云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
一、. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·官渡期中）设是可导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·官渡期中）核糖核酸（缩写为），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，的碱基主要有种，分别用表示．在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一分子由个碱基组成，则不同的分子的种数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二下·静安期末） 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·官渡期中）教室里一个日光灯管使用时长在年以上的概率为，则个日光灯管在使用年内恰好坏了一个的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·官渡期中）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·官渡期中）已知口袋中有个黑球和个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·官渡期中）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·官渡期中）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（-）在年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（-）在年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于次的概率为（ ）
（附：若，则，
A． B． C． D．
二、/span> . 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·官渡期中）下列说法正确的是（ ）
A．若数据的极差和平均数相等，则
B．数据的第百分位数为
C．若，则
D．若，随机变量，则
10．（2024高二下·官渡期中）已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为
B．展开式中第项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为
11．（2024高二下·官渡期中）已知函数，下列说法正确的是( )
A．当时，函数有两个极值点
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有三个零点
D．当时，函数在上单调递增
三、/span> . 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案直接写在答题卡上.
12．（2024高二下·官渡期中） 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种.
13．（2024高二下·官渡期中） 已知函数，则的值为 ．
14．（2024高二下·官渡期中） “三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题 蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提 霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇（主持人知道每扇门后面的情况），露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 .
四、. 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·官渡期中）（1）计算：
（2）解方程：．
16．（2024高二下·官渡期中）已知函数在处取得极大值.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
17．（2024高二下·官渡期中）机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构 驱动装置检测装置 控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了型 型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状 大小的出口，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心为机器人的出发点，型 型两个机器人别从出发点出发沿路线任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的；型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以表示型机器人为了离开房间尝试的次数，以表示型机器人为了离开房间尝试的次数.
（1）试求离散型随机变量的分布列和期望；
（2）求的概率.
18．（2024高二下·官渡期中）已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）讨论在区间上的零点个数.
19．（2024高二下·官渡期中）已知点是抛物线上的点，且．
（1）若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．
（2）若，求面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：，
所以.
故选：C.
【分析】本题考查导函数的定义.根据导数的定义：，据此可选出答案.
2．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，
根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．
故选：B
【分析】本题考查分布乘法计数原理.根据题意分析可得：每个位置都有4种填充方法，共有100个位置，利用分步乘法计数原理进行计算可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ∵，
∴
∴物体在时的瞬时速度为，
故选：A.
【分析】求出导数，把 代入求导jike.
4．【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解： 一个日光灯管使用时长在年以上的概率为 ，则一个日光灯管使在年以内环的概率为，
则个日光灯管在使用年内恰好坏了一个的概率为：.
故选：A
【分析】本题考查二项分布.先根据题意求出一个日光灯管使在年以内环的概率，再根据二项分布的概率计算公式可列出式子，通过计算可求出概率.
5．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
【分析】本题考查曲线的切线方程.设切点为，求出导函数，根据导数的几何意义可求出切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程，再根切线过点A，据此可列出一元二次方程．根据切线有2条，可知，据此可列出不等式，解不等式可求出实数a的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，
依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同），
所以，，，，
则所求概率为.
故选：B
【分析】本题考查全概率的计算公式.设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，根据题意分析可求出，，，，利用全概率计算公式列出式子，代入数据可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由已知得，明显为单调递增函数，
若函数在上有极值点，
则且，解得.即.
故选：C.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，判断导函数的正负，可得为单调递增函数，结合题意利用零点存在定理可列出不等式组：且，解不等式组可求出实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】二项分布；正态分布定义
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为，
则.
由题意，且，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为.
故选：B.
【分析】本题考查正态分布，二项分布.先利用二项分布的期望和方差公式求出的值，进而求出，根据正态分布的对称性可得：，代入数据可求出答案.
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；二项分布；正态分布定义
【解析】【解答】解：A，当时，，解得，当时，，
解得，当时，，无解，A错误；
B，由于，所以数据，16的第80百分位数为12，B错误；
C，，则，C正确；
D，若，则，
所以随机变量的期望，D正确.
故选：CD.
【分析】本题考查平均数，极差的定义，百分位数的定义，正态分布，二项分布.先根据平均数和极差公式可列出关于的方程，解方程可求出m的值则判断A选项；利用百分位数计算公式先找出第80百分位数所在的位数，据此可求出百分位数判断B选项；根据正态分布的对称性可判断C选项；利用二项分布期望的计算公式可求出，再根据期望的性质公式可求出答案，判断D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，
又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以，
所以二项式为，
A.则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，A错误；
B.由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，
因为与的系数均为1，则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，B正确；
C.若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，C正确；
D.由通项可得，解得，所以系数为，D正确，
故选： BCD
【分析】本题考查二项式的定理的应用，系数最大值的项，指定项系数.由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，再根据展开式的各项系数之和为1024可求出，则二项式可化简为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，根据奇数项的二项式系数等于系数和的一半，据此可判断A选项；分析可知展开式共有11项，利用二项式系数的对称性看判断B选项；先求出二项式定理展开式的通项，令，可求出的值，据此可判断C选项；令，可求出的值，进而求出项的系数，判断D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，则.
A，当时，，即方程有两个不等的实根，
此时，函数有两个极值点，A正确；
B，当时，设的两个不等的实根分别为、，且，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上有最小值，B正确；
C，当时，，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数只有两个零点，C错误.
D，当且时，，故函数在上单调递增，D正确.
故选：ABD.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值，利用导函数研究函数的最值，函数的零点.先求出导函数分析可知，当时，，方程有两个不等的实根，据此可判断A选项；当时，利用一元二次方程根的分布可知：，必有，据此可判断函数的单调性，推出函数在上最值的情况，判断B选项；当时，求出导函数为：，判断导函数的正负，据此可推出的单调性，求出极值，画出函数的图象，可得出零点个数，判断C选项；当且时，可推出，根据导函数的正负与函数单调性的关系可判断D选项.
12．【答案】60
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，
甲在乙的左边的不同的站队方式有种，
故答案为：60.
【分析】本题考查排列组合在实际问题中的应用.先根据全排列数计算出不同的站队方式的种数，再根据甲在乙的左边和乙在甲的左边各占一半，据此可得所求出不同的站队方式有，进而求出答案.
13．【答案】1
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：求导可得：
所以
因此
故答案为：1
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式.先求出导函数，再令，可求出的值，进而求出函数解析式，再代入自变量的值可求出答案.
14．【答案】会；
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门，
若车在，则打开的概率是，
若车在，则打开的概率为1，
被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1），
也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2），
虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大，
所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大，
所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率，
用概率论公式来分析，我们得到：
车在门的概率为：，
车在门的概率为：.
故答案为：会；.
【分析】本题考查条件概率公式，全概率公式.设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再利用条件概率分析可知：被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1），也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2），据此可得换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率；利用全概率公式可列出：车在门的概率；车在门的概率；概率计算公式，代入数据可求出赢得跑车的概率.
15．【答案】（1）解：=；
（2）解：，
∴3x（x﹣1）（x﹣2）=2x（x+1）+6x（x﹣1），
化简得，
解得x=5，x=（不合题意，舍去）；∴x=5．
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】本题考查组合及组合数、排列公式．
（1）先利用组合数的性质公式：进行化简，再根据组合数公式进行化简可得：原式=，利用全排列公式计算可求出答案.
（2）根据题意利用排列数公式计算化简可得：，解一元二次方程可求出答案.
16．【答案】（1）解：由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）解：由（1）得，，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，利用导函数研究函数的最值.
（1）先求出导函数，再令求出，分两种情况：当时；当；判断导函数的正负，确定原函数的单调性，函数在处是否取得极大值，据此可求出a的值；
（2）根据（1）先求出导函数，判断导函数的正负，确定函数在区间上的单调性，据此可求出最大值.
17．【答案】（1）解：的可能取值为，
，，，
所以的分布列为
1 2 3
.
（2）解：，，
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，相互独立事件的概率.
（1）先写出变量的可能取值，再利用相互独立事件求出对应变量的概率，据此可写出其分布列，利用期望公式进行计算可求出期望；
（2）根据题意，通过分析可得：，再利用相互独立事件的概率乘法公式进行计算可求出答案.
18．【答案】（1）解：当时，，其定义域为，，
，，函数的切点坐标为，切线斜率为，
因此，函数在处的切线方程为，即．
（2）解：在时恒成立，
则．
设，则，
设，则，当时
在上单调递增，所以；
故当时，，当时，
故当时，单调递减，当时，单调递增
故；
所以，即
（3）解：
当时，
此时若，则，在时单调递增，
又，所以只有一个零点；
当时，
当时，
而，因此只有一个零点，
当时，，而
故使得
并且当时，；
当时，．
若时
又，所以
时
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上有两个零点．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，恒成立问题，函数的零点.
（1）先求出导函数，求出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可写出切线方程.
（2）通过参变分离可转原问题转化为：，设，求出导函数，判断导函数的正负，进而确定原函数单调性，据此可求出最值，求出实数a的取值范围.
（3）先求出导函数，再分三种情况：当时；当时；当时；判断导函数的正负，进而确定原函数的单调性，求出最值，根据最值可确定函数的零点，据此求出答案.
19．【答案】（1）解：设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，则且，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，同理，
，
所以，，可得，
故直线的方程为，
因此，直线过定点
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点.
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形，
则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或，
此时，，；
②当时，，，即点，
因为，则，
设点，其中且，，，
由已知可得
，
所以，，则，
直线的斜率为，可得，
所以，，当时，等式不成立，
所以，且，
所以，，则
，
所以，，
故.
综上所述，. 因此，面积的最小值为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.
（1）根据题意分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，应用韦达定理可得：，，根据利用平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可列出方程：，解方程可求出、所满足的等式，据此可化简直线的方程，进而求出直线所过定点的坐标；
（2）分和两种情况讨论，在时，可直接求出A和B点的坐标，据此可计算出的面积，在时，先求出点的坐标，再根据利用平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出直线的斜率，利用弦长公式可表示出，据此可将的面积表示为的表达式，进而求出面积的取值范围，最终求出面积的最小值.
1 / 1云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
一、. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·官渡期中）设是可导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：，
所以.
故选：C.
【分析】本题考查导函数的定义.根据导数的定义：，据此可选出答案.
2．（2024高二下·官渡期中）核糖核酸（缩写为），存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基的化学成分所占据，的碱基主要有种，分别用表示．在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一分子由个碱基组成，则不同的分子的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由100个碱基组成的长链共有100个位置，从A，C，G，U中任选1个依次填入这100个位置中，每个位置都有4种填充方法，
根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA分子的种数为．
故选：B
【分析】本题考查分布乘法计数原理.根据题意分析可得：每个位置都有4种填充方法，共有100个位置，利用分步乘法计数原理进行计算可求出答案.
3．（2023高二下·静安期末） 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ∵，
∴
∴物体在时的瞬时速度为，
故选：A.
【分析】求出导数，把 代入求导jike.
4．（2024高二下·官渡期中）教室里一个日光灯管使用时长在年以上的概率为，则个日光灯管在使用年内恰好坏了一个的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解： 一个日光灯管使用时长在年以上的概率为 ，则一个日光灯管使在年以内环的概率为，
则个日光灯管在使用年内恰好坏了一个的概率为：.
故选：A
【分析】本题考查二项分布.先根据题意求出一个日光灯管使在年以内环的概率，再根据二项分布的概率计算公式可列出式子，通过计算可求出概率.
5．（2024高二下·官渡期中）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
【分析】本题考查曲线的切线方程.设切点为，求出导函数，根据导数的几何意义可求出切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程，再根切线过点A，据此可列出一元二次方程．根据切线有2条，可知，据此可列出不等式，解不等式可求出实数a的取值范围.
6．（2024高二下·官渡期中）已知口袋中有个黑球和个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，
依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同），
所以，，，，
则所求概率为.
故选：B
【分析】本题考查全概率的计算公式.设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，根据题意分析可求出，，，，利用全概率计算公式列出式子，代入数据可求出答案.
7．（2024高二下·官渡期中）若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由已知得，明显为单调递增函数，
若函数在上有极值点，
则且，解得.即.
故选：C.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，判断导函数的正负，可得为单调递增函数，结合题意利用零点存在定理可列出不等式组：且，解不等式组可求出实数a的取值范围.
8．（2024高二下·官渡期中）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（-）在年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（-）在年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于次的概率为（ ）
（附：若，则，
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项分布；正态分布定义
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为，
则.
由题意，且，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为.
故选：B.
【分析】本题考查正态分布，二项分布.先利用二项分布的期望和方差公式求出的值，进而求出，根据正态分布的对称性可得：，代入数据可求出答案.
二、/span> . 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·官渡期中）下列说法正确的是（ ）
A．若数据的极差和平均数相等，则
B．数据的第百分位数为
C．若，则
D．若，随机变量，则
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；二项分布；正态分布定义
【解析】【解答】解：A，当时，，解得，当时，，
解得，当时，，无解，A错误；
B，由于，所以数据，16的第80百分位数为12，B错误；
C，，则，C正确；
D，若，则，
所以随机变量的期望，D正确.
故选：CD.
【分析】本题考查平均数，极差的定义，百分位数的定义，正态分布，二项分布.先根据平均数和极差公式可列出关于的方程，解方程可求出m的值则判断A选项；利用百分位数计算公式先找出第80百分位数所在的位数，据此可求出百分位数判断B选项；根据正态分布的对称性可判断C选项；利用二项分布期望的计算公式可求出，再根据期望的性质公式可求出答案，判断D选项.
10．（2024高二下·官渡期中）已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为
B．展开式中第项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为
【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，
又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以，
所以二项式为，
A.则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，A错误；
B.由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，
因为与的系数均为1，则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，B正确；
C.若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，C正确；
D.由通项可得，解得，所以系数为，D正确，
故选： BCD
【分析】本题考查二项式的定理的应用，系数最大值的项，指定项系数.由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，再根据展开式的各项系数之和为1024可求出，则二项式可化简为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，根据奇数项的二项式系数等于系数和的一半，据此可判断A选项；分析可知展开式共有11项，利用二项式系数的对称性看判断B选项；先求出二项式定理展开式的通项，令，可求出的值，据此可判断C选项；令，可求出的值，进而求出项的系数，判断D选项.
11．（2024高二下·官渡期中）已知函数，下列说法正确的是( )
A．当时，函数有两个极值点
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有三个零点
D．当时，函数在上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，则.
A，当时，，即方程有两个不等的实根，
此时，函数有两个极值点，A正确；
B，当时，设的两个不等的实根分别为、，且，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上有最小值，B正确；
C，当时，，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数只有两个零点，C错误.
D，当且时，，故函数在上单调递增，D正确.
故选：ABD.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值，利用导函数研究函数的最值，函数的零点.先求出导函数分析可知，当时，，方程有两个不等的实根，据此可判断A选项；当时，利用一元二次方程根的分布可知：，必有，据此可判断函数的单调性，推出函数在上最值的情况，判断B选项；当时，求出导函数为：，判断导函数的正负，据此可推出的单调性，求出极值，画出函数的图象，可得出零点个数，判断C选项；当且时，可推出，根据导函数的正负与函数单调性的关系可判断D选项.
三、/span> . 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案直接写在答题卡上.
12．（2024高二下·官渡期中） 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种.
【答案】60
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，
甲在乙的左边的不同的站队方式有种，
故答案为：60.
【分析】本题考查排列组合在实际问题中的应用.先根据全排列数计算出不同的站队方式的种数，再根据甲在乙的左边和乙在甲的左边各占一半，据此可得所求出不同的站队方式有，进而求出答案.
13．（2024高二下·官渡期中） 已知函数，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：求导可得：
所以
因此
故答案为：1
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式.先求出导函数，再令，可求出的值，进而求出函数解析式，再代入自变量的值可求出答案.
14．（2024高二下·官渡期中） “三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题 蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提 霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇（主持人知道每扇门后面的情况），露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 .
【答案】会；
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门，
若车在，则打开的概率是，
若车在，则打开的概率为1，
被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1），
也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2），
虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大，
所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大，
所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率，
用概率论公式来分析，我们得到：
车在门的概率为：，
车在门的概率为：.
故答案为：会；.
【分析】本题考查条件概率公式，全概率公式.设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再利用条件概率分析可知：被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1），也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2），据此可得换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率；利用全概率公式可列出：车在门的概率；车在门的概率；概率计算公式，代入数据可求出赢得跑车的概率.
四、. 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·官渡期中）（1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）解：=；
（2）解：，
∴3x（x﹣1）（x﹣2）=2x（x+1）+6x（x﹣1），
化简得，
解得x=5，x=（不合题意，舍去）；∴x=5．
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】本题考查组合及组合数、排列公式．
（1）先利用组合数的性质公式：进行化简，再根据组合数公式进行化简可得：原式=，利用全排列公式计算可求出答案.
（2）根据题意利用排列数公式计算化简可得：，解一元二次方程可求出答案.
16．（2024高二下·官渡期中）已知函数在处取得极大值.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
【答案】（1）解：由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）解：由（1）得，，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，利用导函数研究函数的最值.
（1）先求出导函数，再令求出，分两种情况：当时；当；判断导函数的正负，确定原函数的单调性，函数在处是否取得极大值，据此可求出a的值；
（2）根据（1）先求出导函数，判断导函数的正负，确定函数在区间上的单调性，据此可求出最大值.
17．（2024高二下·官渡期中）机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构 驱动装置检测装置 控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了型 型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状 大小的出口，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心为机器人的出发点，型 型两个机器人别从出发点出发沿路线任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的；型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以表示型机器人为了离开房间尝试的次数，以表示型机器人为了离开房间尝试的次数.
（1）试求离散型随机变量的分布列和期望；
（2）求的概率.
【答案】（1）解：的可能取值为，
，，，
所以的分布列为
1 2 3
.
（2）解：，，
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，相互独立事件的概率.
（1）先写出变量的可能取值，再利用相互独立事件求出对应变量的概率，据此可写出其分布列，利用期望公式进行计算可求出期望；
（2）根据题意，通过分析可得：，再利用相互独立事件的概率乘法公式进行计算可求出答案.
18．（2024高二下·官渡期中）已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）讨论在区间上的零点个数.
【答案】（1）解：当时，，其定义域为，，
，，函数的切点坐标为，切线斜率为，
因此，函数在处的切线方程为，即．
（2）解：在时恒成立，
则．
设，则，
设，则，当时
在上单调递增，所以；
故当时，，当时，
故当时，单调递减，当时，单调递增
故；
所以，即
（3）解：
当时，
此时若，则，在时单调递增，
又，所以只有一个零点；
当时，
当时，
而，因此只有一个零点，
当时，，而
故使得
并且当时，；
当时，．
若时
又，所以
时
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上有两个零点．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，恒成立问题，函数的零点.
（1）先求出导函数，求出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可写出切线方程.
（2）通过参变分离可转原问题转化为：，设，求出导函数，判断导函数的正负，进而确定原函数单调性，据此可求出最值，求出实数a的取值范围.
（3）先求出导函数，再分三种情况：当时；当时；当时；判断导函数的正负，进而确定原函数的单调性，求出最值，根据最值可确定函数的零点，据此求出答案.
19．（2024高二下·官渡期中）已知点是抛物线上的点，且．
（1）若点的坐标为，则动直线是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．
（2）若，求面积的最小值．
【答案】（1）解：设直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点、，则且，
联立可得，，
由韦达定理可得，，
，同理，
，
所以，，可得，
故直线的方程为，
因此，直线过定点
（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为，记线段的中点为点.
①当时，则、关于轴对称，此时线段的垂线为轴，
因为，则点为坐标原点，又因为，则为等腰直角三角形，
则的两腰所在直线的方程为，联立，解得或，
此时，，；
②当时，，，即点，
因为，则，
设点，其中且，，，
由已知可得
，
所以，，则，
直线的斜率为，可得，
所以，，当时，等式不成立，
所以，且，
所以，，则
，
所以，，
故.
综上所述，. 因此，面积的最小值为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系.
（1）根据题意分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，应用韦达定理可得：，，根据利用平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可列出方程：，解方程可求出、所满足的等式，据此可化简直线的方程，进而求出直线所过定点的坐标；
（2）分和两种情况讨论，在时，可直接求出A和B点的坐标，据此可计算出的面积，在时，先求出点的坐标，再根据利用平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出直线的斜率，利用弦长公式可表示出，据此可将的面积表示为的表达式，进而求出面积的取值范围，最终求出面积的最小值.
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