2.3 圆与圆的位置关系 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2．3　圆与圆的位置关系
一、 单项选择题
1 圆C1：x2＋y2－14x＝0与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16的位置关系为(　　)
A. 相交 B. 内切
C. 外切 D. 相离
2 (2023成都石室阳安中学月考)已知两圆x2＋y2＝1和x2＋(y－a)2＝16(a>0)相交，则实数a的取值范围为(　　)
A. (1，15) B. [1，15]
C. (3，5) D. [3，5]
3 已知圆C1的半径为3，圆C2的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是(　　)
A. 0 B. 4 C. 8 D. 12
4 (2023绵阳南山中学期末)已知点A(－2，0)，B(2，0)，若圆(x－3)2＋y2＝r2上存在点P(不同于点A，B)使得PA⊥PB，则实数r的取值范围是(　　)
A. (1，5) B. [1，5]
C. (1，3] D. [3，5]
5 (2023成都期末联考)过点E(5，a)作圆 C：(x－2)2＋y2＝3的两条切线，切点分别为A，B，则弦长AB的最小值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 2 D.
6 若圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离都为2，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－2，0)∪(0，2)
B. (－2，2)
C. (－1，0)∪(0，1)
D. (－1，1)
二、 多项选择题
7 (2023新泰一中阶段练习)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 两圆的公共弦所在的直线方程为y＝2x＋2
B. 圆O上有2个点到直线x＋y＋2＝0的距离为
C. 两圆有两条公切线
D. 若点E在圆O上，点F在圆M上，则EF的最大值为＋3
8 已知两圆方程为x2＋y2＝4与(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若两圆外切，则r＝3
B. 若两圆公共弦所在的直线方程为3x－4y－2＝0，则r＝5
C. 若两圆的公共弦长为2，则r＝
D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则 r＝4
三、 填空题
9 (2023北京八中期中)若单位圆x2＋y2＝1与圆(x＋m)2＋y2＝4相切，则实数m＝________．
10 已知点A，B分别在圆x2＋(y－1)2＝1与圆(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为________．
11 已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝1，动点P在x轴上，动点M，N分别在圆C1和圆C2上，则圆C1关于x轴的对称圆的方程为______________；PM＋PN的最小值是________．
四、 解答题
12 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1).
(1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线的方程；
(2) 若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程．
13 (2023惠州大亚湾一中期中)已知点M到点O(0，0)的距离与点M到点P(2，0)的距离之比为.
(1) 求点M的轨迹C的方程；
(2) 求过轨迹C和x2＋y2＝2的交点，且与直线x－y＝0相切的圆的方程．
【答案解析】
2．3　圆与圆的位置关系
1. A　由圆C1：x2＋y2－14x＝0与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，可得圆心为C1(7，0)，C2(3，4)，半径 R1＝7，R2＝4，则C1C2＝＝4，且R1－R2＝3，R2＋R1＝11，所以R1－R2＜C1C2＜R2＋R1，所以两圆相交．
2. C　由圆C1：x2＋y2＝1，得圆心为C1(0，0)，半径r1＝1；由圆C2：x2＋(y－a)2＝16(a>0)，得圆心为C2(0，a)，半径r2＝4.因为a>0，所以当r2－r13. C　因为圆C1的半径为3，圆C2的半径为7，且两圆相交，所以7－3＜C1C2＜7＋3，即4＜C1C2＜10.故选C.
4. A　由题意，得以AB为直径的圆和圆(x－3)2＋y2＝r2有交点．因为点P不同于点A，B，显然两圆相切时不满足条件，所以两圆相交．因为以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，两个圆的圆心距为3，所以|r－2|<35. A　圆C：(x－2)2＋y2＝3的圆心为C(2，0)，由题意，得E，A，B，C四点共圆，其中EC为直径，所以此圆的圆心为F，即F，半径为＝，所以此圆的方程为＋＝.圆C：(x－2)2＋y2＝3与＋＝相减，得3x＋ay＝9，所以弦AB的方程为3x＋ay＝9，所以圆心C(2，0)到直线AB的距离为d＝＝，故弦长AB＝2＝2∈[2，2).
6. A　由题意，得圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．因为OC＝，所以 1＜＜3，解得－2＜a＜0或0＜a＜2.
7. BCD　对于C，因为圆O：x2＋y2＝4，所以圆心为O(0，0)，半径R＝2.因为圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为M(－2，1)，半径r＝1，则2－18. AB　根据题意，圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，圆(x－3)2＋(y＋4)2＝r2的圆心为(3，－4)，半径为r，两圆的圆心距d＝＝5.对于A，若两圆外切，则d＝2＋r＝5，则r＝3，故A正确；对于B，联立可得6x－8y－29＋r2＝0.若两圆公共弦所在的直线方程为3x－4y－2＝0，即6x－8y－4＝0，则有r2－29＝－4，则r＝5，故B正确；对于C，因为两圆有公共弦，所以两圆相交．又圆心距d＝5，所以|r－2|<59. ±3或±1　若两圆外切，则圆心距|m|等于两圆半径之和3，即m＝±3；若两圆内切，则圆心距|m|等于两圆半径之差的绝对值1，即m＝±1.故m＝±3或m＝±1.
10. 2－4　由题意，得两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆外离，所以A，B两点之间的最短距离为2－4.
11. (x＋2)2＋(y＋3)2＝1　5－2　由圆C1的方程(x＋2)2＋(y－3)2＝1，可得圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1，所以圆C1关于x轴对称的圆的圆心为C′1(－2，－3)，半径不变，仍然为1，所以圆C1关于x轴的对称圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝1.如图所示，连接C′1C2的直线与两个圆交于点M′，N，与x轴交于P，连接PC1交圆C1于点M，由圆的对称性可得PM＝PM′，由圆的对称性可得PM＋PN≥C′1C2－2×1＝－2＝5－2，当且仅当M′，P，N三点共线时，取到最小值．
12. (1) 由圆O1的方程可得圆心为O1(0，－1)，半径r1＝2，设圆O2的半径为r2，
由题意可得圆心距O1O2＝＝2，
由两圆外切可得r1＋r2＝O1O2，
即2＋r2＝2，可得r2＝2－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝(2－2)2.
联立
作差，得x＋y＋1－2＝0.
故内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2) 设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
两圆的方程相减，可得两圆公共弦AB所在的直线方程，即4x＋4y＋r－8＝0，
可得圆心O1到直线AB的距离为
d＝＝.
由弦长AB＝2＝2，可得d2＝2，
即＝2，可得r＝4或r＝20，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
13. (1) 依题意，得＝，设M(x，y)，
所以＝，
整理，得x2－8x＋8＋y2＝0，即(x－4)2＋y2＝8，
所以点M的轨迹C的方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2) 联立
解得或
设A，B，该圆的圆心为N，
显然圆心N位于线段AB的垂直平分线上，
即在x轴上，则设N(a，0)，
所以＝，解得a＝1或a＝4.
当a＝1时，此时圆心坐标为(1，0)，r2＝＝，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝；
当a＝4时，此时圆心坐标为(4，0)，r2＝＝8，所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝8.
故满足题意的圆的方程为(x－1)2＋y2＝或(x－4)2＋y2＝8.