2023-2024学年北师大版七年级（下）期末数学模拟试卷3（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年北师大版七年级（下）期末数学模拟试卷3
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列四种图形中，对称轴条数最多的是（　　）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
下列计算结果正确的是（　　）
A．a3 a3＝2a3 B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（　　）
A．145° B．150° C．155° D．160°
已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6
如图，一个函数的图象由射线BA．线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（　　）
A．当x＜1时，y随x的增大而增大 B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．当x＞1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（　　）
A．120° B．130° C．140° D．40°
如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形（），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
1 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
函数中，自变量x的取值范围是___________．
将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
计算：
a2 a3=　　．
a3b÷2a2=　　．
一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率：　 　．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是　 　．
一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
1 、解答题（本大题共8小题，共78分）
如图，AB=AD，∠C=∠E，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．
请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m，
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互补，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且BE∥DF，判断AD与AB的位置关系，并说明理由．
如图为一位旅行者在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：时）的变量关系的图象．根据图象回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是　　　　　　，因变量是　　　　　　．
（2）9时，10时，12时所走的路程分别是多少？
（3）他休息了多长时间？
（4）他从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是多少？
如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BE=CF．
新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值）
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高 简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
答案解析
1 、选择题
【考点】轴对称图形，轴对称的性质．
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
解：A．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，
B．圆是轴对称图形，有无数条条对称轴，
C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴，
D．正方形是轴对称图形，有4条对称轴，
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选：B．
【点评】此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的意义及对称轴的描述．
【考点】同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同类项、合并同类项法则以及同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
解：A．a3 a3＝a3+3＝a6，因此选项A不符合题意，
B．8a2﹣5a2＝3a2，因此选项B符合题意，
C．a8÷a2＝a8﹣2＝a6，因此选项C不符合题意，
D．（﹣3a2）3＝﹣27a6，因此选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．
解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．　
【考点】等腰三角形的性质．三角形的内角和定理
【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
解：如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50°；
②当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
【考点】作图—基本作图
【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
解：第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
【考点】随机事件，可能性的大小
【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．
解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，
选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；
选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；
选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；
选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．
【考点】函数的图象
【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．
解：由函数图象可得，
当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误，
当1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．
解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3=∠5，
∵∠3=40°，
∴∠5=40°，
∴∠4=180°﹣40°=140°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【考点】整式的混合运算
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解：该平行四边形的面积=边长为的正方形的面积 边长为的小正方形的面积，
即平行四边形的面积=
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式和整式的混合运算，根据拼接前后的图形的面积相等进行列式是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．
【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAA），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°，故此选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
1 、填空题
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式的性质以及分式的意义，分别得出关于的关系式，然后进一步加以计算求解即可.
解：根据二次根式的性质以及分式的意义可得：，且，
∴且，
故答案为：且．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与分式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
【考点】平行线的判定
【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
解：一副三角板如图摆放，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
【考点】整式的除法；同底数幂的乘法．
【分析】①同底数幂相除，底数不变为a，指数相加：2+3=5；②系数：1÷2= ，相同字母：a3÷a2=a，还有b；最后写出结果．
解：①a2 a3=a5，②a3b÷2a2=ab；
故答案为：a5， ab．
【点评】本题考查了整式的除法和同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变指数相减；两单项式相除，先把系数相除，字母按同底数幂相除法则计算，对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
【考点】概率公式
【分析】根据题意可知正六面体的骰子六个面三个奇数、三个偶数，从而可以求得相应的概率．
解：个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
【考点】作图﹣基本作图，平分线的性质
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD= AC DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
【考点】平行线的性质，三角形的外角的性质
【分析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．
解：如图，把顶点标注字母，
故答案为：
【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
1 、解答题
【考点】全等三角形的判定．
【分析】先证出∠BAC=∠DAE，再由AAS证明△ABC≌△ADE即可．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
【考点】平行线的判定，线段垂直平分线的性质，作图﹣轴对称变换
【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
解：（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
【点评】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．
【考点】，角平分线的定义，平行线的性质，互补
【分析】结合题意和图形可猜想，可在中通过证明两角互余来求得，通过“∠ABC与∠ADC互补，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC”，很容易想到两角各取一半得到，再根据平行线的性质进行角的等量代换即可解决.
解：，
理由是：∵与互补，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
【点评】本题综合考查了两角互补，角平分线和平行线的性质等知识，在掌握各知识点的前提下，从问题出发倒推解决比较方便.
【考点】函数的图象．
【分析】（1）根据自变量是横轴表示的量，因变量是纵轴表示的量，解答即可．
（2）由图象看相对应的y值即可．
（3）由图象可知，休息时，时间在增多，路程没有变化，表现在函数图象上是与x轴平行的线段．
（4）根据这段时间的平均速度=这段时间的总路程÷这段时间，算出即可．
解：（1）由图象可得，时间是自变量，路程是因变量；
故答案为：时间；路程；
（2）由图可知：9时，10时，12时所走的路程分别是9km，9km，15km；
（3）根据图象可得，该旅行者休息的时间为：10﹣9=1小时；
（4）根据图象得：（15﹣9）÷（12﹣10）=3km/h．
【点评】本题主要考查了分段函数的图象，正确理解函数的图象所表示的意义，能够通过图象得到函数自变量和因变量的变化关系；注意休息时表现在函数图象上是与x轴平行的线段．
【点评】全等三角形的判定与性质．
【分析】 （1）欲证两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．
证明：（1）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC﹣CE=EF﹣CE，
即BE=CF．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
【考点】概率公式
【分析】（1）根据直播和录播的参与度的人数即可判断；
（2）根据学生的参与度在0.8及以上的人数除以总人数即可求解；
（3）先求出“录播”和“直播”的学生人数，再分别乘以其所占百分比即可求解．
解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由如下：
∵直播参与度为“0.6-0.8”、“0.8-1”的人数均大于录播参与度的人数，
故“直播”教学方式学生的参与度更高；
（2）P（参与度在0.8及以上）=；
（3）该校共有800名学生，
∴选择“录播”的人数为800×=200（人）
选择“直播”的人数为800×=600（人）
∴故参与度在0.4以下的共有200×+600×=20+30=50（人）．
【点评】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式的应用．
【考点】作图-基本作图，全等三角形的判定和性质
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点评】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
【考点】新定义，完全平方数
【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数n的个位数字和十位数字，进而表示出n，即可得出结论；
（2）先确定出四位数m，进而得出D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论．
解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，
任意一个“极数”都是99的倍数，
理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），
∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），
∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，
∴100﹣10y﹣x是整数，
∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，
即：任意一个“极数”都是99的倍数；
（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴m=99（100﹣10y﹣x），
∴D（m）==3（100﹣10y﹣x），
而m是四位数，
∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
【点评】此题主要考查了完全平方数，新定义的理解和掌握，整除问题，掌握新定义和熟记300以内的完全平方数是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)