第2章 圆与方程 复习 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第2章 圆与方程 复 习
一、 单项选择题
1 已知圆C：x2＋y2－8x－6y－10＝0，则下列关于圆C的说法中正确的是(　　)
A. 圆心坐标为(－4，－3)
B. 圆心坐标为(3，4)
C. 半径为
D. 半径为35
2 (2023合肥七中月考)已知直线l：4x－3y－2＝0与圆C：x2＋y2－4x＋6y－12＝0相交于A，B两点，则△ABC的周长为(　　)
A. 26 B. 18 C. 14 D. 13
3 (2023陕西名校协作体联考)已知点 A(0，1)，B(1，0)，动点C在圆x2＋y2＝2上，则·的最大值为(　　)
A. －1 B.
C. ＋1 D. 3
4 已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋3＝0，过原点的直线l与圆C相交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，直线l的方程为(　　)
A. y＝0或y＝x
B. y＝2x或y＝－
C. x＝0或y＝x
D. y＝x
5 (2023濮阳范县一中月考)设圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0(a≥0)的一条直径为AB，若在圆C2：x2＋y2－4y－21＝0上存在点P，使得·＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. [2，4] B. [2，4]
C. [3，4] D. [3，4]
6 (2023福州教学联合体期中)设P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9上的动点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos ∠APB的最大值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 已知直线l：ax－(2a－3)y－1＝0和圆C：x2＋y2－2x＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l始终过定点
B. 直线l与圆C恒有两个公共点
C. 圆心C到直线l的最大距离是
D. 当a＝2时，圆心C关于直线l的对称点为
8 (2023榆林五校联考)某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔. 施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区. 以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系. 经观测发现，在平台O的正南方向200 m的点P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则下列结论中正确的是(　　)
A. 观测点A，B之间的距离是280 m
B. 圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0
C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200
D. 小汽车不会进入安全预警区
三、 填空题
9 在平面直角坐标系中，经过三点(0，1)，(0，2)，(1，3)的圆的方程为_____
____________________．
10 已知P是直线3x＋4y－2＝0上的点，Q是圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的点，则PQ的最小值是________．
11 (2023贵州月考)已知直线l：ax－y＋3＝0是圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的对称轴，过点P(a，－2)作圆C的一条切线，切点为Q，则线段PQ的长为________．
四、 解答题
12 (2023广州四十七中期中)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝9.
(1) 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2) 求两圆的公切线方程．
13 (2023泰安期中)已知圆C与y轴相切，圆心在直线x＋y－1＝0上，且被x轴截得的弦长为2.
(1) 求圆C的方程；
(2) 已知直线l过点(1，－3)，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．
【答案解析】
第2章 圆与方程 复 习
1. C　圆C：x2＋y2－8x－6y－10＝0，即圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝35，表示以(4，3)为圆心，半径等于的圆．
2. B　由x2＋y2－4x＋6y－12＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝25，则圆心为C(2，－3)，半径r＝5，所以圆心C到直线l的距离d＝＝3，所以AB＝2＝8，所以△ABC的周长为2r＋AB＝18.
3. D　设C(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π.因为A(0，1)，B(1，0)，所以＝(1，－1)，＝(cos θ，sin θ－1)，所以·＝cos θ－sin θ＋1＝2sin ＋1≤3，当且仅当sin ＝1，即 θ＝时，等号成立，故·的最大值为3.
4. A　由题意，得圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝2，且△ABC为等腰三角形，所以AC＝BC＝，所以 S△ABC＝AC·BC·sin ∠ACB.当∠ACB＝90°时，△ABC的面积最大，此时圆心C到直线l的距离等于r＝1.设直线l的方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以直线l的方程为y＝0或y＝x.
5. B　将圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0化为标准方程(x－a)2＋y2＝1，则圆心为C1(a，0)，半径r1＝1.将圆C2：x2＋y2－4y－21＝0化为标准方程x2＋(y－2)2＝25，则圆心为C2(0，2)，半径r2＝5.因为AB为圆C1的直径，在圆C2上存在点P，使得·＝0，即PA⊥PB，所以圆C1与圆C2有交点，则|r1－r2|≤C1C2≤|r1＋r2|，即4≤≤6且a≥0，解得2≤a≤4，所以实数a的取值范围是[2，4].
6. B　如图，已知点P在圆O：x2＋y2＝1外，所以∠APB为锐角，由余弦函数单调性可知，当∠APB取得最小值时，cos ∠APB取得最大值．在Rt△POA中，sin ∠OPA＝＝，当OP最大时，sin ∠OPA取得最小值，由正弦函数单调性可知，此时∠OPA最小，即∠APB取得最小值．又OP的最大值为OC＋3＝＋3＝8，所以sin ∠OPA＝，所以cos ∠APB＝1－2sin2∠OPA＝1－2×＝，即cos∠APB的最大值为.
7. BCD　直线l：ax－(2a－3)y－1＝0整理为a(x－2y)＋3y－1＝0，则解得所以直线l始终过定点，故A不正确；对于圆C：x2＋y2－2x＝0，由于＋－2×＝－<0，则直线l过的定点在圆内，所以直线l与圆C恒有两个公共点，故B正确；圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为C(1，0)，由于直线l过定点P，所以圆心C到直线l的最大距离为CP＝＝，故C正确；当a＝2时，直线l为2x－y－1＝0.设圆心C关于直线l的对称点为(x0，y0)，所以解得则圆心C关于直线l的对称点为，故D正确．故选BCD.
8. BC　由题意，得A(40，40)，B(－240，0)，所以AB＝＝200，即观测点A，B之间的距离是200 m，故A错误；设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过O，A，B三点，所以解得所以圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0，故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，故C正确；圆C化成标准方程为(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，则圆心为C(－120，160)，半径r＝200，所以圆心C到直线y＝－x－200的距离d＝＝1209. x2＋y2－3x－3y＋2＝0　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆经过三点(0，1)，(0，2)，(1，3)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－3x－3y＋2＝0.
10. 　圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为(－1，－1)，半径为1，则圆心到直线3x＋4y－2＝0的距离为 d＝＝，所以PQ的最小值为－1＝.
11. 　由x2＋y2＋2x－4y－4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1，2)，半径为3.因为直线l：ax－y＋3＝0是圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的对称轴，所以直线l经过点(－1，2)，则－a－2＋3＝0，解得a＝1，所以点P的坐标为(1，－2).因为圆C的半径为3，所以PQ＝＝.
12. (1) 由题意，得圆O的圆心为(0，0)，半径为1，圆M 的圆心为(2，1)，半径为3.
两圆方程相减可得公共弦所在直线l：4x＋2y＋3＝0，
所以点O到直线l的距离d＝＝，
所以公共弦长为AB＝2×＝，
故两圆公共弦所在直线的方程为4x＋2y＋3＝0，公共弦长为.
(2) 因为圆O的圆心为(0，0)，半径为1，圆M的圆心为(2，1)，半径为3，
由图象可知，有一条公切线的方程为x＝－1.
因为直线OM：y＝x与x＝－1的交点为，
所以设另一条公切线的方程为y＋＝k(x＋1)，
即kx－y＋k－＝0，
则点M(2，1)到此公切线的距离d′＝＝3，解得k＝－，
所以另一条公切线的方程为y＝－x－，
即3x＋4y＋5＝0.
综上，两圆的公切线方程为x＝－1和3x＋4y＋5＝0.
13. (1) 设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
因为圆心C在直线x＋y－1＝0上，
所以a＋b－1＝0.①
因为圆C与y轴相切，
所以r＝|a|.②
又因为圆C被x轴截得的弦长为2，
所以b2＋3＝r2.③
联立①②③，解得a＝2，b＝－1，r＝2，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
(2) 因为圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，
所以圆心C到直线l的距离d＝r－1＝1.
当直线的l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
圆心C(2，－1)到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋3＝k(x－1)，
即kx－y－k－3＝0，
则圆心C到直线l的距离d＝＝＝1，
解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y－15＝0.
综上，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y－15＝0.