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上海市2024年七年级数学下学期期末模拟考试
满分：100分 测试范围：七下全部内容
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．下列实数中，无理数是
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是
A．4的平方根是2 B．1的立方根是
C．没有五次方根 D．0的任何次方根都是0
3．在直角坐标系中，已知点在第三象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为，那么点的坐标是
A． B． C． D．
4．下列判断正确的是
A．等腰三角形任意两角相等
B．等腰三角形底边上中线垂直底边
C．任意两个等腰三角形全等
D．等腰三角形三边上的中线都相等
5．以下列数据为三边长能构成三角形的是
A．1，2，3 B．2，3，4 C．14，4，9 D．7，2，4
6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比” 为
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．计算： ．
8．已知点和点关于原点对称，则的值为 ．
9．已知点在第二象限，则符合条件的的整数值的个数是 ．
10．的平方根是 ．
11．比较大小： （填“”“ ”或“” ．
12．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，三角形顶角度数 ．
13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
14．如图，已知在和中，，，，在同一直线上，，，请补充一个条件： ，使．
15．如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 ．
16．在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点逆时针旋转，得到的点的坐标为 ．
17．点和点是数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为，那么、两点间的距离为 ．
18．如图：将正方形纸片先对折，得折痕后展开，然后再将沿翻折，使点落在折痕上的点，联结得，那么的形状为 ．
三．解答题（共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．（1）计算：；
（2）利用分数指数幂的运算性质进行计算：．
20．已知在等腰三角形中，，．求的度数．
21．如图，已知，，，试说明的理由．
解：因为（已知），所以 ．
因为（已知），所以 ．
因为（已知），所以
即．
所以 ．所以 ．
22．如图，在和中，，点是的中点，于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．如图，在中，的周长为18，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）求的周长．
24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出关于轴对称的图形△；
（2）直接写出、、的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△的面积．
25．已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
26．在中，，点、分别在、上，且，联结交于点．
（1）如图1，是底边上的中线，且．
①试说明的理由；
②如果为等腰三角形，求的度数；
（2）如图2，联结并延长，交延长线于点，如果，，试说明的理由．中小学教育资源及组卷应用平台
上海市2024年七年级数学下学期期末模拟考试
满分：100分 测试范围：七下全部内容
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
1．下列实数中，无理数是
A． B． C． D．
【分析】无限不循环小数为无理数，根据无理数概念作答．
【解答】解：，为分数是有理数不符合题意．
，是无理数符合题意．
，为分数是有理数不符合题意．
，1为整数是有理数不符合题意．
故选：．
【点评】考查有理数及无理数概念，解题关键是利用排除法求解．
2．下列说法正确的是
A．4的平方根是2 B．1的立方根是
C．没有五次方根 D．0的任何次方根都是0
【分析】分别根据平方根、立方根和次方根的定义进行判断即可．
【解答】解：4的平方根是，故不符合题意；
1的立方根是1，故不符合题意；
有五次方根，故不符合题意；
0的任何次方根都是0，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查平方根、立方根和次方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．在直角坐标系中，已知点在第三象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为，那么点的坐标是
A． B． C． D．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：因为点在第三象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为，
所以点的坐标为，，
故选：．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
4．下列判断正确的是
A．等腰三角形任意两角相等
B．等腰三角形底边上中线垂直底边
C．任意两个等腰三角形全等
D．等腰三角形三边上的中线都相等
【分析】由等腰三角形的性质，即可判断．
【解答】解：、等腰三角形的两个底角相等，故不符合题意；
、等腰三角形底边上中线垂直底边，正确，故符合题意；
、任意两个等腰三角形不一定全等，故不符合题意；
、等腰三角形，两腰上的中线相等，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的性质．
5．以下列数据为三边长能构成三角形的是
A．1，2，3 B．2，3，4 C．14，4，9 D．7，2，4
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
、，能构成三角形，故此选项符合题意；
、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
、，不能构成三角形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比” 为
A． B． C． 或 D． 或
【分析】分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比．
【解答】解：当腰时，则底边；
此时，优美比；
当为底边时，则腰为4；
此时，优美比；
故选：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）
7．计算： ．
【分析】根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．
【解答】解：．故答案为．
【点评】本题主要考查了负指数幂的运算．
8．已知点和点关于原点对称，则的值为 ．
【分析】点和点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
【解答】解：因为点和点关于原点对称，
所以，，
将、代入，原式，
故答案为：．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称规律是解题关键．
9．已知点在第二象限，则符合条件的的整数值的个数是 1 ．
【分析】根据第二象限内点的坐标的符号特征，列出关于的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）点在第二象限，
，
解得，
符合条件的的整数是2，共1个．
故答案为：1．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
10．的平方根是 ．
【分析】运用平方根的定义进行求解．
【解答】解：，
的平方根是，
故答案为：．
【点评】此题考查了实数平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
11．比较大小： （填“”“ ”或“” ．
【分析】利用平方运算比较与的大小，即可解答．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
12．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，三角形顶角度数 或 ．
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为．
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
，，
，
即顶角的度数为．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
，，
，
．
故答案为或．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
14．如图，已知在和中，，，，在同一直线上，，，请补充一个条件： 或（答案不唯一） ，使．
【分析】根据全等三角形的判定补充条件即可．
【解答】解：，
，
即，
又，
已经具备两个条件，当补充它们的夹角相等，或第三边相等即可分别利用或判定两三角形全等，
即补充或即可，
故答案为：或．
【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15．如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 ．
【分析】设，，根据角平分线的定义得，，，，再根据得，，，由此可得，，然后根据可求出，据此即可求出的度数．
【解答】解：设交于点，过作，如图：
设，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
，，，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键．
16．在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点逆时针旋转，得到的点的坐标为 ．
【分析】点逆时针旋转，得到的点，则，关于原点对称，横坐标，纵坐标都互为相反数．
【解答】解：由题意，，关于原点对称，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．
17．点和点是数轴上的两点，点表示的数为，点表示的数为，那么、两点间的距离为 ．
【分析】根据数轴上两点间的距离公式，代入点和点表示的数，求解即可．
【解答】解：点表示的数为，点表示的数为，
．
故答案为：．
【点评】此题主要是考查了数轴上两点间的距离，能够熟练运用公式是解答此题的关键．
18．如图：将正方形纸片先对折，得折痕后展开，然后再将沿翻折，使点落在折痕上的点，联结得，那么的形状为 等边三角形 ．
【分析】由轴对称可知，再由正方形的边长相等可知，从而判断形状．
【解答】解：等边三角形．
证明如下，
由题意知，垂直平分线段，
，
和关于对称，
，
四边形是正方形，
，
是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质．本题的关键是将轴对称转化为线段相等．
三．解答题（共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．（1）计算：；
（2）利用分数指数幂的运算性质进行计算：．
【分析】（1）先运用乘法分配律和完全平方公式将括号去掉后，再计算二次根式的加减运算；
（2）先运用分数指数幂将该算式变形为同底数幂相乘除进行求解．
【解答】解：（1）；
；
（2）
．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算和分数指数幂问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．
20．已知在等腰三角形中，，．求的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质得，设，则，由三角形的内角和定理得到关于的方程，即可求解．
【解答】解：，
，
设，则，
，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21．如图，已知，，，试说明的理由．
解：因为（已知），所以 两直线平行，同位角相等 ．
因为（已知），所以 ．
因为（已知），所以
即．
所以 ．所以 ．
【分析】由已知平行可证明，由可证明，从而可知，进而可证明两直线平行．
【解答】解：因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）．
因为（已知），所以（等量代换）．
因为（已知），所以（等式性质）．
即，所以．
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式性质；；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行的性质和判定．本题的关键是证明．
22．如图，在和中，，点是的中点，于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．
【解答】（1）证明：，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得：，
，，
是的中点，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．如图，在中，的周长为18，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）求的周长．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，即可解答；
（2）利用角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得：的周长，即可解答．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
的周长为18，，
，
，
，
，
，
的周长为11．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出关于轴对称的图形△；
（2）直接写出、、的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△的面积．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据，，的位置写出坐标即可．
（3）避实就虚面积可知矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2），，；
（3）△的面积，
【点评】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
25．已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
是的一个外角，
，
，，
，
．
；
（2）①，
，
，
设，则，
，
，
；
②是的一个外角，
，
分三种情况：
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
26．在中，，点、分别在、上，且，联结交于点．
（1）如图1，是底边上的中线，且．
①试说明的理由；
②如果为等腰三角形，求的度数；
（2）如图2，联结并延长，交延长线于点，如果，，试说明的理由．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质即可得解；
②要使为等腰三角形，需，所以，得，然后证明，得，或者，进而可以解决问题；
（2）证明，即可解决问题．
【解答】解：（1）①，
（等边对等角），
在与中，
，
，
（全等三角形对应边相等），
是底边上的中线，，
，
；
②根据题意可知：要使为等腰三角形，
需，
，
，
是底边上的中线，，
，
，
，
，
，
，
；
或者，为等腰三角形，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或；
（2）如图，是底边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题属于三角形的综合题，难度较大，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余的性质，解决本题的关键是得到．
