广东省广州实验中学2016届高三上学期第二次阶段性考试理科数学试卷

2015-2016广东实验中学高三上学期第二次阶段考试题
理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数，则复数的虚部为（）
A． B． C． i D． i
3.已知等边三角形ABC，边长为1，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
5.设等比数列的公比为，则“”是是递减数列的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知函数为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
① ②y=f(-x) ③y=xf(x) ④y=f(x)-x
A．①③ B． ②③ C．①④ D．②④
7．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
8．设,则二项式展开式中的第4项为（ ）
A． B． C． D．
9. 已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）
A． B．
C． D．
10.若等于（ ）
A． B． C． D．
11.甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，若甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
12.过抛物线的焦点且斜率为2的直线交C于A,B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则P的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.双曲线的离心率为 。
14．已知满足约束条件，且的最小值为6，则常数 ；
15．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且，则不等式的解集为 ．
16.在中，已知角，，则边c= 。
第II卷
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足，
1）求数列的通项公式；
2）若数列满足：，求数列的前项和。
18. （本小题满分12分）某校学生参加 ( http: / / www.21cnjy.com )了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．
( http: / / www.21cnjy.com )
（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大 ( http: / / www.21cnjy.com )于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．
19．（本题满分12分）如左图，四边形中，是的中点，
将左图沿直线折起，使得二面角为如右图.
求证：平面
求直线与平面所成角的余弦值.
20. （本题满分12分）已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为、，为正三角形且周长为6.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知圆:，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值．
21．（本小题满分12分） 已知函数，.已知函数有两个零点，且.
（1）求的取值范围；
（2）证明随着的减小而增大；
（3）证明随着的减小而增大.
四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．（本大题10分）
22．【选修4-1：几何证明选讲】如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．
23．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】直角坐标系中曲线C的参数方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2，1）作直线交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线的斜率．
24．【选修4-5：不等式选讲】已知函数，k∈R，且的解集为．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．
2015高三11月第2次月考
理科数学参考答案
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1～12 C B C C D D B A C A B C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14． 15． 16.
第II卷
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足，
1）求数列的通项公式；
2）若数列满足：，求数列的前项和。
解：1），
……………1分
……………2分
，……………4分
2）由，得：
又 ，（，……………5分
两式相减得：……………6分
又，则 ……………7分
……………8分
记
……………9分
相减得：
则，……………11分
……………12分
18. （本小题满分12分）某校学生参加了 ( http: / / www.21cnjy.com )“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．
( http: / / www.21cnjy.com )
（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若该班共有10人的两 ( http: / / www.21cnjy.com )科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．
解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有8÷0.2=40人
所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3．……………4分
（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ……………5分
，
，
，
，
……………10分
所以ξ的分布列为
X 16 17 18 19 20
P
所以．
所以ξ的数学期望为．……………12分
19．（本题满分12分）如左图，四边形中，是的中点，
将左图沿直线折起，使得二面角为如右图.
求证：平面
求直线与平面所成角的余弦值.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
20. （本题满分12分）已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为、，为正三角形且周长为6.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知圆:，若直线与椭圆只有一个公共点，且直线与圆相切于点；求的最大值．
解：（Ⅰ）解：由题设得
解得： ，故的方程为. ……………4分
（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，
由直线与圆相切，得① ……………6分
由 ( http: / / www.21cnjy.com )，
因为直线与椭圆相切，所以，
得②， ……………7分
所以. ……………8分
由，可得
------------③
……………10分
由①②④，将④代入③得，
……………11分
当且仅当
所以 ……………12分
21．（本小题满分12分） 已知函数，.已知函数有两个零点，且.
（1）求的取值范围；
（2）证明随着的减小而增大；
（3）证明随着的减小而增大.
（Ⅰ）解：由，可得.……………1分
下面分两种情况讨论：
（1）时
在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意. ……………2分
（2）时，
由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 －
↗ ↘
这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.……………3分
于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：
1°；2°存在，满足；
3°存在，满足.
由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.所以，的取值范围是. ……………5分
（Ⅱ）证明：由，有.
设，由，知在上单调递增，在上单调递减. 并且，当时，；当时，.
由已知，满足，. 由，及的单调性，可得，.对于任意的，设，，其中；，其中.
因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.
又由，得.
所以，随着的减小而增大. ……………8分
（Ⅲ）证明：由，，可得，.
故.
设，则，且解得，.所以，
. ①
令，，则.
令，得.
当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.
因此，由①可得随着的增大而增大.
而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大. ……………12分
四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．（本大题10分）
22．【选修4-1：几何证明选讲】如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．
( http: / / www.21cnjy.com )
解： （1）证明：∵AE是直径，∴…（1分）
又∵∠AEB=∠ACD…（2分）
∴△ABE∽△ADC…（4分）
（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，
∴AF2=FC FB
∴FA=2，…（5分）
∴AD=2…（7分）
∴AC=2 …（8分）
∴AB=6，…（9分）
由（1）得
∴AE=6
∴△ABC的外接圆的半径为3．…（10分）
23．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．
解答： 解：（1）变形曲线C的参数方程可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵cos2θ+sin2θ=1，
∴曲线C的直角坐标方程为+=1；……………5分
（2）设直线l的倾斜角为θ，
可得直线l的参数方程为（t为参数）
代入曲线C的直角坐标方程并整理得（cos2θ+4sin2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8=0
由韦达定理可得t1+t2=，t1t2=
由题意可知t1=﹣2t2，代入上式得12sin2θ+16sinθcosθ+3cos2θ=0，
即12k2+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k=……………10分
24．【选修4-5：不等式选讲】已知函数f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集为．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正实数，且，求证：．
解答： （Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解 ( http: / / www.21cnjy.com )集为[﹣1，1]，即为|x|≤k的解集为[﹣1，1]，（k＞0），即有[﹣k，k]=[﹣1，1]，解得k=1；……………5分
（Ⅱ）证明：将k=1代入可得，++=1（a，b，c＞0），
则a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2=3+2+2+2=9，
当且仅当a=2b=3c，上式取得等号．
则有．……………10分