江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、/span> 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·萍乡期中）已知甲 乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（　　）
①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；
②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；
③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高二下·萍乡期中）等差数列中，，则（　　）
A．40 B．30 C．20 D．10
3．（2024高二下·萍乡期中）设在上的导函数为，若，则（　　）
A．-2 B．2 C．-6 D．6
4．（2024高二下·萍乡期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（　　）
A．18 B．28 C．40 D．54
5．（2024高二下·萍乡期中）等比数列中，，函数的导函数为，则（　　）
A．-8 B．4 C．-2 D．0
6．（2024高二下·萍乡期中）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行 每列 每条对角线上的三个数字之和相同（如图）.已知数列的通项公式为，现将该数列的前16项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（　　）
A．60 B．72 C．76 D．80
7．（2024高二下·萍乡期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．（2024高二下·萍乡期中）对于任意实数，不等式恒成立，则集合的一个子集为（　　）
A． B． C． D．
二、/span> 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·萍乡期中）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（　　）
A．为递增数列 B．为递增数列
C．中最小项的值为1 D．
10．（2024高二下·萍乡期中）奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·萍乡期中）已知，若函数的三个不同零点依次构成等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、/span> 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·萍乡期中）已知函数，则　 　.
13．（2024高二下·萍乡期中）足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有4支队伍，则该组需要进行6场比赛.按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则　 　.
14．（2024高二下·萍乡期中）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为　 　.
四、/span> 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·萍乡期中）已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的值；
（2）试猜想的通项公式，并证明.
16．（2024高二下·萍乡期中）已知函数.
（1）若函数，求在点处的切线方程；
（2）试判断的单调性，并证明；
（3）证明：.
17．（2024高二下·萍乡期中）正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
18．（2024高二下·萍乡期中）函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由.
19．（2024高二下·萍乡期中）函数.
（1）当时，求的极值点个数；
（2）若时，单调递减，求的取值范围；
（3）求证：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由图像可知在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；
在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快，故②正确；
在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢，故③正确；
乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用图像结合变化率逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，所以，即，
又因为，解得d=4，
.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的定义和通项公式求出d，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：，
解得-6.
故答案为：C.
【分析】利用导数的定义计算即可.
4．【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，所以，，，，
所以.
【分析】利用递推公式，赋值求解即可.
5．【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】先对求导，再利用等比数列的性质即可.
6．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，所以，所以为等差数列，，
所以，
所以此四阶幻方中每一行的数字之和为 76.
故答案为：C.
【分析】由题意可得数列为等差数列，利用等差数列的求和公式和四阶幻方的定义即可.
7．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：已知则，，
所以，即为函数g(x)的“拐点”，即对称中心，
所以，
所以原式.
故答案为：B.
【分析】对g(x)二次求导求出g(x)的拐点，利用对称中心即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：不等式 可移项化简为：
，
两边同时加1可得：，
又因为，
所以，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以有 ，
所以 ，
即 ，，
所以 ，解得 ，
又因为 ，
所以 ，
所以只有 选项满足要求.
故答案为： D.
【分析】由题意不等式化简运算可得， 构造函数 ， 则有， 结合 的单调性可得 ， 再根据对数的基本运算求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列为等比数列，，，
所以，即所以为递增数列 ，故A选项正确；
因为，
所以为递增数列且为等比数列，所以，故B选项正确；
由选项B可知最小，所以，故C选项错误；
，
所以当时，，
当时，，
所以，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用等比数列的通项公式和单调性逐项判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令则恒成立，
所以g(x)在上单调递增，又因为为奇函数，所以g(x)是偶函数，
因为所以，故A选项正确；
因为，所以，故B选项正确；
因为，所以，故C选项正确；
因为，所以，故D选项错误.
故答案为：ABC
【分析】令，求导可得g(x)在上单调递增且偶函数，利用单调性和奇偶性逐项判断即可.
11．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据题意可得， 函数的三个不同零点，
，
对于 ，结合 依次构成等差数列， 则有，
又由解析式可知， ， 可得 ，
解得 ， 即 ， 故 项正确；
对于 ， 设 构成等差数列的公差为 ，
则 ，
由 ， 可得
由于 的值不确定，
所以 不一定等于2 ， 故 项不正确；
对于 ， 因为 ， 且 ， 其值不确定，
所以 不一定成立， 故 项不正确；
对于 ， 由 表达式的一次项系数为-1 ，
可知 ， 故 项正确.
故选： AD.
【分析】根据多项式乘法的法则将函数化简运算， 利用恒等思想得到且， 由此结合等差数列的中项性质对各选项进行验证，求解即可.
12．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：已知，则，所以.
故答案为：.
【分析】对求导，代值即可.
13．【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意可得，所以，所以，
.
故答案为：.
【分析】利用组合数求出数列的通项，再利用裂项相消求和即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由已知， 当时，恒成立，
即，
所以，
所以，
设
①若时， 即 时， ，
在 上单调递增，
，
在 上单调递增，
， 满足题意，
；
②若时， 即 时， 令 ， 可得 ，
当 时， 单调递减， ，
在 上单调递减，
， 不满足题意，
综合①②可得：实数 的取值范围为 ， .
故答案为： .
【分析】化简不等式，利用换元法可得，， 令 ， 利用导数研究函数的单调性从而可求解.
15．【答案】（1）由题知，，解得，
同理，，解得；
（2）由（1）可猜想，证明如下：
已知，当时，有，
化简得，即，
则有，
又，故，
则，
当时，上式仍成立，则.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)利用递推公式即可；
（2）由（1）可得，当时有，利用累乘法即可.
16．【答案】（1）解：由题知，，则，
则
又，故切点为，
切线方程为：，即；
（2）函数在定义域上单调递减，证明如下：
已知，设，则，
时，单调递增；时，单调递减，
则，即，故在定义域上单调递减；
（3）要证，即证，即证，
设，则，
时，单调递增；时，单调递减，
则，故成立，证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，求出k，利用点斜式方程即可；
（2）求导令再对h(x)求导，利用导数和单调性的关系即可；
（3）由题意可转化为，令，对其求导求最大值即可证明.
17．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，则等差数列公差也为，由题知，又，且，得，
即，解得或，
当时，由得：，又，解得，
则的通项公式分别为：，
当时，由得：，又，解得，不合题意，
综上，数列的通项公式分别为：；
（2）解：由（1）可得，
两式相减得：.
故的前项和
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由题意可得或，再分别求出即可；
（2）由（1）可得利用错位相减法即可.
18．【答案】（1）解：由题知，，
令，则，
当时，，则恒成立，故在定义域上单调递增；
当时，的两根分别为，
若，则，且时，单调递增；时，单调递减，
若，则，且时，单调递增；时，，单调递减，
综上：当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：，若是拉格朗日中值函数，则需满足存在，且，使得，
即，即，
①当时，上式对任意的都成立，则为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个；
②当时，需满足，设，即需方程在区间上有解，
令在上单调递增，
当时，，即方程在区间上无解，
综上：当时，为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个；当时，不是拉格朗日中值函数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)对求导，令对分类讨论即可；
（2）利用“拉格朗日中值函数”的定义原式可转化为，分和两种情况讨论即可.
19．【答案】（1）解：由题知，，
令，得，
故在和上单调递减，在上单调递增；
则在处有极小值，在处有极大值，即有2个极值点；
（2）解：，由题知，当时，恒成立，即，
设，故在上单调递减，
则，故；
（3）证明：由（2）知，时，，
令，得，
即
则，
…
将以上各不等式左 右两边分别相加得：
，
即，
即
即
故，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；数列的求和
【解析】【分析】（1）求导令求得，结合单调性和导数的关系即可；
（2）由题意可得恒成立，令求其最大值即可；
（3）由（2）知，时，令可得对n赋值，累加即可得证.
1 / 1江西省萍乡市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、/span> 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·萍乡期中）已知甲 乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（　　）
①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；
②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；
③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由图像可知在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；
在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快，故②正确；
在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢，故③正确；
乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用图像结合变化率逐项判断即可.
2．（2024高二下·萍乡期中）等差数列中，，则（　　）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，所以，即，
又因为，解得d=4，
.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列的定义和通项公式求出d，即可求解.
3．（2024高二下·萍乡期中）设在上的导函数为，若，则（　　）
A．-2 B．2 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：，
解得-6.
故答案为：C.
【分析】利用导数的定义计算即可.
4．（2024高二下·萍乡期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（　　）
A．18 B．28 C．40 D．54
【答案】B
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，所以，，，，
所以.
【分析】利用递推公式，赋值求解即可.
5．（2024高二下·萍乡期中）等比数列中，，函数的导函数为，则（　　）
A．-8 B．4 C．-2 D．0
【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】先对求导，再利用等比数列的性质即可.
6．（2024高二下·萍乡期中）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行 每列 每条对角线上的三个数字之和相同（如图）.已知数列的通项公式为，现将该数列的前16项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（　　）
A．60 B．72 C．76 D．80
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，所以，所以为等差数列，，
所以，
所以此四阶幻方中每一行的数字之和为 76.
故答案为：C.
【分析】由题意可得数列为等差数列，利用等差数列的求和公式和四阶幻方的定义即可.
7．（2024高二下·萍乡期中）对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：已知则，，
所以，即为函数g(x)的“拐点”，即对称中心，
所以，
所以原式.
故答案为：B.
【分析】对g(x)二次求导求出g(x)的拐点，利用对称中心即可.
8．（2024高二下·萍乡期中）对于任意实数，不等式恒成立，则集合的一个子集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：不等式 可移项化简为：
，
两边同时加1可得：，
又因为，
所以，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以有 ，
所以 ，
即 ，，
所以 ，解得 ，
又因为 ，
所以 ，
所以只有 选项满足要求.
故答案为： D.
【分析】由题意不等式化简运算可得， 构造函数 ， 则有， 结合 的单调性可得 ， 再根据对数的基本运算求解即可.
二、/span> 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·萍乡期中）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（　　）
A．为递增数列 B．为递增数列
C．中最小项的值为1 D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列为等比数列，，，
所以，即所以为递增数列 ，故A选项正确；
因为，
所以为递增数列且为等比数列，所以，故B选项正确；
由选项B可知最小，所以，故C选项错误；
，
所以当时，，
当时，，
所以，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用等比数列的通项公式和单调性逐项判断即可.
10．（2024高二下·萍乡期中）奇函数满足对于任意，有，其中为的导函数，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令则恒成立，
所以g(x)在上单调递增，又因为为奇函数，所以g(x)是偶函数，
因为所以，故A选项正确；
因为，所以，故B选项正确；
因为，所以，故C选项正确；
因为，所以，故D选项错误.
故答案为：ABC
【分析】令，求导可得g(x)在上单调递增且偶函数，利用单调性和奇偶性逐项判断即可.
11．（2024高二下·萍乡期中）已知，若函数的三个不同零点依次构成等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据题意可得， 函数的三个不同零点，
，
对于 ，结合 依次构成等差数列， 则有，
又由解析式可知， ， 可得 ，
解得 ， 即 ， 故 项正确；
对于 ， 设 构成等差数列的公差为 ，
则 ，
由 ， 可得
由于 的值不确定，
所以 不一定等于2 ， 故 项不正确；
对于 ， 因为 ， 且 ， 其值不确定，
所以 不一定成立， 故 项不正确；
对于 ， 由 表达式的一次项系数为-1 ，
可知 ， 故 项正确.
故选： AD.
【分析】根据多项式乘法的法则将函数化简运算， 利用恒等思想得到且， 由此结合等差数列的中项性质对各选项进行验证，求解即可.
三、/span> 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·萍乡期中）已知函数，则　 　.
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：已知，则，所以.
故答案为：.
【分析】对求导，代值即可.
13．（2024高二下·萍乡期中）足球世界杯小组赛中，同一小组的每支队伍都必须和组内其他队伍各进行一场比赛，比如组中有4支队伍，则该组需要进行6场比赛.按此规则，设一个含有支球队的小组中进行的所有比赛场次为场，则　 　.
【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意可得，所以，所以，
.
故答案为：.
【分析】利用组合数求出数列的通项，再利用裂项相消求和即可.
14．（2024高二下·萍乡期中）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由已知， 当时，恒成立，
即，
所以，
所以，
设
①若时， 即 时， ，
在 上单调递增，
，
在 上单调递增，
， 满足题意，
；
②若时， 即 时， 令 ， 可得 ，
当 时， 单调递减， ，
在 上单调递减，
， 不满足题意，
综合①②可得：实数 的取值范围为 ， .
故答案为： .
【分析】化简不等式，利用换元法可得，， 令 ， 利用导数研究函数的单调性从而可求解.
四、/span> 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·萍乡期中）已知数列的前项和为，且满足.
（1）求的值；
（2）试猜想的通项公式，并证明.
【答案】（1）由题知，，解得，
同理，，解得；
（2）由（1）可猜想，证明如下：
已知，当时，有，
化简得，即，
则有，
又，故，
则，
当时，上式仍成立，则.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)利用递推公式即可；
（2）由（1）可得，当时有，利用累乘法即可.
16．（2024高二下·萍乡期中）已知函数.
（1）若函数，求在点处的切线方程；
（2）试判断的单调性，并证明；
（3）证明：.
【答案】（1）解：由题知，，则，
则
又，故切点为，
切线方程为：，即；
（2）函数在定义域上单调递减，证明如下：
已知，设，则，
时，单调递增；时，单调递减，
则，即，故在定义域上单调递减；
（3）要证，即证，即证，
设，则，
时，单调递增；时，单调递减，
则，故成立，证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导，求出k，利用点斜式方程即可；
（2）求导令再对h(x)求导，利用导数和单调性的关系即可；
（3）由题意可转化为，令，对其求导求最大值即可证明.
17．（2024高二下·萍乡期中）正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，则等差数列公差也为，由题知，又，且，得，
即，解得或，
当时，由得：，又，解得，
则的通项公式分别为：，
当时，由得：，又，解得，不合题意，
综上，数列的通项公式分别为：；
（2）解：由（1）可得，
两式相减得：.
故的前项和
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)由题意可得或，再分别求出即可；
（2）由（1）可得利用错位相减法即可.
18．（2024高二下·萍乡期中）函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象上存在两点，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”？若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由题知，，
令，则，
当时，，则恒成立，故在定义域上单调递增；
当时，的两根分别为，
若，则，且时，单调递增；时，单调递减，
若，则，且时，单调递增；时，，单调递减，
综上：当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：，若是拉格朗日中值函数，则需满足存在，且，使得，
即，即，
①当时，上式对任意的都成立，则为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个；
②当时，需满足，设，即需方程在区间上有解，
令在上单调递增，
当时，，即方程在区间上无解，
综上：当时，为拉格朗日中值函数，的拉格朗日平均值点有无数个；当时，不是拉格朗日中值函数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)对求导，令对分类讨论即可；
（2）利用“拉格朗日中值函数”的定义原式可转化为，分和两种情况讨论即可.
19．（2024高二下·萍乡期中）函数.
（1）当时，求的极值点个数；
（2）若时，单调递减，求的取值范围；
（3）求证：.
【答案】（1）解：由题知，，
令，得，
故在和上单调递减，在上单调递增；
则在处有极小值，在处有极大值，即有2个极值点；
（2）解：，由题知，当时，恒成立，即，
设，故在上单调递减，
则，故；
（3）证明：由（2）知，时，，
令，得，
即
则，
…
将以上各不等式左 右两边分别相加得：
，
即，
即
即
故，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；数列的求和
【解析】【分析】（1）求导令求得，结合单调性和导数的关系即可；
（2）由题意可得恒成立，令求其最大值即可；
（3）由（2）知，时，令可得对n赋值，累加即可得证.
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