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第六章《平行四边形》单元测试
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是 （ ）
A．平行四边形对边平行 B．平行四边形邻边相等
C．平行四边形对角互补 D．平行四边形邻角相等
2．如图，中，平分交于点E，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，．若，则的长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．如图，在，为对角线，、分别是、的中点，连接，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
7．如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．20 D．40
9．一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（ ）．
A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．如图，在中，平分交于点E，若，则的周长是 ．
12．已知在中，比大，那么的度数是 ．
13．的对角线、相交于点O，，，，则的周长为 ．
14．在平而直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，若以点A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，则顶点B的坐标是 ．
15．如图，在四边形中，，添一个条件 ，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线）
16．如图，在中，对角线相交于点 O，E 为边的中点，连接，若，则
17．一个多边形所有内角都是，则这个多边形的边数为 ．
18．已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21，22，23，24题每题8分，第25题10分，第26题12分，共66分）
19．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且点，分别是，的中点，连接，．求证：．
20．如图，平行四边形．
(1)若，求；
(2)若是边上一点，且平分，平分，求证：．
21．如图，在中，作的平分线交于点E，以A为圆心，长为半径画弧交于F．
(1)请用直尺和圆规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，若，求出线段的长度．
22．若一个多边形的内角和比它的外角和的倍多，
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形的对角线的总条数．
23．如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的周长．
24．如图，已知中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的度数．
25．如图，的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，．动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）．
(1)求的长；
(2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点P的坐标．
26．如图（1），如果两个一次函数的图象关于直线对称，则称这两个一次函数为“守望函数”，由轴对称知识可知这两条直线的交点必定在直线上，我们称这个交点为“守望点”，两条直线与坐标轴的交点为、．同样由轴对称知识可知．
(1)如图（1）已知函数与为守望函数，求守望点的坐标及的值；
(2)如图（1）在条件（1）成立时，如果平面内有一点，使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，请求出满足条件的所有点坐标；
(3)如图（2）函数与为守望函数，点为线段上一点（不含端点），连接；一动点从出发，沿线段以1单位/秒的速度运动到点，再沿线段以单位/秒的速度运动到点后停止，点在整个运动过程中所用最短时间为12秒，求这两个守望函数的解折式．
图（1） 图（2）中小学教育资源及组卷应用平台
第六章《平行四边形》单元测试
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法正确的是 （ ）
A．平行四边形对边平行 B．平行四边形邻边相等
C．平行四边形对角互补 D．平行四边形邻角相等
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质进行一一分析判断即可．
【详解】解：A、平行四边形对边平行，原说法正确，符合题意；
B、平行四边形邻边不一定相等，原说法不正确，不符合题意；
C、平行四边形对角相等，原说法不正确，不符合题意；
D、平行四边形邻角互补，原说法不正确，不符合题意；
故选：A．
2．如图，中，平分交于点E，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，得到，角平分线得到，再根据平行四边形的对角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故选D．
3．如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
4．已知在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补，解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴故选：C．
5．如图，在中，．若，则的长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形对角线互相平分得到，，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：D．
6．如图，在，为对角线，、分别是、的中点，连接，若，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理的综合运用．中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．根据平行四边形的对边相等、三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
；
又、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
；
故选：D
7．如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意；
C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
8．如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：C．
9．一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】本题多边形内角和公式，解题关键是理解并熟记多边形内角和公式． 根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可．
【详解】解：设多边形边数有x条，由题意得：
解得：
故选B．
10．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（ ）．
A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7
【答案】B
【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数．
【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得：
．
解得∶．
因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
所以原多边形的边数可能为7、8或9．
故选：B．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．如图，在中，平分交于点E，若，则的周长是 ．
【答案】32
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，再根据等角对等边可得，进而求得，最后求周长即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵平分，
∴，
，
∴，
∴平行四边形的周长为．
故答案为：32．
12．已知在中，比大，那么的度数是 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，，
．
故答案为：．
13．的对角线、相交于点O，，，，则的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直接利用平行四边形的性质，对边相等，对角线互相平分，进而得出答案．
【详解】解：∵的对角线、相交于点O，，，，
∴，，，
∴的周长为，
故答案为：17．
14．在平而直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，若以点A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，则顶点B的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，进行分类讨论是解题的关键．
根据平行四边形的判定画出图形，分三种情况即可得到结论．
【详解】解：∵点，
以点为顶点的四边形是平行四边形，如图，分三种情况：
当时，
四边形是平行四边形，
∴点的坐标是；
当时，四边形是平行四边形，
∴点的坐标是；
当时，四边形是平行四边形，
∴点的坐标是；
故答案为：或或．
15．如图，在四边形中，，添一个条件 ，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线）
【答案】（或或者）答案不唯一
【详解】解：根据平行四边形的判定，可添加：(答案不唯一)．
故答案为：（或或）．
16．如图，在中，对角线相交于点 O，E 为边的中点，连接，若，则
【答案】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案，得出是的中位线是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， 为边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
17．一个多边形所有内角都是，则这个多边形的边数为 ．
【答案】8
【分析】此题考查了多边形的题目，关键是熟练掌握多边形的外角和定理．
先根据邻补角定义可得每一个外角的度数，然后根据正n边形的每个外角为，通过计算可得结果．
【详解】∵所有内角都是，
∴每一个外角的度数是，
∵多边形的外角和为，
∴这个多边形的边数为：，
故答案为：8．
18．已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
【答案】9
【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【详解】解：多边形的外角和都是，
内角和等于，
设这个多边形有条边，
，解得：，
从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．
故答案为：9．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21，22，23，24题每题8分，第25题10分，第26题12分，共66分）
19．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且点，分别是，的中点，连接，．求证：．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，
在和中，
，
，
．
20．如图，平行四边形．
(1)若，求；
(2)若是边上一点，且平分，平分，求证：．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在中，作的平分线交于点E，以A为圆心，长为半径画弧交于F．
(1)请用直尺和圆规完成题中的作图（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，若，求出线段的长度．
【详解】（1）解：如图，作图如下：
．
（2）如图，连接，记与的交点为，
由作图可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴；
22．若一个多边形的内角和比它的外角和的倍多，
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形的对角线的总条数．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，
∴，
解得，，
∴这个多边形的边数为，即该图形是九边形．
（2）解：九边形的顶点有个，每个顶点除本顶点和相邻的两个顶点不能连接，
∴每个顶点可以连接的顶点数为个，
∴该九边形的每个顶点可连接的对角线条数为（条），共有个顶点，
∴共有对角线条数为（条），
∵每个顶点有重复，
∴九边形的对角线条数为：（条）．
23．如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的周长．
【详解】（1）解：∵绕点O旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，作于点H．
根据解析（1）可知：，
∵，
∴，
∴·，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
则，
∴，
∴四边形的周长为：
．
24．如图，已知中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的度数．
【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，
，即，
又，
，
，
又，
，
又四边形是平行四边形，
．
25．如图，的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，．动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）．
(1)求的长；
(2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，
∴，
∵的顶点B与坐标原点重合，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵与互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上， ，
∴，
∵动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动，
∴，，
∴，
∴，
∴存在，当时，与互相平分；
（3）解：当分Q在线段上时，如图，
∵P，关于对称，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当Q在线段的延长线时，如图，过D作于Q，
∵P，关于对称，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，P的坐标为或．
26．如图（1），如果两个一次函数的图象关于直线对称，则称这两个一次函数为“守望函数”，由轴对称知识可知这两条直线的交点必定在直线上，我们称这个交点为“守望点”，两条直线与坐标轴的交点为、．同样由轴对称知识可知．
图（1） 图（2）
(1)如图（1）已知函数与为守望函数，求守望点的坐标及的值；
(2)如图（1）在条件（1）成立时，如果平面内有一点，使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，请求出满足条件的所有点坐标；
(3)如图（2）函数与为守望函数，点为线段上一点（不含端点），连接；一动点从出发，沿线段以1单位/秒的速度运动到点，再沿线段以单位/秒的速度运动到点后停止，点在整个运动过程中所用最短时间为12秒，求这两个守望函数的解折式．
【详解】（1）解：（1）设守望函数y1=3x-6与y2=kx+2的守望点M（a，a），
∴，得，∴守望点M的坐标是（3，3），k的值为；
（2）设N（m，n），
函数y1=3x-6与x轴交点B为（2，0），函数y2=x+2与y轴交点A（0，2），M（3，3），
①若NB、AM为对角线，则NB、AM中点重合，
∴，解得，∴N（1，5）；
②若NA、BM为对角线，则NA、BM中点重合，
∴，解得，∴N（5，1）；
③若NM、BA为对角线，则NM、BA中点重合，
∴，解得∴N（-1，-1），
综上所述，N的坐标为（1，5）或（5，1）或（-1，-1）；
（3）过M作MH∥x轴，过B作BH∥y轴，两平行线交于H，BH交直线y2于C，如图：
设守望函数y1=3x+n与y2=x+m的守望点M（b，b），∴，解得，
∴，在y2=x+m中，令x=0得y=m，，
，，，
在中，，，∴CM=CH，
∴t=，∴当C在BH上时，t最小，最小值即为BH，
∵点P在整个运动过程中所用最短时间为12秒，
∴BH=12，∵，∴m=12，解得m=8，∴n=-3m=-24，
∴这两个守望函数的解析式为：y1=3x-24，y2=x+8．
