5x m,
同理可得△ABF∽△GHF,
∴=.
∵AB=1.5x m,BF=BC+CF=(x+4)m,GH=1.5 m,FH=1.5 m,
∴=,解得x=8,
∴AB=1.5×8=12(m),
即灯柱的高度为12 m. (9分)
20.【参考答案】(1)证明:∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠ABD=∠CBD=45°,AB=CB,
∵BG=BG,∴△ABG≌△CBG(SAS),
∴∠BAG=∠BCG,
∵AD∥CB,∴∠BCG=∠F,∴∠EAG=∠F,
又∵∠EGA=∠AGF,∴△AEG∽△FAG. (4分)
(2)由(1)得△AEG∽△FAG,
∴=,即GA2=GE·GF=16,
∴GA=4或GA=-4(舍去),
∵△ABG≌△CBG,
∴GC=GA=4. (7分)
(3)数量关系为GC2=GE·GF;在题图(2)中仍成立. (10分)
解法提示:由(1)知△AEG∽△FAG,
∴=,即GA2=GE·GF,
∵△ABG≌△CBG,
∴GC=GA,
∴GC2=GE·GF.
如题图(2),∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴∠ABD=∠CBD,AB=CB,
又∵BG=BG,
∴△ABG≌△CBG(SAS),
∴∠BAG=∠BCG,
∵AD∥CB,
∴∠BCG=∠F,
∴∠EAG=∠F,
又∵∠EGA=∠AGF,
∴△AEG∽△FAG.
同理可得GC2=GE·GF.
21.【参考答案】(1)①1 (1分)
②40° (2分)
解法提示:①∵∠AOB=∠COD,
∴∠BOD=∠AOC,
∵OC=OD,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,
∴=1.
②设BD,OA交于点N,
∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,
∴∠AMB=∠AOB=40°.
(2)=,∠AMB=90°. (4分)
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,
∴==,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD,
∴==,∠CAO=∠DBO. (6分)
设AO,BM交于点N,
∵∠ANM=∠BNO,∴∠AMB=∠AOB=90°. (8分)
(3)AC的长为2或3. (11分)
解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,=,
设BD=x,则AC=x.
分两种情况讨论.
如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2)2=(x)2+(x+2)2,
解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去),
∴AC=x=2.
　　　
图(1) 　图(2)
如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(2)2=(x)2+(x-2)2,
解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,
∴AC=x=3.
综上所述,AC的长为2或3.
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