10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
一、 单项选择题
1. (2023全国高一专题练习)一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件中是必然事件的是( )
A. 摸出的4个球中至少有一个是白球
B. 摸出的4个球中至少有一个是黑球
C. 摸出的4个球中至少有两个是黑球
D. 摸出的4个球中至少有两个是白球
2. 在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，若“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为( )
A. 0.49 B. 49 C. 0.51 D. 51
3. 在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是( )
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. 随机事件
D. 以上选项均有可能
4. (2022衡阳期末)连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子的点数减去第二枚骰子的点数所得的差是一个随机变量X，则“X>4”表示的实验结果是( )
A. 第一枚6点，第二枚2点
B. 第一枚5点，第二枚1点
C. 第一枚1点，第二枚6点
D. 第一枚6点，第二枚1点
5. 从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x的值为( )
A. 5 B. 6
C. 3或4 D. 5或6
二、 多项选择题
7. 在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件中是随机事件的有( )
A. 3件都是红色
B. 3件都是白色
C. 至少有1件红色
D. 有1件白色
8. 下列事件中，是随机事件的有( )
A. 一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球
B. 掷两枚骰子，所得点数之和为9
C. x2≥0(x∈R)
D. 巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军
三、 填空题
9. (2022 高一课时练习)给出下列事件：
①函数y＝logax(0
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有998名学生，至少有 3名学生的生日相同；
④若集合A，B，C满足A B，B C，则A C；
⑤在标准大气压下，河流在20 ℃时结冰；
⑥从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数．
其中属于随机事件的是________，属于必然事件的是________，属于不可能事件的是________．(填序号)
10. 已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中选取不相等的两个数，作为平面直角坐标系上的点的坐标，观察坐标系中点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点的集合为________________．
11. 某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有1听不合格饮料的样本点有________个．
12. 给出下列四个说法：
①“集合{x||x|<0}为空集”是必然事件；
②“若f(x)是奇函数，则f(0)＝0”是随机事件；
③“若loga(x－1)>0，则x>1”是必然事件；
④“对顶角不相等”是不可能事件．
其中正确的是________．(填序号)
四、 解答题
13. 从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字．
(1) 求这个试验样本点的个数；
(2) 写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件．
14. 从含有两件正品a1，a2 和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1) 写出事件A＝“这个试验的样本空间”；
(2) 用集合表示事件B＝“取出两件产品中恰有一件次品”；
(3) 把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．
【答案解析】
10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
1. B 解析：因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，所以从中任取4个球共有3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况．因此，事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误．
2. D 解析：由题意知“正面朝上”的次数为0.49×100＝49，故“正面朝下”的次数为100－49＝51.
3. A 解析：从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，所以由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．
4. D 解析：连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子的点数减去第二枚骰子的点数所得的差是一个随机变量X，则“X>4”表示的实验结果是第一枚6点，第二枚1点．
5. C 解析：从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．
6. C 解析：依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x＝3或x＝4.
7. AD 解析：对于A，抽取3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件；对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，所以C为必然事件，所以C不是随机事件；对于D，抽出3件中白色的件数可能有0，1，2三种可能，所以有1件白色是随机事件，即D为随机事件．故选AD.
8. BD 解析：在所给条件下，A是必然事件；B是随机事件；C是必然事件；D是随机事件．故选BD.
9. ② ③④⑥ ①⑤ 解析：①中函数y＝logax(02×365，所以至少有3名学生的生日相同，故为必然事件；④中，根据集合的包含关系，可知④中的说法正确，故为必然事件；⑤中的说法不正确，故为不可能事件；⑥中任意两奇数的和均为偶数，故为必然事件．
10. {(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)} 解析：从A中取两个不同的数，作为点的坐标，则事件“点落在x轴上”包含的样本点有(－9，0)，(－7，0)，(－5，0)，(－3，0)，(－1，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0).
11. 9 解析：记4听合格的饮料分别为A1，A2，A3，A4，2听不合格的饮料分别为B1，B2.因为从中随机抽取2听的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个，所以至少有1听不合格饮料的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9个．
12. ①②③④ 解析：因为|x|≥0恒成立，所以①正确；奇函数f(x)只有当x＝0有意义时才有f(0)＝0，所以②正确；由loga(x－1)>0知，当a>1时，x－1>1，即x>2，当013. (1) 当x＝1时，y＝2，3，4；当x＝2时，y＝1，3，4；同理当x＝3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对．故这个试验结果样本点的个数为12.
(2) 记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
14. (1) 这个试验的样本空间是A＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}．
(2) B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
(3) ①这个试验的样本空间A＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}．
②B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．10．1.2 事件的关系和运算
一、 单项选择题
1. (2023高一单元测试)抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则下列结论中正确的是( )
A. A B
B. A＝B
C. A∪B表示向上的面的点数是1或2或3
D. A∩B表示向上的面的点数是1或2或3
2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数是1或2”，事件B＝“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为( )
A. A∪B B. A∩B
C. A B D. A＝B
3. 抽查10件产品，记事件A＝“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A. 至多有2件次品
B. 至多有1件次品
C. 至多有2件正品
D. 至少有2件正品
4. 打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3，则A＝A1∪A2∪A3表示( )
A. 全部击中 B. 至少击中1发
C. 至少击中2发 D. 以上均不正确
5. (2023河池高一期末)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“骰子向上的点数为素数”，事件B表示“骰子向上的点数为合数”，事件C表示“骰子向上的点数大于2”，事件D表示“骰子向上的点数小于3”，则下列结论中正确的是( )
A. 事件A与事件C互斥
B. 事件A与事件B互为对立事件
C. 事件B与事件C互斥
D. 事件C与事件D互为对立事件
6. (2023江苏高一专题练习)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则下列结论中正确的是( )
A. 事件1与事件3互斥
B. 事件1与事件2互为对立事件
C. 事件2与事件3互斥
D. 事件3与事件4互为对立事件
二、 多项选择题
7. 从一只装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的不透明口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )
A. 至少有1个红球与都是红球
B. 至少有1个红球与至少有1个白球
C. 恰有1个红球与恰有2个红球
D. 至多有1个红球与恰有2个红球
8. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都未击中飞机”，C＝“恰有一次击中飞机”，D＝“至少有一次击中飞机”，则下列关系中正确的是( )
A. A D B. B∩D＝
C. A∪C＝D D. A∪C＝B∪D
三、 填空题
9. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，给出下列各组事件：
①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”；
②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”；
③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”；
④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”．
上述各组事件中，是对立事件的是________．(填序号)
10. 中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，记事件A＝“甲夺得冠军”，事件B＝“乙夺得冠军”，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A与B可表示为________．
11. 向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数}，则事件C与A，B的运算关系是________．
12. 某市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”，则下列说法中正确的是________. (填序号)
①A与C是互斥事件；
②B与E是互斥事件，且是对立事件；
③B与C不是互斥事件；
④C与E是互斥事件．
四、 解答题
13. 用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆a，b，c随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1) 写出试验的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3) 事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由．
14. 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件∩，并说明它们的含义及关系．
【答案解析】
10．1.2 事件的关系和运算
1. C 解析：由题意，得A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，则A∪B表示向上的面的点数是1或2或3，故A，B，D错误，C正确．
2. B 解析：由题意，得A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}．
3. B 解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
4. B 解析：A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发，2发或3发．
5. D 解析：事件A＝{2，3，5}，事件B＝{4，6}，事件C＝{3，4，5，6}，事件D＝{1，2}．因为A∩C＝{3，5}，所以事件A与事件C不互斥，故A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B不为必然事件，所以事件A与事件B不对立，故B错误；因为B∩C＝{4，6}，所以事件B与事件C不互斥，故C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D为必然事件，所以事件C与事件D互为对立事件，故D正确．
6. B 解析：由题意，得事件1可表示为A＝{1，3，5}，事件2可表示为B＝{2，4，6}，事件3可表示为C＝{4，5，6}，事件4可表示为D＝{1，2}．因为A∩C＝{5}，所以事件1与事件3不互斥，故A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，故B正确；因为B∩C＝{4，6}，所以事件2与事件3不互斥，故C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，故D错误．
7. CD 解析：A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件能同时发生，如“恰有1个红球和2个白球”，故不是互斥事件；C中两事件互斥而不对立；D中至多有1个红球，即有0个或1个红球，与恰有2个红球互斥，除此还有3个都是红球的情况，因此它们不对立，所以两事件互斥而不对立．故选CD.
8. ABC 解析：对于A，事件A包含于事件D，故A正确；对于B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D＝ ，故B正确；对于C，由题意知正确；对于D，由于A∪C＝D＝{至少有一次击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D错误．故选ABC.
9. ③ 解析：对于①，“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”不是互斥事件，也不是对立事件；对于②，“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”不是互斥事件，也不是对立事件；对于③，“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”是互斥事件，也是对立事件；对于④，“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”不是互斥事件，也不是对立事件．
10. A∪B 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即事件“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”，因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A∪B.
11. C＝A∪B 解析：由题意可知C＝A∪B.
12. ②③ 解析：①A与C不是互斥事件，故①错误；②B与E 是互斥事件，且是对立事件，故②正确；③B与C不是互斥事件，故③正确；④C与E不是互斥事件，故④错误．
13. (1) 样本空间Ω＝{（红，红，红），（红，红，黄），（红，红，蓝），（红，黄，红），（红，黄，黄），（红，黄，蓝），（红，蓝，红），（红，蓝，黄），（红，蓝，蓝），（黄，红，红），（黄，红，黄），（黄，红，蓝），（黄，黄，红），（黄，黄，黄），（黄，黄，蓝），（黄，蓝，红），（黄，蓝，黄），（黄，蓝，蓝），（蓝，红，红），（蓝，红，黄），（蓝，红，蓝），（蓝，黄，红），（蓝，黄，黄），（蓝，黄，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄），（蓝，蓝，蓝）}．
(2) A＝{（红，黄，蓝），（红，蓝，黄），（黄，红，蓝），（黄，蓝，红），（蓝，红，黄），（蓝，黄，红）}，
B＝{（红，红，黄），（红，红，蓝），（红，黄，红），（红，黄，黄），（红，蓝，红），（红，蓝，蓝），（黄，红，红），（黄，红，黄），（黄，黄，红），（黄，黄，蓝），（黄，蓝，黄），（黄，蓝，蓝），（蓝，红，红），（蓝，红，蓝），（蓝，黄，黄），（蓝，黄，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄），（红，黄，蓝），（红，蓝，黄），（黄，红，蓝），（黄，蓝，红），（蓝，红，黄），（蓝，黄，红）}，
C＝{（红，红，黄），（红，红，蓝），（红，黄，红），（红，黄，黄），（红，蓝，红），（红，蓝，蓝），（黄，红，红），（黄，红，黄），（黄，黄，红），（黄，黄，蓝），（黄，蓝，黄），（黄，蓝，蓝），（蓝，红，红），（蓝，红，蓝），（蓝，黄，黄），（蓝，黄，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄）}，
D＝{（红，红，红），（黄，黄，黄），（蓝，蓝，蓝）}．
(3) 由(2) 可知C B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
14. (1) 用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．
(2) 根据题意，可得A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，
＝{(0，0)，(0，1)}，＝{(0，0)，(1，0)}．
(3)A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，∩＝{(0，0)};
A∪B表示电路工作正常；∩表示电路工作不正常，A∪B和∩互为对立事件．10．1.3 古典概型(1)
一、 单项选择题
1. 从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是( )
A. B. C. D.
2. 下列概率模型中，属于古典概型的是( )
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 一只使用中的灯泡寿命长短
3. 已知x∈{1，2，3，4}，y∈{1，2，3}，则点P(x，y)在直线x＋y＝5上的概率为( )
A. B. C. D.
4. (2023铁岭高一期中)疫情防控期间，为了宣传防护工作，某宣传小组从A，B，C，D，E，F六个社区中随机选出两个社区进行宣传，则该小组到E社区宣传的概率为( )
A. B. C. D.
5. 现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是( )
A. B. C. D.
6. 为了治疗某种疾病，研制了一种新药，为确定该药的疗效，生物实验室有6只小动物，其中有3只注射过该新药，若从这6只小动物中随机取出2只检测，则恰有1只注射过该新药的概率为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A，B发生的概率相等，则称A和B是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”，则关于“等概率事件”，下列判断中正确的是( )
A. 在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B. 若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C. 因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D. 同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”
8. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，下列事件中，概率为0.7的事件是( )
A. 恰有1件一等品
B. 至少有1件一等品
C. 至多有1件一等品
D. 至少有1件二等品三、 填空题
9. (2023石家庄开学考试)中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春宫·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学计划从“金、石、匏、竹、丝”5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰好1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为________．
10. 一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取2个球，则所取的2个球是不同色的概率为________．
11. 从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．
12. (2023朝阳建平县实验中学高一期末)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q(2，2)，G中随机选择两个点，其中至少有一个“好点”的概率为________．
四、 解答题
13. (2022 白银高一期中)某机构从某一电商的线上交易大数据中跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到如下的频率分布直方图．
(1) 求频率分布直方图中a的值和这200人的年龄的中位数及平均数；
(2) 从第1，2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组的概率．
14. 已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1) 应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2) 设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①若用(A，B)表示样本点“抽取的2名同学为A和B”，试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案解析】
10．1.3 古典概型(1)
1. C 解析：集合{a，b，c}的子集个数为23＝8，集合{a，b，c，d，e}的子集个数为25＝32，所求概率为＝.
2. C 解析：对于A，所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性，故A不属于古典概型；对于B，命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性，故B不属于古典概型；对于C，显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故C属于古典概型；对于D，灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性，故D不属于古典概型．
3. B 解析：由已知得点P(x，y)的个数为4×3＝12，其中点(2，3)，(3，2)，(4，1)在直线x＋y＝5上，所以点P(x，y)在直线x＋y＝5上的概率为＝.
4. D 解析：从A，B，C，D，E，F六个社区中随机选出两个社区，样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共有15个样本点，包含E社区的有(A，E)，(B，E)，(C，E)，(D，E)，(E，F)，共5个样本点，所以该小组到E社区宣传的概率为＝.
5. D 解析：把这三张卡片排序有“中国梦”“中梦国”“国中梦”“国梦中”“梦中国”“梦国中”，共6种，能组成“中国梦”的只有1种，故所求概率为.
6. B 解析：将3只注射过新药的小动物编号为A，B，C，3只未注射新药的小动物编号为a，b，c，记事件M为“恰有1只注射过该新药”，则所有的基本事件为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15个，其中事件M所包含的基本事件个数为9.由古典概型的概率公式得P(M)＝＝.
7. AD 解析：对于A，由古典概型的定义知，所有基本事件的概率都相等，故所有基本事件之间都是“等概率事件”，故A正确；对于B，如在1，3，5，7，9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B错误；对于C，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C错误；对于D，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为，故这两个事件是“等概率事件”，故D正确．故选AD.
8. CD 解析：将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，样本空间共包含10个样本点．对于A，恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6种，所以恰有1件一等品的概率为P1＝0.6；对于B，有2件二等品的取法有(4，5)一种，其概率为0.1，所以其对立事件“至少有1件一等品”的概率为1－0.1＝0.9；对于C，有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，故有2件一等品的概率为0.3，其对立事件“至多有1件一等品”的概率为0.7，满足题意；对于D，至少有1件二等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，故至少有1件二等品的概率为P4＝0.7，符合题意．故选CD.
9. 解析：从“金、石、匏、竹、丝”5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，基本事件有（金，石），（金，匏），（金，竹），（金，丝），（石，匏），（石，竹），（石，丝），（匏，竹），（匏，丝），（竹，丝），共10个，其中恰好1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件有（金，匏），（金，竹），（石，匏），（石，竹），共4个，故所求概率为＝.
10. 解析：设4个白球编号为1，2，3，4，1个黑球编号为A.从中任取2个球的所有可能结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，A)，(2，3)，(2，4)，(2，A)，(3，4)，(3，A)，(4，A)，共10种，所取的2个球是不同色的有(1，A)，(2，A)，(3，A)，(4，A)，共4种，所以所求概率为P＝＝.
11. 解析：设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有(A，D)，(B，D)，(C，D)，共3个，所以取出的2件中恰有1件是次品的概率为P＝＝.
12. 解析：设指数函数为y＝ax(a>0，a≠1)，显然图象不过点M，P.若设对数函数为y＝logbx(b>0，b≠1)，显然图象不过点N，当点Q(2，2)为“好点”时，有解得a＝b＝；当点G为“好点”时，有解得所以“好点”有两个，分别为点Q，G.从五个点中选择两个点的样本空间Ω＝{(M，N)，(M，P)，(M，Q)，(M，G)，(N，P)，(N，Q)，(N，G)，(P，Q)，(P，G)，(Q，G)}，共10个样本点，记A＝“其中至少有一个好点”，则A＝{(M，Q)，(M，G)，(N，Q)，(N，G)，(P，Q)，(P，G)，(Q，G)}，共7个样本点，故所求概率为.
13. (1) 由频率分布直方图，得(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)×10＝1，
解得a＝0.035.
因为(0.010＋0.015)×10＝0.25，(0.010＋0.015＋0.035)×10＝0.6，
所以中位数位于[35，45）内，设中位数为m，
则0.25＋(m－35)×0.035＝0.5，
解得m＝，即中位数为.
平均数为(20×0.010＋30×0.015＋40×0.035＋50×0.030＋60×0.010)×10＝41.5.
(2) 因为第1，2组的频率之比为0.010∶0.015＝2∶3，
所以抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为A，B；第2组应抽取3人，记为C，D，E，
则从5人中随机抽取2人，有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个基本事件，
其中，两人恰好属于同一组的有{A，B}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共4个基本事件，
所以两人恰好属于同一组的概率p＝＝.
14. (1) 由已知，得高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为240∶160∶160＝3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2) ①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自高一年级的是A，B，C，来自高二年级的是D，E，来自高三年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种，所以事件M发生的概率为P(M)＝.10．1.3 古典概型(2)
一、 单项选择题
1. 甲、乙、丙3人站成一排，则甲恰好站在中间的概率为( )
A. B.
C. D.
2. 小明打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B.
C. D.
3. 有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7.现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的概率是( )
A. B.
C. D.
4. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B.
C. D.
5. (2023扬中第二高级中学阶段练习)围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为( )
A. B.
C. D.
6. 有两人从一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率是( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. 以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A. 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B. 每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为
C. 将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
8. (2023江苏高一专题练习)一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则下列说法中正确的是( )
A. 若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B. 若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C. 若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D. 若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
三、 填空题
9. 从编号分别为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．
10. (2023三明高一期末)刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的(2k＋1)阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把1，2，…，n2排成n×n的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有5的概率是________．
8 1 6
3 5 7
4 9 2
11. 某汽车站每天均有3辆客车开往省城，客车分为上、中、下三等．某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．
12. 从数字1，2，3，4中，若是有放回地取出两个数字，则其和为奇数的概率为________；若是不放回地取出两个数字，其和为奇数的概率为________．
四、 解答题
13. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，求下列事件的概率：
(1) 恰有1支一等品；
(2) 2支都是一等品；
(3) 没有三等品．
14. 一个盒子中装有编号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取2张标签，根据下列条件，求2张标签上的数字为相等整数的概率．
(1) 标签的选取是不放回的；
(2) 标签的选取是有放回的．
【答案解析】
10．1.3 古典概型(2)
1. A 解析：甲、乙、丙3人站成一排，该试验有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个样本点，而事件“甲恰好站在中间”包含的样本点的个数为2，所以甲恰好站在中间的概率P＝＝.
2. C 解析：记事件A＝“小明输入一次密码能够成功开机”，则小明输入密码的前两位共有15种情况，分别为(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，而小明输入一次密码能够成功开机，只有1种，故P(A)＝.
3. A 解析：设事件A＝“取三条线段可以构成三角形”，则事件A包含的基本事件有：(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(2，6，7)，(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，5，7)，(3，6，7)，(4，5，6)，(4，5，7)，(4，6，7)，(5，6，7)，共13个，事件总数为20，则P＝.
4. D 解析：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数n＝5×5＝25.抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共有10个基本事件，所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率P＝＝.
5. C 解析：设3位棋手分别记为丙、丁、戊，则这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10种，其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6种，所以甲和乙不在同一个小组的概率P＝＝.
6. C 解析：设这两人为A，B，则这两人离开电梯的样本空间Ω＝{(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，B2)，(A3，B3)，…，(A6，B6)}，共包含25个样本点．事件“该两人在相同层离开电梯”共包含(A2，B2)，(A3，B3)，(A4，B4)，(A5，B5)，(A6，B6)，共5个样本点，所以“这两人在不同层离开电梯”共包含20个样本点，所求概率P＝＝.
7. BCD 解析：对于A，画树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝，故玩一局甲不输的概率是，故A错误；对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13，共6个，从这6个素数中任取2个，有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(2，13)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(3，13)，(5，7)，(5，11)，(5，13)，(7，11)，(7，13)，(11，13)，共15种结果，其中和等于14的只有一种(3，11)，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；对于C，基本事件总共有6×6＝36（种）情况，其中点数之和是6的有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5种情况，则所求概率是，故C正确；对于D，记三件正品为A1，A2，A3，一件次品为B，任取两件产品的所有可能结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)，共6种，其中两件都是正品的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，则所求概率为P＝＝，故D正确．故选BCD.
8. BD 解析：对于A，不放回地抽取2个球，包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，记2个红球分别为a，b，3个白球分别为1，2，3，不放回地从中取2个球的样本空间Ω1＝{(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(b，a)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(1，a)，(1，b)，(1，2)，(1，3)，(2，a)，(2，b)，(2，1)，(2，3)，(3，a)，(3，b)，(3，1)，(3，2)}，共有20个样本点，记事件A为“第1次取到红球”，事件B为“第2次取到红球”，则A＝{(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(b，a)，(b，1)，(b，2)，(b，3)}，B＝{(a，b)，(b，a)，(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)}，所以P(A)＝P(B)，故B正确；对于C，有放回地从中取2个球的样本空间Ω2＝{(a，a)，(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(b，b)，(b，a)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(1，a)，(1，b)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，a)，(2，b)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，a)，(3，b)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共有25个样本点，记事件C为“取出1个红球和1个白球”，则C＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)}，共有12个样本点，所以P(C)＝，故C错误；对于D，记事件D为“取出2个白球”，则D＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共有9个样本点，所以事件“至少取出一个红球”的样本点有25－9＝16（个），所以至少取出1个红球的概率为，故D正确．故选BD.
9. 解析：从编号分别为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则样本空间中样本点的个数为16，事件“第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除”包含的样本点有8个，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，3)，(4，4)，所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率P＝＝.
10. 解析：随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为(8，1，6)，(3，5，7)，(4，9，2)，(8，3，4)，(1，5，9)，(6，7，2)，(8，5，2)，(4，5，6)，共8个，其中含有5的基本事件有(3，5，7)，(1，5，9)，(8，5，2)，(4，5，6)，共4个，则含有5的概率是＝.
11. 解析：据题意，所有可能的客车通过顺序的样本点为（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下，中，上），（下，上，中），共6种，其中该人可以乘上上等车的样本点有（中、上、下），（中、下、上），（下，上，中），共3种，则其概率为＝.
12. 解析：若是有放回地取出两个数字，则样本空间Ω1＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}}，共包含16个样本点，其中事件“和为奇数”包括(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8个样本点，故所求概率P1＝＝.若是不放回地取出两个数字，则样本空间Ω2＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共12个样本点，事件“和为奇数”包括8个样本点，故所求概率P2＝＝.
13. 用a1，a2，a3表示3支一等品，用b1，b2表示2支二等品，用c表示三等品，则该试验的样本空间可表示为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a1，c)，(a2，c)，(a3，c)，(b1，c)，(b2，c)}，共有15个样本点．
(1) 记事件A＝“恰有1支一等品”，
则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c)}，共有9个样本点，所以P(A)＝＝.
(2) 记事件B＝“2支都是一等品”，
则B＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)}，共有3个样本点，所以P(B)＝＝.
(3) 记事件C＝“没有三等品”，
则C＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有10个样本点，所以P(C)＝＝.
14. 从5张标签中随机选取2张标签，用m表示第一张标签的编号，n表示第二张标签的编号，设事件A＝“两张标签上的数字为相等整数”．
(1) 数组(m，n)表示该试验的一个样本点，m，n∈{1，2，3，4，5}，且m≠n，则该试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共有20个样本点，其中m，n为相等整数的样本点个数n(A)＝0，故所求概率为0.
(2) 该试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，共有25个样本点，各样本点出现的可能性相等，该试验是古典概型，其中A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)}，所以n(A)＝5，故所求概率为P＝＝＝.10．1.4 概率的基本性质
一、 单项选择题
1. (2023全国高一专题练习)下列说法中，正确的是( )
A. 当A，B不互斥时，可由公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)计算A∪B的概率
B. A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C. 若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D. 事件A，B中至少有一个发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大
2. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A. 0.7 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.3
3. (2023江苏高一专题练习)围棋起源于中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，属琴棋书画四艺之一．现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出2枚都是黑子的概率是0.1，都是白子的概率是0.3，则从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.1 D. 0.3
4. 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋. 已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为( )
A. 0.5 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
5. 5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，则概率是的事件是( )
A. 至多有一张移动卡
B. 恰有一张移动卡
C. 都不是移动卡
D. 至少有一张移动卡
6. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数出现”，事件B表示“不小于5的数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结论中正确的是( )
A. P(B)＝
B. P(A∪B)＝
C. P(A∩B)＝0
D. P(A∪B)＝P(C)
8. 下列叙述中，正确的是( )
A. 某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件
B. 甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件
C. 抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于
D. 抛掷一枚硬币4次，恰出现2次正面向上的概率为
三、 填空题
9. 某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为________．
10. (2023福州三中高一期末)已知在一次随机试验中，定义两个随机事件A，B，且P(A)＝0.4，P()＝0.3，P(A∩B)＝0.3，则P(A∪B)＝________．
11. 在30瓶饮料中，有3瓶已过保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．
12. 若口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2个球，事件A＝“取出的2个球同色”，B＝“取出的2个球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2个球中至少有1个白球”，D＝“取出的2个球不同色”，E＝“取出的2个球中至多有1个白球”，则下列判断中正确的为________．(填序号)
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C).
四、 解答题
13. 某医院派医生下乡义诊，派出医生人数及其概率如下表所示：
医生人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1) 若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2) 若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
14. (2023全国高一专题练习)某品牌计算机的售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
(1) 某人购买了一台这个品牌的计算机，设Ak＝“一年内需要维修k次”，k＝0，1，2，3，请填写下表：
事件 A0 A1 A2 A3
概率
事件A0，A1，A2，A3是否满足两两互斥？
(2) 求下列事件的概率：
①A＝“在1年内需要维修”；
②B＝“在1年内不需要维修”；
③C＝“在1年内维修不超过1次” .
【答案解析】
10．1.4 概率的基本性质
1. A 解析：根据概率的性质可知，当A，B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，故A正确；对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故B错误．在条件P(A)＋P(B)＝1下，事件A与事件B不一定互斥，则事件A与B不一定是对立事件，故C错误；当事件A与事件B互斥时，则事件A，B中至少有一个发生的概率与事件A，B中恰有一个发生的概率相等，故D错误．
2. D 解析：因为抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件A＝“抽到一等品”，P(A)＝0.7，所以抽到不是一等品的概率是1－0.7＝0.3.
3. B 解析：2枚都是黑子的事件记为A1，2枚都是白子的事件记为A2，显然A1与A2互斥，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.3，从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的事件记为A，其对立事件是A1＋A2，所以从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率P(A)＝1－P(A1＋A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝0.6.
4. A 解析：设甲胜的概率为P1，乙胜的概率为P2，和棋的概率为P3，则P1＋P3＝0.8，P2＋P3＝0.7，两式相加得P1＋P2＋2P3＝1.5.又P1＋P2＋P3＝1，所以P3＝1.5－1＝0.5.
5. A 解析：因为在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，事件“2张全是移动卡”的概率是，所以概率是的事件可以是“2张全是移动卡”的对立事件，所以概率是的事件是“至多有一张移动卡”．
6. A 解析：事件A表示“小于5的偶数出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝.又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7. ABC 解析：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝，故A，B正确，D错误．故选ABC.
8. AB 解析：对于A，某人射击1次，“射中7环”和“射中8环”是两个不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故A正确；对于B，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包含“1人射中，1人没有射中”和“2人都射中目标”，所以根据对立事件的定义可知，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件，故B正确；对于C，抛掷一枚硬币，属于独立重复事件，每次出现反面向上的概率都是，故C不正确；对于D，抛掷一枚硬币，恰出现2次正面向上的概率为，故D不正确．故选AB.
9. 解析：由题意可知，所有可能的情况共有23＝8（种），其中在同一食堂用餐的情况有2种，故三人不在同一个食堂用餐的概率为1－＝.
10. 0.8 解析：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋1－P（）－P(A∩B)＝0.4＋1－0.3－0.3＝0.8.
11. 解析：由对立事件的概率公式可得，所求概率为1－＝.
12. ①④ 解析：对于①，由对立事件的定义得A与D互为对立事件，故①正确；对于②，B与C有可能同时发生，故B与C不是互斥事件，故②错误；对于③，C与E有可能同时发生，故C与E不是对立事件，故③错误；对于④，P(C)＝1－＝，P(E)＝，P(CE)＝，则P(C∪E)＝P(C)＋P(E)－P(C∩E)＝1，故④正确；对于⑤，黄球与白球的数量不相等，所以P(B)≠P(C)，故⑤错误．
13. (1) 由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.
(2) 由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生至少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
14. (1) 因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%，
所以P(A1)＝0.15，P(A2)＝0.06，P(A3)＝0.04，又事件A0，A1，A2，A3中，任意两个不可能同时发生，因此事件A0，A1，A2，A3两两互斥，所以P(A0)＝1－(0.15＋0.06＋0.04)＝0.75，
填表如下：
事件 A0 A1 A2 A3
概率 0.75 0.15 0.06 0.04
故事件A0，A1，A2，A3满足两两互斥．
(2) ①由(1)知，“在1年内需要维修”的事件，即事件A1，A2，A3至少有一个发生，而它们两两互斥，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.25.
②“在1年内不需要维修”的事件，即事件A0发生，所以P(B)＝P(A0)＝0.75.
③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件A0，A1至少发生一个，所以P(C)＝P(A0∪A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.9.