2025年高考数学一轮专题复习--圆锥曲线的方程专题一

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人教A版数学--高考解析几何复习专题一
知识点一 求椭圆中的最值问题
典例1、如图，椭圆的左、右焦点为，过的直线与椭圆相交于、 两点.
（1）若，且 求椭圆的离心率.
（2）若，求的最大值和最小值.
随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
典例2、已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆与抛物线的方程；
（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
随堂练习：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点，且
是椭圆的内接三角形.
（1）若点为椭圆的上顶点，且原点为的垂心，求线段的长；
（2）若点为椭圆上的一动点，且原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.
典例3、在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线 的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.
随堂练习：对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆
的两条切线，则切点A，B所在直线的方程是，可利用此结论解答下列问题．
已知椭圆C：和点，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A，B，记点A，B到
直线（O是坐标原点）的距离是，．
（1）当时，求线段的长； （2）求的最大值．
知识点二 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例4、已知椭圆的长轴长为，且经过点.
（1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）.求证：直线过定点，并求定点的坐标.
随堂练习：已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且.
（1）求椭圆的标准方程； （2）点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点.
典例5、已知椭圆经过点，其右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．
随堂练习：已知F是椭圆的左焦点，焦距为4，且C过点．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
典例6、已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
随堂练习：已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线：与的两个交点和，构成一个面积为的菱形.
（1）求的方程；
（2）圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，.
①求的值； ②证明：直线过定点.
人教A版数学--高考解析几何复习专题一答案
典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.
解:（1）， 因为。所以， 所以，
所以
（2）由于，得，则.
①若垂直于轴，则， 所以，
所以
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得
，方程有两个不等的实数根.
设，.,
=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
随堂练习：答案：（1）；（2）2.
解:（1）依题意可知，解得 故椭圆的方程为．
（2）延长交E于点，由（1）可知，
设，设的方程为，由得，故．
设与的距离为d，则四边形的面积为S，
，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为2．
典例2、答案：（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1.
解：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，
所以有：，∴，，
∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；
（2）由（1）可知：的坐标为：，
设直线的方程为：，到的距离为，则，
联立可得：，则，
，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.
随堂练习：答案：（1）；（2）.
解：（1）设焦距为，由题意知：，
因此，椭圆的方程为：；
由题意知：，故轴，设，则，，
，解得：或，
，不重合，故，，故；
（2）设中点为，直线与椭圆交于，两点， 为的重心，则，
当斜率不存在时，点在轴上，所以此时点在长轴的端点处
由,则，则到直线的距离为1；
当斜率存在时，设：，，，
则，所以，
所以，即
也即
，则
，
则：，，代入式子得：，
设到直线的距离为，则 时，；
综上，原点到直线距离的最小值为.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）设点坐标为，
定点，，直线与直线的斜率之积为，
，
（2）设，，，则，，
所以
又，所以，又即，则直线：，
直线：，由，解得，即，
所以
令，则，所以
因为，当且仅当即时取等号，
所以的最大值为；
随堂练习：答案：（1）；（2）．
解:（1）当时，直线方程为，联立，得．
设，，则，．则．
（2）直线：，即，直线：．
设，，则，
记，则，
法一：常规换元法
令，，则
，当即时取得等号，则的最大值是．
法二：分离常数法
，显然时不取得最大值，
则，
当时取得等号，则的最大值是．
典例4、答案：（1）；（2）证明见解析，.
解:（1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，
将代入椭圆方程得：，解得， 故椭圆C的方程为
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得.
设A，B的坐标分别为， 则，
且， 因为直线，斜率互为相反数，即，
所以，则， 即，
即， 所以，化简得，
所以直线的方程为， 故直线过定点
随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由已知得当时，， 又因为椭圆过点，则，
联立解得，故椭圆的标准方程为；
（2）证明设点，， 因为，即，
即.* 当直线的斜率存在时，设直线方程为.
代入椭圆方程消去得， ，，，
根据，.代入*整理， 得，
结合根与系数的关系可得，.
即， 当时，
直线方程为.过点，不符合条件.
当时，直线方程为， 故直线恒过定点.
当直线的斜率不存在时，令点， 此时，
又.可得（舍去）或. 当时，与点重合，与已知条件不符，
∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点.
典例5、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，
从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线方程为，设点、，
联立，可得，，可得，
由韦达定理可得，，因为，
整理可得，
即，化简得，
即，可得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.
随堂练习：答案：（1） （2） 过定点，定点坐标为
解：（1）依题意， 由解得， 所以椭圆的方程为.
（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；
当的斜率都存在且不为时，设，
设，联立，整理得，
，，
则， 所以的中点，
同理由，可得的中点， 则，
所以直线的方程为，
化简得，
故直线恒过定点． 综上，直线过定点.
典例6、答案：（1）；（2）直线恒过定点.
解:（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①， 若B在椭圆上，则②，
由①②可得，不存在， 所以D在椭圆上，可得③，
由①③可得，， 所以椭圆的方程为：；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，
设E上的点为：，对应的点，由题意可得，， 所以，，
所以E的方程， 设，，， ，
所以直线的方程为：，直线的方程，
联立直线与椭圆的方程整理可得，
所以，，即，
联立直线NF与椭圆的方程：整理可得，
所以，即，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
整理可得，当，. 所以直线恒过定点．
随堂练习：答案：（1） （2）①②证明见解析
解：（1）因为直线：与的两个交点和，构成的四边形是菱形，
所以垂直平分，所以，.
设为直线与的一个交点，则菱形的面积为.
因为菱形的面积为，所以，解得，即.
将点代入，得，又因为，所以.
故的方程为.
（2）①由题意，得为圆的一条弦，且直线垂直平分该弦，
故直线经过圆心，所以为圆的直径，因此，即.
设，，则.
注意到，，则.
又因为，，所以.
②易知直线不可能平行于轴，则设直线的方程为（），，.
由得. ，（*）
，.①因为，，所以，
即， 即.
将①代入上式得，
化简得，解得，满足（*），
所以直线的方程为， 故直线过定点.
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