2 圆的综合应用 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2 圆的综合应用 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 90.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-07 19:40:53 | ||
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文档简介
2 圆的综合应用
一、 单项选择题
1 已知P，Q分别为圆C：x2＋y2＝1与圆D：(x－7)2＋y2＝4上的一点，则PQ的最小值为( )
A. 4 B. 5
C. 7 D. 10
2 设P为直线y＝kx＋2上的任意一点，过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，则实数k的最大值为( )
A. B. 1
C. D.
3 若圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4与圆C2关于直线x＋y－3＝0对称，圆C3上任意一点M均满足MA2＋MO2＝10，其中A(0，2)，O为坐标原点，则圆C2和圆C3的公切线有( )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
4 (2023东莞实验中学月考)已知线段AB的端点B的坐标为(4，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为( )
A. 4π B. π C. π D.
5 (2023沧州泊头一中月考)已知P是直线l：3x＋4y－2＝0上的一个动点，过点P作圆C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝12的两条切线PM，PN，其中M，N为切点，则∠MPN的最大值为( )
A. 120° B. 90°
C. 60° D. 150°
6 (2023南京期中)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝4和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在一点P，使得∠APB＝，则实数m的取值范围是( )
A. (0，) B. (2，)
C. D.
二、 多项选择题
7 (2023十堰普通高中联合体联考)下列说法中，正确的是( )
A. 若直线l：ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝相交，则点(a，b)在圆O的外部
B. 直线kx－y－3k＋1＝0被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最长弦长为2
C. 若圆x2＋y2＝r2上有4个不同的点到直线x－y－2＝0的距离为1，则r>＋1
D. 若过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝r2的切线只有一条，则切线方程为x＋y－4＝0
8 (2023吴忠青铜峡一中期中)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 圆C的半径为2
B. 的最大值为2＋
C. x＋y＋2x0＋3的最小值为16－
D. x0＋y0的最大值为6
三、 填空题
9 过圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________________．
10 已知圆M：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则当圆M半径最小时，圆M的方程为________________________________________________________________________．
11 已知圆O：x2＋y2＝1，P是直线3x＋4y＋15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为________．
四、 解答题
12 已知△ABC的顶点分别为A(－2，3)，B(4，－5)，C(1，4).
(1) 求△ABC外接圆的方程；
(2) 直线l：3x－4y＋28＝0上有一动点P，过点P作△ABC外接圆的一条切线，切点为Q，求PQ的最小值，并求此时点P的坐标．
13 (2023东莞四校期中联考)已知直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1相交于不同的两点A，B.
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 设M是圆C上的一动点(异于点A，B)，O为坐标原点．若·＝12，求△MAB面积的最大值．
【答案解析】
2 圆的综合应用
1. A 圆C的圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1，圆D的圆心坐标为(7，0)，半径r2＝2，所以两圆的圆心距d＝7>r1＋r2，两圆外离，所以PQmin＝7－1－2＝4.
2. D 因为过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，所以点P在圆外或圆上，即直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相离或相切，则≥1，即k2＋1≤4，解得k∈[－，]，故k的最大值为.
3. C 圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C1(2，－1)，半径为2，设圆心C1(2，－1)关于直线x＋y－3＝0的对称点为C2(m，n)，则解得所以C2(4，1).由半径为2，可得圆C2的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝4.设M(x，y)，因为MA2＋MO2＝10，所以x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，所以圆C3的方程为x2＋(y－1)2＝4，则圆C2和圆C3的圆心距C2C3＝d＝4.因为d＝r2＋r3，所以两圆外切，所以两圆的公切线有3条．
4. C 设线段AB的中点为M(x，y)，A(x0，y0)，则则又因为点A在圆x2＋y2＝4上运动，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y－3)2＝4，整理，得(x－2)2＋＝1，所以点M的轨迹方程是圆心为，半径r＝1的圆，所以该圆的面积为S＝πr2＝π.
5. A 由题意知，PM＝PN，CM＝CN＝2，则sin ∠CPM＝＝，因为∠MPN＝2∠MPC，所以当∠MPN最大时，PC最小．又PCmin＝＝4，所以sin ∠CPM＝＝，所以∠CPM＝60°，即∠MPN的最大值为2×60°＝120°.
6. C 取D(0，3m)，则AD＝＝2m，同理可得BD＝2m，AB＝2m，所以∠ADB＝，所以满足条件的点P一定在△ABD的外接圆上．因为△ABD的外接圆半径为r＝＝＝2m，所以△ABD的外接圆圆心为M(0，m)，且MC＝.因为圆C上存在一点P，使得∠APB＝，所以圆C与圆M有公共点，所以|2m－2|≤MC≤|2m＋2|，即(2m－2)2≤(m－5)2＋27≤(2m＋2)2.又m>0，解得2≤m≤.
7. AD 对于A，由题意，得<，所以a2＋b2>4>，所以点(a，b)在圆O的外部，故A正确；对于B，因为直线kx－y－3k＋1＝0恒过定点(3，1)，且(3－2)2＋(1－2)2<4，所以点(3，1)在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B错误；对于C，因为圆心到直线的距离为＝>1，所以直线x－y－2＝0与圆相交，如图，直线l1，l2与直线l平行，且与直线l的距离为1，所以|r|>＋1，故C错误；对于D，过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝r2的切线只有一条，则点P在圆O上，又kOP＝，所以切线的斜率为－＝－，所以切线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－4＝0，故D正确．故选AD.
8. BD 对于A，由x2＋y2－4x－4y＋6＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝2，所以该圆的半径为，故A不正确；对于B，因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，所以x＋y－4x0－4y0＋6＝0.设＝k，则y0＝kx0，代入x＋y－4x0－4y0＋6＝0中，化简，得(1＋k2)x－4(1＋k)x0＋6＝0.因为该方程有实根，所以Δ＝[4(1＋k)]2－24(1＋k2)≥0，即k2－4k＋1≤0，解得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，故B正确；对于C，由B可知x＋y－4x0－4y0＋6＝0，则x＋y＋2x0＋3＝4x0＋4y0－6＋2x0＋3＝6x0＋4y0－3.由A可知(x－2)2＋(y－2)2＝2，则因为点P(x0，y0)在圆上，所以所以x＋y＋2x0＋3＝6(2＋cos θ)＋4(2＋sin θ)－3＝6cos θ＋4sin θ＋17＝2sin (θ＋φ)＋17，其中tan φ＝，显然x＋y＋2x0＋3的最小值为17－2，故C不正确；对于D，由B可知x＋y－4x0－4y0＋6＝0，令x0＋y0＝t，则y0＝t－x0，代入x＋y－4x0－4y0＋6＝0中，化简，得2x－2tx0＋t2－4t＋6＝0，因为该方程有实根，所以Δ＝4t2－8(t2－4t＋6)≥0，解得2≤t≤6，所以x0＋y0的最大值为6，故D正确．故选BD.
9. x2＋y2－x＋y＋2＝0 设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0.将点(3，1)代入，得λ＝－，所以所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
10. (x＋1)2＋(y＋2)2＝5 如图所示(坐标系省略)，圆心N(－1，－1)为弦AB的中点，在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2，所以(a＋1)2＝－2(b＋2)，所以(a＋1)2＝－2(b＋2)≥0，所以b≤－2，所以圆M的半径r＝≥，所以当r＝时，b＝－2，a＝－1，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
11. 由题意，得圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示，要使AB的长度最小，则∠AOB最小，即∠POB最小，即PO最小，此时，由点到直线的距离公式得PO＝d＝＝3，则cos ∠POB＝cos ∠POA＝，所以cos ∠AOB＝cos (2∠POA)＝2cos2∠POA－1＝2×－1＝－.在△AOB中，由余弦定理，得cos∠AOB＝＝－，解得AB＝.故AB的最小值为.
12. (1) 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由△ABC的顶点分别为A(－2，3)，B(4，－5)，C(1，4)，
得解得
所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
(2) △ABC外接圆(x－1)2＋(y＋1)2＝25的圆心为M(1，－1)，半径R＝5.
因为PQ＝＝，
所以要使PQ最小，则只需PM最小．
当PM⊥l时，PM最小，
所以PMmin＝＝7，
所以PQmin＝＝2.
设点P(x，y)，则
得即点P.
13. (1) 因为直线l与圆C交于两点，
所以<1，解得(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝kx＋1代入方程(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
整理，得(1＋k2)x2＋4(1－k)x＋7＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，
解得k＝－1.
因为－1∈，
所以直线l的方程为y＝－x＋1，
所以圆心(－2，3)在直线l上，
所以AB是圆C的直径，且AB＝2.
因为M是圆C上的一动点(异于点A，B)，
所以点M到直线l的最大距离即为半径为1，
所以△MAB面积的最大值为×1×2＝1.
一、 单项选择题
1 已知P，Q分别为圆C：x2＋y2＝1与圆D：(x－7)2＋y2＝4上的一点，则PQ的最小值为( )
A. 4 B. 5
C. 7 D. 10
2 设P为直线y＝kx＋2上的任意一点，过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，则实数k的最大值为( )
A. B. 1
C. D.
3 若圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4与圆C2关于直线x＋y－3＝0对称，圆C3上任意一点M均满足MA2＋MO2＝10，其中A(0，2)，O为坐标原点，则圆C2和圆C3的公切线有( )
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
4 (2023东莞实验中学月考)已知线段AB的端点B的坐标为(4，3)，端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为( )
A. 4π B. π C. π D.
5 (2023沧州泊头一中月考)已知P是直线l：3x＋4y－2＝0上的一个动点，过点P作圆C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝12的两条切线PM，PN，其中M，N为切点，则∠MPN的最大值为( )
A. 120° B. 90°
C. 60° D. 150°
6 (2023南京期中)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝4和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在一点P，使得∠APB＝，则实数m的取值范围是( )
A. (0，) B. (2，)
C. D.
二、 多项选择题
7 (2023十堰普通高中联合体联考)下列说法中，正确的是( )
A. 若直线l：ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝相交，则点(a，b)在圆O的外部
B. 直线kx－y－3k＋1＝0被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最长弦长为2
C. 若圆x2＋y2＝r2上有4个不同的点到直线x－y－2＝0的距离为1，则r>＋1
D. 若过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝r2的切线只有一条，则切线方程为x＋y－4＝0
8 (2023吴忠青铜峡一中期中)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 圆C的半径为2
B. 的最大值为2＋
C. x＋y＋2x0＋3的最小值为16－
D. x0＋y0的最大值为6
三、 填空题
9 过圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是________________．
10 已知圆M：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则当圆M半径最小时，圆M的方程为________________________________________________________________________．
11 已知圆O：x2＋y2＝1，P是直线3x＋4y＋15＝0上的一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为________．
四、 解答题
12 已知△ABC的顶点分别为A(－2，3)，B(4，－5)，C(1，4).
(1) 求△ABC外接圆的方程；
(2) 直线l：3x－4y＋28＝0上有一动点P，过点P作△ABC外接圆的一条切线，切点为Q，求PQ的最小值，并求此时点P的坐标．
13 (2023东莞四校期中联考)已知直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1相交于不同的两点A，B.
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 设M是圆C上的一动点(异于点A，B)，O为坐标原点．若·＝12，求△MAB面积的最大值．
【答案解析】
2 圆的综合应用
1. A 圆C的圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1，圆D的圆心坐标为(7，0)，半径r2＝2，所以两圆的圆心距d＝7>r1＋r2，两圆外离，所以PQmin＝7－1－2＝4.
2. D 因为过点P总能作圆x2＋y2＝1的切线，所以点P在圆外或圆上，即直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相离或相切，则≥1，即k2＋1≤4，解得k∈[－，]，故k的最大值为.
3. C 圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C1(2，－1)，半径为2，设圆心C1(2，－1)关于直线x＋y－3＝0的对称点为C2(m，n)，则解得所以C2(4，1).由半径为2，可得圆C2的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝4.设M(x，y)，因为MA2＋MO2＝10，所以x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，所以圆C3的方程为x2＋(y－1)2＝4，则圆C2和圆C3的圆心距C2C3＝d＝4.因为d＝r2＋r3，所以两圆外切，所以两圆的公切线有3条．
4. C 设线段AB的中点为M(x，y)，A(x0，y0)，则则又因为点A在圆x2＋y2＝4上运动，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y－3)2＝4，整理，得(x－2)2＋＝1，所以点M的轨迹方程是圆心为，半径r＝1的圆，所以该圆的面积为S＝πr2＝π.
5. A 由题意知，PM＝PN，CM＝CN＝2，则sin ∠CPM＝＝，因为∠MPN＝2∠MPC，所以当∠MPN最大时，PC最小．又PCmin＝＝4，所以sin ∠CPM＝＝，所以∠CPM＝60°，即∠MPN的最大值为2×60°＝120°.
6. C 取D(0，3m)，则AD＝＝2m，同理可得BD＝2m，AB＝2m，所以∠ADB＝，所以满足条件的点P一定在△ABD的外接圆上．因为△ABD的外接圆半径为r＝＝＝2m，所以△ABD的外接圆圆心为M(0，m)，且MC＝.因为圆C上存在一点P，使得∠APB＝，所以圆C与圆M有公共点，所以|2m－2|≤MC≤|2m＋2|，即(2m－2)2≤(m－5)2＋27≤(2m＋2)2.又m>0，解得2≤m≤.
7. AD 对于A，由题意，得<，所以a2＋b2>4>，所以点(a，b)在圆O的外部，故A正确；对于B，因为直线kx－y－3k＋1＝0恒过定点(3，1)，且(3－2)2＋(1－2)2<4，所以点(3，1)在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B错误；对于C，因为圆心到直线的距离为＝>1，所以直线x－y－2＝0与圆相交，如图，直线l1，l2与直线l平行，且与直线l的距离为1，所以|r|>＋1，故C错误；对于D，过点P(1，)作圆O：x2＋y2＝r2的切线只有一条，则点P在圆O上，又kOP＝，所以切线的斜率为－＝－，所以切线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－4＝0，故D正确．故选AD.
8. BD 对于A，由x2＋y2－4x－4y＋6＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝2，所以该圆的半径为，故A不正确；对于B，因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的动点，所以x＋y－4x0－4y0＋6＝0.设＝k，则y0＝kx0，代入x＋y－4x0－4y0＋6＝0中，化简，得(1＋k2)x－4(1＋k)x0＋6＝0.因为该方程有实根，所以Δ＝[4(1＋k)]2－24(1＋k2)≥0，即k2－4k＋1≤0，解得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，故B正确；对于C，由B可知x＋y－4x0－4y0＋6＝0，则x＋y＋2x0＋3＝4x0＋4y0－6＋2x0＋3＝6x0＋4y0－3.由A可知(x－2)2＋(y－2)2＝2，则因为点P(x0，y0)在圆上，所以所以x＋y＋2x0＋3＝6(2＋cos θ)＋4(2＋sin θ)－3＝6cos θ＋4sin θ＋17＝2sin (θ＋φ)＋17，其中tan φ＝，显然x＋y＋2x0＋3的最小值为17－2，故C不正确；对于D，由B可知x＋y－4x0－4y0＋6＝0，令x0＋y0＝t，则y0＝t－x0，代入x＋y－4x0－4y0＋6＝0中，化简，得2x－2tx0＋t2－4t＋6＝0，因为该方程有实根，所以Δ＝4t2－8(t2－4t＋6)≥0，解得2≤t≤6，所以x0＋y0的最大值为6，故D正确．故选BD.
9. x2＋y2－x＋y＋2＝0 设所求圆的方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0.将点(3，1)代入，得λ＝－，所以所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
10. (x＋1)2＋(y＋2)2＝5 如图所示(坐标系省略)，圆心N(－1，－1)为弦AB的中点，在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2，所以(a＋1)2＝－2(b＋2)，所以(a＋1)2＝－2(b＋2)≥0，所以b≤－2，所以圆M的半径r＝≥，所以当r＝时，b＝－2，a＝－1，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
11. 由题意，得圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示，要使AB的长度最小，则∠AOB最小，即∠POB最小，即PO最小，此时，由点到直线的距离公式得PO＝d＝＝3，则cos ∠POB＝cos ∠POA＝，所以cos ∠AOB＝cos (2∠POA)＝2cos2∠POA－1＝2×－1＝－.在△AOB中，由余弦定理，得cos∠AOB＝＝－，解得AB＝.故AB的最小值为.
12. (1) 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由△ABC的顶点分别为A(－2，3)，B(4，－5)，C(1，4)，
得解得
所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
(2) △ABC外接圆(x－1)2＋(y＋1)2＝25的圆心为M(1，－1)，半径R＝5.
因为PQ＝＝，
所以要使PQ最小，则只需PM最小．
当PM⊥l时，PM最小，
所以PMmin＝＝7，
所以PQmin＝＝2.
设点P(x，y)，则
得即点P.
13. (1) 因为直线l与圆C交于两点，
所以<1，解得
将y＝kx＋1代入方程(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
整理，得(1＋k2)x2＋4(1－k)x＋7＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，
解得k＝－1.
因为－1∈，
所以直线l的方程为y＝－x＋1，
所以圆心(－2，3)在直线l上，
所以AB是圆C的直径，且AB＝2.
因为M是圆C上的一动点(异于点A，B)，
所以点M到直线l的最大距离即为半径为1，
所以△MAB面积的最大值为×1×2＝1.