10.2 事件的相互独立性 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

10．2　事件的相互独立性
一、 单项选择题
1. (2023厦门一中期中)已知甲、乙两人同时向目标各射击一次，至少有一人命中的概率为70%，已知甲射击的命中率为40%，且甲、乙两人的命中率互不影响，则乙射击的命中率为(　　)
A. 30% B. 50%　 C. 60% D. 75%
2. 若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A. 事件A与B互斥
B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立
D. 事件A与B既互斥又相互独立
3. 如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)
A. 0.504
B. 0.994
C. 0.496
D. 0.064
4. 一只不透明的袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，记事件A＝“第一次摸得白球”，事件B＝“第二次摸得白球”，事件C＝“第二次摸得黑球”，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　)
A. A与B，A与C均相互独立
B. A与B相互独立，A与C互斥
C. A与B，A与C均互斥
D. A与B互斥，A与C相互独立
5. 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为p(0A. [1－(1－p)p2]p
B. [1－p(1－p2)]p
C. [1－(1－p)(1－p2)]p
D. [1－(1－p)2p]p
6. (2023菏泽高二阶段练习)随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标有1～6共六个数字，记事件A＝“骰子向上的点数是1和3”，事件B＝“骰子向上的点数是3和6”，事件C＝“骰子向上的点数含有3”，则下列说法中正确的是(　　)
A. 事件A与事件B是相互独立事件
B. 事件A与事件C是互斥事件
C. P(A)＝P(B)＝
D. P(C)＝
二、 多项选择题
7. 下列关于概率的命题中，正确的有(　　)
A. 若事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，则A，B为对立事件
B. 若事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，则A，B相互独立
C. 若对于事件A，B，C，P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(ABC)＝，则A，B，C两两独立
D. 若对于事件A，B，A与B相互独立，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，则P(AB)＝0.42，P(A＋B)＝0.88
8. (2022苏州三模)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率，从两袋中各摸出一个球，则下列结论中正确的是(　　)
A. 2个球都是红球的概率为
B. 2个球中恰有1个红球的概率为
C. 2个球中至多有一个红球的概率为
D. 2个球中至少有1个红球的概率为
三、 填空题
9. (2023宁波联考)三个元件a，b，c独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒T1，T2，T3中(一盒接一个元件)，各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是________．
10. 某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛，记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5，0.6，0.8，甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3，0.2，0.1，最后得分大于等于7胜出，则甲胜出的概率为________．
11. 某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，则一个零件经过检测为合格品的概率是________．
12. 在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为，则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙两名学生都选做第22题的概率为________．
四、 解答题
13. 已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
(1) 求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
(2) 求甲、乙、丙都没通过测试的概率；
(3) 求甲、乙、丙中至少有一人通过测试的概率．
14. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1) 从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2) 若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【答案解析】
10．2　事件的相互独立性
1. B　解析：设乙的命中率为p，由题意得(1－0.4)(1－p)＝1－0.7，解得p＝0.5.
2. C　解析：因为P(A)＝1－P（）＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．
3. B　解析：A，B，C三个开关相互独立，三个中至少有一个正常工作即可，由间接法知P＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
4. A　解析：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立，而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥．
5. C　解析：记零件或系统X能正常工作的概率为P(X)，则P(X)＝P{[(AB)∪C]∩D}＝P[(AB)∪C]P(D)＝[1－P（∪）P（）]P(D) ＝{1－[1－P(AB)][1－P(C)]}P(D)＝[1－(1－p2)(1－p)]p.
6. C　解析：投掷两个质地均匀的正方体骰子，所有可能的结果有6×6＝36（种），满足事件A的有{1，3}，{3，1}，共2种；满足事件B的有{3，6}，{6，3}，共2种；满足事件C的有{1，3}，{2，3}，{3，3}，{4，3}，{5，3}，{6，3}，{3，1}，{3，2}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，共11种，所以P(A)＝P(B)＝＝，故C正确；P(C)＝，故D错误；因为P(AB)＝0≠P(A)P(B)，所以A，B不是相互独立事件，故A错误；因为事件A和事件C可能同时发生，所以A，C不是互斥事件，故B错误．
7. BD　解析：对于A，“P(A)＋P(B)＝1”是“A，B为对立事件”的必要不充分条件，故A错误；对于B，若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B相互独立，故B正确；对于C，若A，B，C两两独立，则P(ABC)＝，反之不成立，故C错误；对于D, 若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.42，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.88，故D正确．故选BD.
8. AB　解析：记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则P(A)＝，P(B)＝.因为A，B相互独立，2个球都是红球的事件为AB，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝，故A正确；2个球中恰有1个红球的事件为A＋B，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝×＋×＝，故B正确；2个球中至多有一个红球的事件的对立事件为AB，所以2个球中至多有一个红球的概率为1－＝，故C错误；2个球中至少有1个红球的事件的对立事件是，因为P（）＝P（）·P（）＝×＝，所以2个球中至少有1个红球的概率为，故D错误．故选AB.
9. 　解析：若T1接入a，T2，T3分别接入b，c，则该电路正常工作的概率为×＝；若T1接入b，T2，T3分别接入a，c，则该电路正常工作的概率为×＝；若T1接入c，T2，T3分别接入a，b，则该电路正常工作的概率为×＝.因为>>，所以此电路正常工作的最大概率为.
10. 0.446　解析：两队比赛，一队胜、平、负是互斥事件，因此由题意得甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2，0.2，0.1，所以甲胜出的概率为P＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.6×0.1＋0.5×0.2×0.8＋0.2×0.6×0.8＝0.446.
11. 　解析：设A，B两项技术指标达标的概率分别为P1，P2，一个零件经过检测，为合格品的概率为P.由题意，得解得或则P＝P1P2＝.
12. 　　解析：设事件A＝“甲选做第22题”，事件B＝“乙选做第22题”，则甲、乙选做同一道题的事件为“AB∪ ”，且事件A，B相互独立，所以P（AB∪ ）＝P(A)P(B)＋P（）P（）＝×＋×＝，所以甲、乙两名学生选做同一道题的概率为.因为P(A)P(B)＝×＝，所以甲、乙两名学生都选做第22题的概率为.
13. (1) 设事件A＝“甲通过测试”，事件B＝“乙通过测试”，事件C＝“丙通过测试”．
因为3人之间的测试互不影响， 相互独立，
所以P（BC）＝P（）·P(B)·P(C)＝(1－0.6)×0.8×0.9＝0.288.
(2) P（ ）＝P（）·P（）·P（）＝(1－0.6)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.008.
(3) 设事件 D＝“甲、乙、丙中至少有一人通过”，则 ＝“甲、乙、丙三人都没通过”，
故P(D)＝1－P（）＝1－(1－0.6)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.992.
14. (1) 设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则
A1A2＝“甲赢得比赛”，P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝×＝；
B1B2＝“乙赢得比赛”，P(B1B2)＝P(B1)·P(B2)＝×＝.
因为>，所以派甲参赛获胜的概率更大．
(2) 由(1) 知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，
则P（）＝1－P(A1A2)＝1－＝，
P（）＝1－P(B1B2)＝1－＝，
所以C∪D＝“两人中至少有一人赢得比赛”，
所以P(C∪D)＝1－P（ ）＝1－P（）P（）＝1－×＝.