2023-2024学年北师大版七年级（下）期末数学模拟试卷1（含解析）

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2023-2024学年北师大版七年级（下）期末数学模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
（π﹣2013）0的计算结果是( )
A．π﹣2013 B．2013﹣π C．0 D．1
如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（ ）
A．
一个三角形两边长分别为4cm和6cm，第三边长可能为（　　）
A．2cm B．4cm C．10cm D．12cm
函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．﹣1≤x＜1
在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
下列运算中，正确的是( )
A．4a 3a=12a B．a a2=a3 C．（3a2）3=9a6 D．（ab2）2=ab4
某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线．若，则．请完成下面的说理过程．解：已知，根据（内错角相等，两直线平行），得．再根据（ ※ ），得．
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（　　）
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA．OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（　　）
A．15° B．25° C．30° D．10°
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是______________
函数中，自变量的取值范围是 ．
事件“某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖”是　　　　　　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．
如图，△ABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，则∠ADB+∠BEC+∠CFA=
．
如 图 ， 直 线 l∥m， 点 A 在 直 线 l 上 ， 点 c 在 直 线 m 上 ， 且 有 AB⊥BC，∠1=40°，则∠2=_____度．
如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为　 　°．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：
（1）（a﹣b）2+b（2a+b）；
（2）[（2x﹣y）（y﹣4x）+（3x+y）2]+x．
某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格木棒最省钱？
如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为α．
（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是　 　，
（2）当α＝108°时，求成绩是60分的人数，
（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．
如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），
（2）求证：AD＝AE．
问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，∴PE∥CD．（ ）
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
∵∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，∴∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A．B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A．B两点外侧运动时（点P与点A．B、O三点不重合），请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
答案解析
1 、选择题
【考点】零指数幂．
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）进而得出答案．
解：（π﹣2013）0=1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了零指数幂：a0=1（a≠0），正确根据定义得出是解题关键．
【考点】垂线段最短
【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．
解：根据点是直线外一点，，垂足为点，
是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点与点重合时有，
综上所述：，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围．
解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系可得：6﹣4＜a＜6+4，
即：2＜a＜10，
比对选项，只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解：根据题意得到：，
解得x≥﹣1且x≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形，
故选D．
【点评】考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
【考点】概率公式．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数偶数，
故其概率是＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是概率的求法的运用．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率PA．＝．
【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据单项式乘单项式，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据积的乘方，可判断C、D．
解：A．系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确；
C、3得利方是27，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式的乘法：系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．
【考点】平行线的性质
【分析】首先准确分析题目，已知，结论是，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．
解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3．
解：∵∠B=90°，∠1=30°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣30°=60°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠2=∠3=60°．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA．OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知作一个角等于一直角的步骤是解答此题的关键．　
【考点】三角形的外角性质．
【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
1 、填空题
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】根据题意直接用5×10﹣5cm与2×103相乘即可．
解：5×10﹣5×2×103=10×10﹣2=0.1．
故答案为：0.1．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．牢记法则是关键．
【考点】
【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件求解.
解：根据题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为x＞2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【考点】随机事件．
【分析】利用事件的概率是指事件在特定条件下发生的可能性的大小即可作出判断
解：事件“某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖”是随机事件．
故答案为：随机．
【点评】本题考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．
【考点】 轴对称的性质．
【分析】 连接AP，BP，CP后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合及周角的定义可知答案．
解：连接AP，BP，CP，
∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点
∴∠ADB=∠APB，∠BEC=∠BPC，∠CFA=∠APC，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°．
故答案为：360°．
【点评】 本题考查轴对称的性质，根据题意作出辅助线得到三对角相等是正确解答本题的关键．
【考点】平行线的性质，垂线
【分析】过点B作BD∥l，则BD∥m，再根据两直线平行，内错角相等即可解答．
解：过点B作BD∥l，则BD∥m，
∴∠ABD=∠1=40°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=50°，
∴∠2=∠CBD=50°．
故答案为：50．
【点评】考查了平行线的性质，垂线，注意此类题中常见的辅助线，能够根据平行线的性质证明要求的角和已知角之间的关系．
【考点】平行线的性质，三角形外角性质
【分析】依据DE∥AF，可得∠BED=∠BFA，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFA=20°+60°=80°，进而得出∠BED=80°．
解：如图所示，∵DE∥AF，
∴∠BED=∠BFA，
又∵∠CAF=20°，∠C=60°，
∴∠BFA=20°+60°=80°，
∴∠BED=80°，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
1 、解答题
【考点】整式的混合运算．
【分析】（1）根据整式的混合运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．
（2）根据整式的混合运算顺序，首先计算中括号里面的乘方和乘法，再计算加法，求出中括号里面的算式的值是多少；然后用所得的结果加上x，求出算式[（2x﹣y）（y﹣4x）+（3x+y）2]+x的值是多少即可．
解：（1）（a﹣b）2+b（2a+b）
=a2+b2﹣2ab+2ab+b2
=a2+2b2
（2）[（2x﹣y）（y﹣4x）+（3x+y）2]+x
=[2xy﹣y2﹣8x2+4xy+9x2+6xy+y2]+x
=[x2+12xy]+x
=x2+12xy+x
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
【考点】二元一次方程组的应用，函数关系式．
【分析】（1）根据题意列方程组，并求解．
（2）根据（1）的结论，列函数关系式
解：（1）A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
根据题意得：．
解得：，
答：A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元．
（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，
∴w＝（150﹣100）m+（80﹣60）（80﹣m）
＝30m+1600．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，及列函数表达式，因此审题列方程组是解题的关键．
【考点】三角形三边关系
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
解：（1）设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5+3，
解得2＜x＜8，
x＝3，4，5，6共4种，
∴有4种规格木棒可供小明的爷爷选择；
（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据网格可以看出三角形的底AB是5，高是C到AB的距离，是3，利用面积公式计算．
（2）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．
（3）从图中读出新三角形三点的坐标．
解：（1）S△ABC=×5×3=（或7.5）（平方单位）．
（2）如图．
（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．
【点评】 本题综合考查了三角形的面积，网格，轴对称图形，及直角坐标系，学生对所学的知识要会灵活运用．
【考点】扇形统计图，众数，概率公式
【分析】（1）求出低于80分的征文数量，再根据概率公式计算可得，
（2）当α＝108°时，成绩是70分的人数为10人，据此求解可得，
（3）根据题意得出各组人数进而求出平均数．
解：（1）低于80分的征文数量为20×（1﹣30%﹣20%﹣10%）＝8，
则抽到试卷的分数为低于80分的概率是＝，
故答案为：．
（2）当α＝108°时，成绩是70分的人数为20×＝6人，
则成绩是60分的人数20﹣6﹣20×（10%+20%+30%）＝2（人），
（3）∵80分的人数为：20×30%＝6（人），且80分为成绩的唯一众数，
所以当70分的人数为5人时，这个班的平均数最大，
∴最大值为：（20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70+3×60）÷20＝78.5（分）．
【点评】此题主要考查了概率公式以及扇形统计图的应用，正确获取信息得出各组人数是解题关键．
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，
∴，
∴．
（2）∵
∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，
∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，
故=80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，∴PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
∵∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，
∴∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：
过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，如图5所示：
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．
综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
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