第八单元：数学广角(找次品) （单元测试）-2023-2024学年五年级下册数学人教版（含解析）
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| 名称 | 第八单元：数学广角(找次品) （单元测试）-2023-2024学年五年级下册数学人教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-07 09:11:53 | ||
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文档简介
第八单元：数学广角(找次品) （单元测试）
一、选择题（共6题，每题3分，共18分)
1．有30个外观一样的球，要找出其中一个轻一点的，至少要称（ ）次。
A．5 B．4 C．3
2．1箱糖果有8袋，其中7袋质量相同，另有袋质量不足，轻一些。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出这袋糖果。
A．2 B．3 C．4
3．8个乒乓球，其中一件略轻些，用天平称出次品时，（ ）种分法比较合理。
A． B． C． D．
4．从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（ ）。
A．（3，3，2） B．（1，1，6） C．（2，2，4） D．（4，4）
5．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，万老师告诉大家：若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（ ）个。
A． B． C．
6．有4颗外观一模一样的玻璃珠子，其中有一颗玻璃珠子是次品（质量轻一些）。小明将这四颗玻璃珠子分别标上序号，用天平称一称找出了次品的玻璃珠子。小明把找次品的过程记录如下：
根据小明找次品的过程，可以知道次品的玻璃珠子是（ ）。
A．①号 B．②号 C．③号 D．④号
二、填空题（共4题，每空4分，共20分)
7．有20瓶水其中19瓶质量相同另有1瓶是盐水（略重一些）至少称( )次找出的这瓶盐水。
8．在9颗钢珠中，有1颗质量较轻的钢珠（次品）。如果用天平称，最少称( )次能保证找出这个次品。
9．妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称( )次能保证找出这瓶水果糖。
10．有20个外观一样的硬币，其中有一个硬币比真币要轻一些。用天平称的办法去找，至少( )次可以把假硬币找出来。
11．在18个羽毛球中，有1个不合格，质量较轻，如果用天平称，至少称( )次一定可以找出这个不合格的羽毛球。
三、判断题（共6题，每题3分，共15分)
12．从3件物品中找出1件次品，次品较轻，至少要称2次才能找出。( )
13．有27个零件，其中有一个是次品（轻一些），至少称3次才能保证找出次品。( )
14．从5件物品中找一件次品（略轻一些），至少要用天平称2次才能找出来。( )
15．有26个零件，其中有一个是次品，轻一些，用天平秤，至少称4次才能保证找到次品零件。( )
16．糖糖买了10盒牛奶片，其中有一盒少了6片。至少要称4次才能保证找到少了的那盒牛奶片。( )
四、解答题（共5题，共36分)
（5分)17．有3块外形完全相同的手表,其中1块是劣质产品(可能轻,也可能重),怎样才能用天平很快地把它找出来
（5分)18．有20颗外形完全相同的珠子，其中有一颗是假的，且比真珠子轻一些。用天平至少称几次能保证把假珠子找出来？（写出简单的过程）
（8分)19．李叔叔加工了5个精密零件，其中有一个零件内部有砂眼，比别的零件轻。为保证精密零件的质量，要找出这个次品。你能用无砝码的天平很快把它找出来吗？
（8分)20．有15瓶水，其中14瓶质量相同，另有一瓶是盐水，比其他的水略重一些．
（1）如果用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水来？
（2）称一次有可能找出这瓶盐水吗？为什么？
（10分)21．有9袋白糖，其中8袋是每袋500g，另一袋是550g。
（1）如果用天平称，最少称几次就可以找出较重的一袋？
（2）你能保证称2次就找到它吗？
（3）如果天平两边各放4袋，称一次有可能称出来吗？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】第一次称：把30个球分成（10，10，10）3份，选择其中的两份放在天平的两端，若天平平衡则轻一点的在剩下的一组中；若天平不平衡，则轻一点的在天平高的一端；
第二次称：把轻一点的10个球分成（3，3，4），选择其中两份相同的分别放在天平的两端，若天平平衡，则轻一点的在剩下的一组；若天平不平衡，则轻一点的在天平高的一端；根据最不利原则，轻一点的在数量多的里面；
第三次称：把轻一点的4个球分成（2，2），放在天平的两端，轻一点的在天平高的一端；
第四次称，把轻一点的2个球分别放在天平的两端，轻一点的在天平高的一端。
【详解】有30个外观一样的球，要找出其中一个轻一点的，至少要称4次。
故答案为：B
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份； 二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
2．A
【分析】将8袋分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各方1袋，手里留1袋，如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。故至少称2次能保证找到这袋次品糖果。
【详解】将8袋分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各方1袋，手里留1袋，如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。
故答案为：A。
【点睛】考查找次品问题。按照3份来分，是最优化的方法。
3．A
【分析】找次品时，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1，这样称量的次数最少，据此解答即可。
【详解】8个乒乓球，其中一件略轻些，用天平称出次品时，按（2、3、3）分组最合理，称量次数最少；
故答案为：A。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，切记要进行平均分，或最多与最少相差1。
4．A
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（3，3，2）。
故答案为：A
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
5．B
【分析】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品；
（2）如果有个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3，3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品；
（3）如果有个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3，3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。
【详解】分析可知，当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有个。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
6．B
【分析】根据小明找次品的过程，和题意次品质量轻一些，分析解答即可。
【详解】小明把这四颗玻璃珠子分别标上序号，第一次称：把四颗玻璃珠子平均分成了两份，每份2个，天平不平衡，次品在①和②中，第二次称，把①和②放在天平两端，天平不平衡，次品在较高端，即是②号。
故答案为：B
【点睛】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。
7．3
【分析】把20瓶水分成三份，分别是7瓶、7瓶、6瓶；第一次，把两份7瓶的分别放到天平左右两端，如果平衡，盐水就在6瓶的那份中；把6瓶水平均分成三份，每份2瓶，在天平两端分别放一份，如果平衡，盐水就在剩下的一份中，再称一次就能找出盐水；如果不平衡，天平下沉的一端的2瓶水中有一瓶是盐水，再称1次就能找出盐水，这样共称了3次；如果第一次称时天平不平衡，那么天平下沉的一端的7瓶水中有一瓶是盐水；把这7瓶水分成三份，每份是2瓶、2瓶、3瓶，在天平两端分别放2瓶，如果平衡，盐水就在剩下的3瓶水中，这3瓶水再称一次就能找出盐水，共称3次；如果不平衡，天平下沉的一端的2瓶水中有一瓶是盐水，再称1次就能找出盐水，共称3次。所以至少称3次能保证找出这瓶盐水。
【详解】由分析可知：
有20瓶水其中19瓶质量相同另有1瓶是盐水（略重一些）至少称3次找出的这瓶盐水。
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
8．2/二/两
【分析】第一次：9颗钢珠分成3颗，3颗，3颗的三份，把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的3颗钢珠中，若不平衡，在天平秤较高端的3颗中；
第二次：从次品所在的3颗钢珠中，任取2颗，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那颗钢珠即为次品，若不平衡，天平秤较高端的钢珠即为次品。
【详解】由分析可得，9颗钢珠中有1颗次品，用天平至少称2次能保证找出这颗次品。
【点睛】依据天平秤平衡原理解决问题。一般将物品平均分成3份，所用次数最少。
9．2
【分析】将7瓶水果糖分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量轻的一瓶。
【详解】将质量轻的一瓶当作次品。
第一次，将7瓶水果糖分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3瓶，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
由此可找到轻的一瓶。
所以用天平至少称2次能保证找出这瓶水果糖。
【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3瓶，体现公平性。
10．3
【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，据此即可解答问题。
【详解】先把20个硬币分成（7，7，6），把两个7个一组的放在天平上称，可找出有假币的一组，再把7分成（3，3，1），可找出有假币的一组，再把3分成（1，1，1），可找出假币，需3次；
如假币在6个一组里，则把6分成（2，2，2），把两个2个一组的放在天平上称，可找出假币一组，再把2成（1，1），可找出假币，需3次；
所以用天平称，至少称3次能保证找出次品硬币。
【点睛】解答此题的关键：①应明确找次品的方法；②所需次数最少。
11．3/三
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】第一次，把18个羽毛球平均分成三份，每份6个，把其中两份放到天平称上称，如果天平不平衡，次品在较轻的6个中，如果天平平衡，次品就在另外6个中；
第二次把含有次品的6个羽毛球平均分成三份，每份2个，把其中两份放到天平称上称，如果天平不平衡，次品在较轻的2个中，如果天平平衡，次品就在另外2个中；
第三次把含有次品的2个羽毛球放到天平称上称，较轻的一个即为次品。
所以，如果用天平称，至少称3次一定可以找出这个不合格的羽毛球。
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
12．×
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份； 二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【详解】把3件物品平均分成3份，每份1件，即（1，1，1），第一次称，天平两边各放1件，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1件；如果天平平衡，次品就是剩下的那1件；所以至少称1次就能找出次品。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。
13．√
【分析】第一次，把27个零件分成3份：9个、9个、9个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份分成3份：3个、3个、3个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；；
第三次，将含有次品的一组取两个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，较轻的那个是次品。据此解答即可。
【详解】有27个零件，其中有一个是次品（轻一些），至少称3次才能保证找出次品，说法正确；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
14．√
【分析】根据天平是一个等臂杠杆，如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称重，即可进行判断。
【详解】把5件物品分成3组：2、2、1，拿出2、2两组进行第一次称量，若平衡，剩下的1件是次品，若不平衡，那么次品就在较轻的那一组中；再把较轻的那一组分成2组：1件1组，次品就是较轻的那件。从5件物品中找一件次品（略轻一些），至少要用天平秤2次才能找出是正确的。
故答案为：√
【点睛】本题考查天平的应用，方法还是杠杆的平衡原理。
15．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把26个零件分成（9，9，8），把两个9个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组里，再把9分成（3，3，3），可找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，需3次。
如次品在8个一组里，则把8分成（3，3，2）把两个3个一组的放在天平上称，可找出次品一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，需3次；
如在2个一组里，可再把2分成（1，1），可找出次品，需3次；
所以用天平称，至少称3次能保证找出次品零件，所以原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。
16．×
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将10盒牛奶片分成（3、3、4），称（3、3），只考虑最不利的情况，平衡，次品在4盒中；将4盒分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2盒中；将2盒分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
17．用天平找次品：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
【分析】根据题意，可以选两块手表进行称重，如果平衡，说明第三块是次品，如果不平衡，则接下去选择两块中的一块继续与另一块手表称重，依次进行即可。
【详解】答：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
18．3次，过程见详解
【分析】可进行三次称量：第一次分成7、7、6三份，用相同数量的两份称量，若平衡则假珠子在6个珠子的一份中，再重复上述两次操作即可找出假珠子；若不平衡则假珠子在高的一端，重复上述操作两次可找出假珠子。据此可得出答案。
【详解】至少需要称3次；
过程：
把20颗外形完全相同的珠子分成（7，7，6）三份，
第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；
第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；
②如果假珠子在6个一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；
第三次：①把3分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的那颗在天平上升一端；
②如果假珠子在2个一组里，则把2分成（1，1），把两颗珠子放在天平上称，假的那颗在天平上升一端；
所以用天平至少称3次能保证把假珠子找出来。
【点睛】本题主要考查的是找次品方法的应用，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。
19．能
【分析】根据找次品的办法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。
【详解】第一次，把5个精密零件分成3份（2个、2个、1个），取2个的两份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的是未取的一个，若天平不平衡，取较轻的继续；
第二次，取含有较轻的零件的2个，分别放在天平两侧，即可找到较轻的精密零件。
答：至少2次能保证找到有沙眼的零件。
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。
20．（1）3次
（2）有可能；因为这瓶较重的盐水在这些水中，所以，有可能称一次就找到。
【详解】（1）第一次，把15瓶水平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一瓶在未取的一份中，若天平平衡，取较重的一份继续。
第二次，把含有较重的一份（5瓶）分成3份（2瓶、2瓶、1瓶），取2瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的为未取的一瓶，若天平不平衡，则取较重的继续；第三次，取含有较重的一份（2瓶），分别放在天平两侧，即可找到较重的一瓶。
答：至少称3次能保证找出这瓶盐水来。
（2）答：因为这瓶较重的盐水在这些水中，所以，有可能称一次就找到。
21．（1）2次；
（2）能保证；
（3）有可能
【分析】把9分成（3，3，3），天平每边放3个，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边（称第1次）；把有次品的3个分成（1，1，1），天平每边放1个，若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边（称第2次）；据此解答。
【详解】（1）把9袋白糖随机分成3，3，3，三部分随机选取两组称，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边；
把有次品的3个随机分成1，1，1，三部分，随机选取两组称若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边；
（2）能，将9袋分成三份，先将两份放在天平上称如果重量不相同，较重那一袋则放在天平重的那一边。然后将重的那一份分成三份放在天平上秤，如果重量不相同取出较重的如果相等就是未放上天平的那袋如果相同重量较重那一袋在没有放在天平的那一份中，然后再将重的那一份分成三份放在天平上称如果重量不相同取出较重的，如果相等就是未放上天平的那一袋；
（3）有可能，任意取出一袋将剩下的8袋分两边放一样重则取出的那袋就是较重的。
答：（1）如果用天平秤，最少秤2次就可以找出较重的袋。
（2）能够保证秤两次就找到它。
（3）如果天平两边各放4袋，秤一次有可能秤出来。
【点睛】本题是一道找次品问题，需要结合找次品的方法进行求解。找次品的最优策略是：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、选择题（共6题，每题3分，共18分)
1．有30个外观一样的球，要找出其中一个轻一点的，至少要称（ ）次。
A．5 B．4 C．3
2．1箱糖果有8袋，其中7袋质量相同，另有袋质量不足，轻一些。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出这袋糖果。
A．2 B．3 C．4
3．8个乒乓球，其中一件略轻些，用天平称出次品时，（ ）种分法比较合理。
A． B． C． D．
4．从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（ ）。
A．（3，3，2） B．（1，1，6） C．（2，2，4） D．（4，4）
5．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，万老师告诉大家：若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（ ）个。
A． B． C．
6．有4颗外观一模一样的玻璃珠子，其中有一颗玻璃珠子是次品（质量轻一些）。小明将这四颗玻璃珠子分别标上序号，用天平称一称找出了次品的玻璃珠子。小明把找次品的过程记录如下：
根据小明找次品的过程，可以知道次品的玻璃珠子是（ ）。
A．①号 B．②号 C．③号 D．④号
二、填空题（共4题，每空4分，共20分)
7．有20瓶水其中19瓶质量相同另有1瓶是盐水（略重一些）至少称( )次找出的这瓶盐水。
8．在9颗钢珠中，有1颗质量较轻的钢珠（次品）。如果用天平称，最少称( )次能保证找出这个次品。
9．妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称( )次能保证找出这瓶水果糖。
10．有20个外观一样的硬币，其中有一个硬币比真币要轻一些。用天平称的办法去找，至少( )次可以把假硬币找出来。
11．在18个羽毛球中，有1个不合格，质量较轻，如果用天平称，至少称( )次一定可以找出这个不合格的羽毛球。
三、判断题（共6题，每题3分，共15分)
12．从3件物品中找出1件次品，次品较轻，至少要称2次才能找出。( )
13．有27个零件，其中有一个是次品（轻一些），至少称3次才能保证找出次品。( )
14．从5件物品中找一件次品（略轻一些），至少要用天平称2次才能找出来。( )
15．有26个零件，其中有一个是次品，轻一些，用天平秤，至少称4次才能保证找到次品零件。( )
16．糖糖买了10盒牛奶片，其中有一盒少了6片。至少要称4次才能保证找到少了的那盒牛奶片。( )
四、解答题（共5题，共36分)
（5分)17．有3块外形完全相同的手表,其中1块是劣质产品(可能轻,也可能重),怎样才能用天平很快地把它找出来
（5分)18．有20颗外形完全相同的珠子，其中有一颗是假的，且比真珠子轻一些。用天平至少称几次能保证把假珠子找出来？（写出简单的过程）
（8分)19．李叔叔加工了5个精密零件，其中有一个零件内部有砂眼，比别的零件轻。为保证精密零件的质量，要找出这个次品。你能用无砝码的天平很快把它找出来吗？
（8分)20．有15瓶水，其中14瓶质量相同，另有一瓶是盐水，比其他的水略重一些．
（1）如果用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水来？
（2）称一次有可能找出这瓶盐水吗？为什么？
（10分)21．有9袋白糖，其中8袋是每袋500g，另一袋是550g。
（1）如果用天平称，最少称几次就可以找出较重的一袋？
（2）你能保证称2次就找到它吗？
（3）如果天平两边各放4袋，称一次有可能称出来吗？
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参考答案：
1．B
【分析】第一次称：把30个球分成（10，10，10）3份，选择其中的两份放在天平的两端，若天平平衡则轻一点的在剩下的一组中；若天平不平衡，则轻一点的在天平高的一端；
第二次称：把轻一点的10个球分成（3，3，4），选择其中两份相同的分别放在天平的两端，若天平平衡，则轻一点的在剩下的一组；若天平不平衡，则轻一点的在天平高的一端；根据最不利原则，轻一点的在数量多的里面；
第三次称：把轻一点的4个球分成（2，2），放在天平的两端，轻一点的在天平高的一端；
第四次称，把轻一点的2个球分别放在天平的两端，轻一点的在天平高的一端。
【详解】有30个外观一样的球，要找出其中一个轻一点的，至少要称4次。
故答案为：B
【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份； 二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
2．A
【分析】将8袋分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各方1袋，手里留1袋，如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。故至少称2次能保证找到这袋次品糖果。
【详解】将8袋分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各方1袋，手里留1袋，如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。
故答案为：A。
【点睛】考查找次品问题。按照3份来分，是最优化的方法。
3．A
【分析】找次品时，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1，这样称量的次数最少，据此解答即可。
【详解】8个乒乓球，其中一件略轻些，用天平称出次品时，按（2、3、3）分组最合理，称量次数最少；
故答案为：A。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，切记要进行平均分，或最多与最少相差1。
4．A
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（3，3，2）。
故答案为：A
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
5．B
【分析】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品；
（2）如果有个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3，3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品；
（3）如果有个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3，3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。
【详解】分析可知，当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有个。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
6．B
【分析】根据小明找次品的过程，和题意次品质量轻一些，分析解答即可。
【详解】小明把这四颗玻璃珠子分别标上序号，第一次称：把四颗玻璃珠子平均分成了两份，每份2个，天平不平衡，次品在①和②中，第二次称，把①和②放在天平两端，天平不平衡，次品在较高端，即是②号。
故答案为：B
【点睛】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。
7．3
【分析】把20瓶水分成三份，分别是7瓶、7瓶、6瓶；第一次，把两份7瓶的分别放到天平左右两端，如果平衡，盐水就在6瓶的那份中；把6瓶水平均分成三份，每份2瓶，在天平两端分别放一份，如果平衡，盐水就在剩下的一份中，再称一次就能找出盐水；如果不平衡，天平下沉的一端的2瓶水中有一瓶是盐水，再称1次就能找出盐水，这样共称了3次；如果第一次称时天平不平衡，那么天平下沉的一端的7瓶水中有一瓶是盐水；把这7瓶水分成三份，每份是2瓶、2瓶、3瓶，在天平两端分别放2瓶，如果平衡，盐水就在剩下的3瓶水中，这3瓶水再称一次就能找出盐水，共称3次；如果不平衡，天平下沉的一端的2瓶水中有一瓶是盐水，再称1次就能找出盐水，共称3次。所以至少称3次能保证找出这瓶盐水。
【详解】由分析可知：
有20瓶水其中19瓶质量相同另有1瓶是盐水（略重一些）至少称3次找出的这瓶盐水。
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
8．2/二/两
【分析】第一次：9颗钢珠分成3颗，3颗，3颗的三份，把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的3颗钢珠中，若不平衡，在天平秤较高端的3颗中；
第二次：从次品所在的3颗钢珠中，任取2颗，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那颗钢珠即为次品，若不平衡，天平秤较高端的钢珠即为次品。
【详解】由分析可得，9颗钢珠中有1颗次品，用天平至少称2次能保证找出这颗次品。
【点睛】依据天平秤平衡原理解决问题。一般将物品平均分成3份，所用次数最少。
9．2
【分析】将7瓶水果糖分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量轻的一瓶。
【详解】将质量轻的一瓶当作次品。
第一次，将7瓶水果糖分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3瓶，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
由此可找到轻的一瓶。
所以用天平至少称2次能保证找出这瓶水果糖。
【点睛】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3瓶，体现公平性。
10．3
【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，据此即可解答问题。
【详解】先把20个硬币分成（7，7，6），把两个7个一组的放在天平上称，可找出有假币的一组，再把7分成（3，3，1），可找出有假币的一组，再把3分成（1，1，1），可找出假币，需3次；
如假币在6个一组里，则把6分成（2，2，2），把两个2个一组的放在天平上称，可找出假币一组，再把2成（1，1），可找出假币，需3次；
所以用天平称，至少称3次能保证找出次品硬币。
【点睛】解答此题的关键：①应明确找次品的方法；②所需次数最少。
11．3/三
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】第一次，把18个羽毛球平均分成三份，每份6个，把其中两份放到天平称上称，如果天平不平衡，次品在较轻的6个中，如果天平平衡，次品就在另外6个中；
第二次把含有次品的6个羽毛球平均分成三份，每份2个，把其中两份放到天平称上称，如果天平不平衡，次品在较轻的2个中，如果天平平衡，次品就在另外2个中；
第三次把含有次品的2个羽毛球放到天平称上称，较轻的一个即为次品。
所以，如果用天平称，至少称3次一定可以找出这个不合格的羽毛球。
【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。
12．×
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份； 二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【详解】把3件物品平均分成3份，每份1件，即（1，1，1），第一次称，天平两边各放1件，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1件；如果天平平衡，次品就是剩下的那1件；所以至少称1次就能找出次品。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。
13．√
【分析】第一次，把27个零件分成3份：9个、9个、9个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份分成3份：3个、3个、3个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；；
第三次，将含有次品的一组取两个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，较轻的那个是次品。据此解答即可。
【详解】有27个零件，其中有一个是次品（轻一些），至少称3次才能保证找出次品，说法正确；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
14．√
【分析】根据天平是一个等臂杠杆，如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称重，即可进行判断。
【详解】把5件物品分成3组：2、2、1，拿出2、2两组进行第一次称量，若平衡，剩下的1件是次品，若不平衡，那么次品就在较轻的那一组中；再把较轻的那一组分成2组：1件1组，次品就是较轻的那件。从5件物品中找一件次品（略轻一些），至少要用天平秤2次才能找出是正确的。
故答案为：√
【点睛】本题考查天平的应用，方法还是杠杆的平衡原理。
15．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】先把26个零件分成（9，9，8），把两个9个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组里，再把9分成（3，3，3），可找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，需3次。
如次品在8个一组里，则把8分成（3，3，2）把两个3个一组的放在天平上称，可找出次品一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，需3次；
如在2个一组里，可再把2分成（1，1），可找出次品，需3次；
所以用天平称，至少称3次能保证找出次品零件，所以原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。
16．×
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将10盒牛奶片分成（3、3、4），称（3、3），只考虑最不利的情况，平衡，次品在4盒中；将4盒分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2盒中；将2盒分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
17．用天平找次品：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
【分析】根据题意，可以选两块手表进行称重，如果平衡，说明第三块是次品，如果不平衡，则接下去选择两块中的一块继续与另一块手表称重，依次进行即可。
【详解】答：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。
18．3次，过程见详解
【分析】可进行三次称量：第一次分成7、7、6三份，用相同数量的两份称量，若平衡则假珠子在6个珠子的一份中，再重复上述两次操作即可找出假珠子；若不平衡则假珠子在高的一端，重复上述操作两次可找出假珠子。据此可得出答案。
【详解】至少需要称3次；
过程：
把20颗外形完全相同的珠子分成（7，7，6）三份，
第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；
第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；
②如果假珠子在6个一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，假的一颗在天平上升一端；
第三次：①把3分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则假的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，假的那颗在天平上升一端；
②如果假珠子在2个一组里，则把2分成（1，1），把两颗珠子放在天平上称，假的那颗在天平上升一端；
所以用天平至少称3次能保证把假珠子找出来。
【点睛】本题主要考查的是找次品方法的应用，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。
19．能
【分析】根据找次品的办法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。
【详解】第一次，把5个精密零件分成3份（2个、2个、1个），取2个的两份，分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的是未取的一个，若天平不平衡，取较轻的继续；
第二次，取含有较轻的零件的2个，分别放在天平两侧，即可找到较轻的精密零件。
答：至少2次能保证找到有沙眼的零件。
【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。
20．（1）3次
（2）有可能；因为这瓶较重的盐水在这些水中，所以，有可能称一次就找到。
【详解】（1）第一次，把15瓶水平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一瓶在未取的一份中，若天平平衡，取较重的一份继续。
第二次，把含有较重的一份（5瓶）分成3份（2瓶、2瓶、1瓶），取2瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的为未取的一瓶，若天平不平衡，则取较重的继续；第三次，取含有较重的一份（2瓶），分别放在天平两侧，即可找到较重的一瓶。
答：至少称3次能保证找出这瓶盐水来。
（2）答：因为这瓶较重的盐水在这些水中，所以，有可能称一次就找到。
21．（1）2次；
（2）能保证；
（3）有可能
【分析】把9分成（3，3，3），天平每边放3个，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边（称第1次）；把有次品的3个分成（1，1，1），天平每边放1个，若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边（称第2次）；据此解答。
【详解】（1）把9袋白糖随机分成3，3，3，三部分随机选取两组称，若平衡，次品在另外一组，若不平衡，次品在重的一边；
把有次品的3个随机分成1，1，1，三部分，随机选取两组称若平衡，次品是另一个，若不平衡，次品在重的一边；
（2）能，将9袋分成三份，先将两份放在天平上称如果重量不相同，较重那一袋则放在天平重的那一边。然后将重的那一份分成三份放在天平上秤，如果重量不相同取出较重的如果相等就是未放上天平的那袋如果相同重量较重那一袋在没有放在天平的那一份中，然后再将重的那一份分成三份放在天平上称如果重量不相同取出较重的，如果相等就是未放上天平的那一袋；
（3）有可能，任意取出一袋将剩下的8袋分两边放一样重则取出的那袋就是较重的。
答：（1）如果用天平秤，最少秤2次就可以找出较重的袋。
（2）能够保证秤两次就找到它。
（3）如果天平两边各放4袋，秤一次有可能秤出来。
【点睛】本题是一道找次品问题，需要结合找次品的方法进行求解。找次品的最优策略是：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
答案第1页，共2页
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