初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 5.2探索轴对称的性质）
一、选择题
1．（2023七下·婺城期末）将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠可得，，
∵∠1=50°，
∴∠3=65°，
因为AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=115°；
故答案为：D.
【分析】由折叠可得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数.
2．（2023七下·芝罘期末）如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，
在线段AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，则AD是FG的垂直平分线，
连接EG，则EG＝EF，∴BE+EF＝BE+EG。
当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。
由勾股定理可得AD＝
∵＝×BC×AD＝×AC×BG
∴×6×4＝×5×BG
∴BG＝4.8
∴BE+EF的最小值是4.8。
故答案为：B
【分析】在AC上取点G，使AG＝AF，当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。运用三角形面积公式列方程求解即可。
3．（2023七下·沙坪坝期末）如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图所示，折叠还原，四边形DAEF与DAE'F'全等，四边形CBHG与CBH'G'全等，
则有∠ADF=∠ADF'，∠GCB=∠G'CB，
∴ ∠G'CG=2∠GCB
∵ ∠DAB=2∠GCB
∴ ∠G'CG=∠DAB
∵ AB∥CD
∴ ∠ADF'=∠DAB
∵ DF∥CG
∴ ∠G'CG=∠CDF
∴ ∠ADF=∠CDF=∠ADF'=60°
故答案是C.
【分析】考查折叠性质，折叠前后的图形全等，根据全等性质，可得对应线段相等，对应角相等。利用平行线性质，得到内错角，同位角的数量关系，结合题目已知，求解。
4．（2019七下·汝州期末）如图（1）是长方形纸片， ，将纸片沿AC折叠成图（2），再沿EC折叠成图（3），则图（3）中 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图(1)，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=m°，
∴∠DCA=90°-m°，
如图(2)，∠DCE=90°-2m°，
如图(3)，∠ACD=90°-3m°，
故答案为：D.
【分析】证明∠ACB=∠DAC=m°，∠DCA=90°-m°，进而证明∠DCE=90° -2m°，即可解决问题.
5．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．
∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，
∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，
∵ ×AC×BN″=15，AC=6，
∴BN″=5，
∴BM+MN的最小值为5，
故选B．
【分析】如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．因为BM+MN=BM+MN′≤BN″，所以当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，求出BN″即可解决问题．
6．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1．M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C． + D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点D，作DM⊥AB于点M，交于AC于点N，
则此时BM+MN的最小值，且MM+MN=DM，
∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=2，AB= ，
∵BD⊥AC，
∴BD=2× ×1= ，
∵∠D=∠A=30°，
∴DM= BD= ，
∴MN+NB的最小值为 ．
故选A．
【分析】作B关于AC的对称点D，作DM⊥AB于点M，交于AC于点N，则此时BM+MN的最小值，且MM+MN=DM，解直角三角形即可得到结论．
7．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD=2 ，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD= ，
在Rt△B′BG中，
BG= =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD= ．
故BE+ED的最小值为 ．
故选B．
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．
8．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，且AD= ，E、F、G分别为边BC、CA、AB上的点，则△EFG周长的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在BC上任取一点E，连接AE，
把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，
∵∠BAC=60°，
∴∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，
连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，
∵GE=E′G，EF=E″F，
∴△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″= AE，
∵根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，
∴当点E与点D重合时，AE最小，
∴△DEF的周长的最小值= × =3．
故选C．
【分析】在BC上任取一点E，连接AE，把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，由∠BAC=60°，推出∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，由GE=E′G，EF=E″F，因为△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″= AE，根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，所以当点E与点D重合时，AE最小，
9．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，在锐角三角形ABC中AB= ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE，
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，
∵AB=4 ，∠BAC=45°，此时△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=4，即BE取最小值为4，
∴BM+MN的最小值是4．
故选A．
【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
10．学习了“平行线”后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：
从图中可知，张明画平行线的依据有（ ）
（1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等；
（3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
【答案】D
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合图形的特征、折叠的性质求解即可.
【解答】如图
由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知张明画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行
故选D.
二、填空题
11．如图1是一张长方形纸带，∠DEF=20°，若将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数为 °.
【答案】120
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF=20°，
∴∠EFC=180°-∠DEF=160°，∠BFE=∠DEF=20°，
∴图2中，∠GFC=∠EFC-∠BFE=160°-20°=140°，
由翻折性质可得图3中∠CFE=∠CFG-∠BFE=120°.
故答案为：120.
【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得∠EFC=180°-∠DEF=160°，由两直线平行，内错角相等得∠BFE=∠DEF=20°，进而根据折叠的性质，由图2中，∠GFC=∠EFC-∠BFE，图3中∠CFE=∠CFG-∠BFE，代入计算可得答案.
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，已知∠DBC=20°，当∠BAF= 度时，才能使AB'∥BD．
【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠DBC=20°（同角的余角相等），
∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B'处，
∴∠BAF=∠B'AF，
∵要使AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，
∴∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，
∴∠BAF=∠B'AF=∠BAB'=55°.
故答案为：55.
【分析】由矩形的性质及同角的余角相等得∠ADB=∠DBC=20°，根据折叠的性质得到∠BAF=∠B'AF，要AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，从而得到∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，即可求出∠BAF.
13．（2023七下·河源期末）如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，
∵ ，
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠B=144°，
在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，
由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，
∴∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，
∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE'+∠QDF'）=144°-36°=108°；
故答案为：108°.
【分析】分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，利用四边形内角和求出∠ADC=144°，再利用三角形内角和求出∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，即得∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，再利用角的和差即可求解.
14．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
15．（2023七下·固始期末）如图，在三角形ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C′D平行于三角形ABC的边时，∠CDB的大小为 ．
【答案】118°或67°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，当C'D∥AB时，
图1 图2
∵ ∠A＝56°，∠C＝46° ，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=78°，
由折叠知：∠C'=∠C=46°，∠CBD=∠C'BD，
∵C'D∥AB，
∴∠ABC'=∠C'=46°，
∴∠C'BC=78°-46°=32°，
∴∠CBD=∠C'BD=16°，
∴ ∠CDB=180°-∠C-∠CBD=180°-46° -16°=118°；
②如图2，当C'D∥CB时，
∴∠ADC'=∠C=46°，
由折叠知：∠CDB=∠C'DB=（180°-∠ADC'）=67°，
∴∠CDB的度数为118°或67°；
故答案为：118°或67°.
【分析】分两种情况：①当C'D∥AB时，②当C'D∥CB时，根据平行线的性质及折叠的性质分别求解即可.
三、作图题
16．（2023七下·江岸期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形中任意一点经过平移变换后对应点，将三角形作同样的平移变换得到三角形．（点、、的对应点分别是点、、）
（1）画出平移后的三角形；
（2）连接，，则 ；
（3）为轴上一动点，当最小时，画出点并直接写点的坐标 ▲ ．
【答案】（1）解：平移后的对应点，
点P的平移方式为：横坐标向右平移5个单位长度，纵坐标向上平移3个单位长度，
由直角坐标系可知，、、，
三角形作同样的平移变换得到三角形，
、、，
即为所求；
（2）360°
（3）解：连接、，
由两点间线段最短可知，与轴交点即为点Q；．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）如图
由平移的性质可得：AA1∥CC1，
∴∠CAA1+∠ACC1=180°，
∴∠A1AB+∠ABC+∠BCC1
=（∠CAA1+∠ACC1）+（∠CAB+∠ABC+∠BCA）
=360°，
故答案为：360°；
（3） 设直线BC1函数表达式为y=kx+b，
∵B（-4，-1），C1（7，3），
∴，解得
∴直线BC1函数表达式为，
取y=0，得，解得，
∴．
【分析】（1）根据平移后的对应点，确定平移的方向和距离，再将A、B、C三点分别平移
到 A1， B1， C1，再顺次连接即可；
（2）利用三角形的内角和定理和平行线的性质求解；
（3）依据两点之间线段最短，可知当点Q在BC1与x轴交点BQ+C1Q时最小，先求出BC1的函数表达式，再求得它与x轴的交点即可.
四、解答题
17．（2023七下·于洪期末）在中，，，过点作使点，，按顺时针的顺序排列，过点作直线直线，垂足为点，直线交直线于点，连接．
（1）如图，若，的边都在的内部，作点关于的对称点．
▲ ， ▲ ；填“”“”或“”
求证：．
（2）如图，若，的边都在的外部，当，，的面积为时，请直接写出的长；
（3）若，有一条边在的内部，请直接写出线段，，之间的等量关系．
【答案】（1）；=；
解：证明：点和点关于对称，
，
由得：，
；
（2）解：如图，
作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
可设，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
，
同理得：≌，
，
，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
同理可得：≌，
，
综上所述：．
【知识点】轴对称的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）连接AC ，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAE+∠BAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°；
∵点C和点C 关于直线AE成轴对称，
∴AC=AC ，∠CAM=∠C AM，
∴∠C AM+∠BAF=45°，
∵AB=AC，∴AB=AC ，
∵∠C AM+∠C AN=45°，∴∠BAF+∠C AN=45°，
∴△BAN≌△C AN（SAS），
BN=C N；
故答案为：第一空：45°；第二空：=
【分析】（1）连接AC ，由角的构成和轴对称的性质可得∠CAE+∠BAF=45°；结合已知用边角边可证△BAN≌△C AN，于是可得BN=C N；
（2）作点C关于AE的对称点D，连接AD，由题意用边角边可证△ADN≌△BAN，于是DN=BN=CM+MN，结合已知可设BN=11k，MN=4k，根据三角形ACN的面积可求得CN的值，然后根据CM=CN+MN=6+4k=BNB可得关于k的方程，解方程求出k的值，则CM的值可求解；
（3）由题意分两种情况：
当AF在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，结合（2）的结论可得：BN=MN+CM；
当AE在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，同理可求解.
五、实践探究题
18．（2023七下·南山期末）
（1）【初步感知】
如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE.
求证：
（2）【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为： ▲ ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ▲ .
（3）【拓展应用】
如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边DPE，连接CE、BE.
请问：PE+BE是否有最小值 若有，请直接写出其最小值：若没有，请说明理由.
【答案】（1）证明：和是等边三角形
即
在和中
；
（2）解：① AB与CE的位置关系是平行，理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形
即
在和中
；
；
②线段EC、AC、CD之间的数量关系为EC=AC+CD，理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
又∵AC=BC，
；
（3）解： PE+BE有最小值，理由如下：
在CD上截取DM=PC，连接EM.
∵△ABC与△PDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠PED=60°，AE=DE，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠PED+∠PCD=180°，
∴∠EPC+∠CDE=180°，
∵∠CDE+∠EDM=180°，
∴∠EDM=∠EPC，
在△EPC与△EDM中，
∵PC=DM，∠EPC=∠EDM，PC=DM，
∴，
∴EC=EM，∠DEM=∠PEC，
∴∠DEM+∠CED=∠PEC+∠CED，
即
是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
即点E在∠ACD角平分线上运动，
作点P关于CE对称点P'，连接BP'与CE交于点C，此时点E与点C重合，
∴，
最小值为5.
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，根据等量减去等量差相等得∠BAD=∠CAE，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE；
（2）① AB与CE的位置关系是平行，理由如下：易得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，根据等量加上等量和相等得∠BAD=∠CAE，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠ACE=60°，则∠BAC=∠ACE=60°，进而根据内错角相等，两直线平行，得AB∥CE；
②线段EC、AC、CD之间的数量关系为EC=AC+CD，理由如下： 由全等三角形的对应边相等得CE=BD，进而根据等量代换及线段的和差即可得出结论；
（3） PE+BE有最小值，理由如下： 在CD上截取DM=PC，连接EM，由等边三角形的性质得∠ACB=∠PED=60°，AE=DE，利用邻补角及等量代换可得∠PED+∠PCD=180°，进而根据四边形的内角和定理得∠EPC+∠CDE=180°，再由同角的补角相等得∠EDM=∠EPC，从而用SAS判断出△EPC≌△EDM，由全等三角形的性质得EC=EM，∠DEM=∠PEC，由等式的性质可推出∠CEM=60°，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△CEM是等边三角形，得∠ECD=60°，从而可得点E在∠ACD角平分线上运动，作点P关于CE对称点P'，连接BP'与CE交于点C，此时点E与点C重合，进而根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得PE+BE的最小值为5.
19．（2021七下·顺德期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求．
（2）解：如图2中，点P′即为所求．
（3）解：如图3中，过点C作CT⊥AB于T．
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，
∵PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，
∴当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长，
∵S△ABC＝ AB CT＝ BC AD，
∴CT＝ ，
∴PE＋PC的值最小值= ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小；
（2）如图2中，连接BE交AD于点P'，连接CP'，点P'即为所求；
（3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T，证明AC，AB关于AD对称，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长。
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 5.2探索轴对称的性质）
一、选择题
1．（2023七下·婺城期末）将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则（ ）
A．130° B．125° C．120° D．115°
2．（2023七下·芝罘期末）如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
3．（2023七下·沙坪坝期末）如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，，若，，则等于( )
A． B． C． D．
4．（2019七下·汝州期末）如图（1）是长方形纸片， ，将纸片沿AC折叠成图（2），再沿EC折叠成图（3），则图（3）中 为（ ）
A． B． C． D．
5．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1．M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C． + D．
7．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，且AD= ，E、F、G分别为边BC、CA、AB上的点，则△EFG周长的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
9．（轴对称-最短路线问题+++++++ ）如图，在锐角三角形ABC中AB= ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
10．学习了“平行线”后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的(如图①～④)：
从图中可知，张明画平行线的依据有（ ）
（1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等；
（3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）
二、填空题
11．如图1是一张长方形纸带，∠DEF=20°，若将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数为 °.
12．如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，已知∠DBC=20°，当∠BAF= 度时，才能使AB'∥BD．
13．（2023七下·河源期末）如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ．
14．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
15．（2023七下·固始期末）如图，在三角形ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上的一个动点，连接BD，把三角形BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C′D平行于三角形ABC的边时，∠CDB的大小为 ．
三、作图题
16．（2023七下·江岸期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形中任意一点经过平移变换后对应点，将三角形作同样的平移变换得到三角形．（点、、的对应点分别是点、、）
（1）画出平移后的三角形；
（2）连接，，则 ；
（3）为轴上一动点，当最小时，画出点并直接写点的坐标 ▲ ．
四、解答题
17．（2023七下·于洪期末）在中，，，过点作使点，，按顺时针的顺序排列，过点作直线直线，垂足为点，直线交直线于点，连接．
（1）如图，若，的边都在的内部，作点关于的对称点．
▲ ， ▲ ；填“”“”或“”
求证：．
（2）如图，若，的边都在的外部，当，，的面积为时，请直接写出的长；
（3）若，有一条边在的内部，请直接写出线段，，之间的等量关系．
五、实践探究题
18．（2023七下·南山期末）
（1）【初步感知】
如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE.
求证：
（2）【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为： ▲ ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ▲ .
（3）【拓展应用】
如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边DPE，连接CE、BE.
请问：PE+BE是否有最小值 若有，请直接写出其最小值：若没有，请说明理由.
19．（2021七下·顺德期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠可得，，
∵∠1=50°，
∴∠3=65°，
因为AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=115°；
故答案为：D.
【分析】由折叠可得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数.
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，
在线段AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，则AD是FG的垂直平分线，
连接EG，则EG＝EF，∴BE+EF＝BE+EG。
当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。
由勾股定理可得AD＝
∵＝×BC×AD＝×AC×BG
∴×6×4＝×5×BG
∴BG＝4.8
∴BE+EF的最小值是4.8。
故答案为：B
【分析】在AC上取点G，使AG＝AF，当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。运用三角形面积公式列方程求解即可。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图所示，折叠还原，四边形DAEF与DAE'F'全等，四边形CBHG与CBH'G'全等，
则有∠ADF=∠ADF'，∠GCB=∠G'CB，
∴ ∠G'CG=2∠GCB
∵ ∠DAB=2∠GCB
∴ ∠G'CG=∠DAB
∵ AB∥CD
∴ ∠ADF'=∠DAB
∵ DF∥CG
∴ ∠G'CG=∠CDF
∴ ∠ADF=∠CDF=∠ADF'=60°
故答案是C.
【分析】考查折叠性质，折叠前后的图形全等，根据全等性质，可得对应线段相等，对应角相等。利用平行线性质，得到内错角，同位角的数量关系，结合题目已知，求解。
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图(1)，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=m°，
∴∠DCA=90°-m°，
如图(2)，∠DCE=90°-2m°，
如图(3)，∠ACD=90°-3m°，
故答案为：D.
【分析】证明∠ACB=∠DAC=m°，∠DCA=90°-m°，进而证明∠DCE=90° -2m°，即可解决问题.
5．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．
∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，
∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，
∵ ×AC×BN″=15，AC=6，
∴BN″=5，
∴BM+MN的最小值为5，
故选B．
【分析】如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．因为BM+MN=BM+MN′≤BN″，所以当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，求出BN″即可解决问题．
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点D，作DM⊥AB于点M，交于AC于点N，
则此时BM+MN的最小值，且MM+MN=DM，
∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=2，AB= ，
∵BD⊥AC，
∴BD=2× ×1= ，
∵∠D=∠A=30°，
∴DM= BD= ，
∴MN+NB的最小值为 ．
故选A．
【分析】作B关于AC的对称点D，作DM⊥AB于点M，交于AC于点N，则此时BM+MN的最小值，且MM+MN=DM，解直角三角形即可得到结论．
7．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD=2 ，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD= ，
在Rt△B′BG中，
BG= =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，BD= ．
故BE+ED的最小值为 ．
故选B．
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．
8．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在BC上任取一点E，连接AE，
把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，
∵∠BAC=60°，
∴∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，
连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，
∵GE=E′G，EF=E″F，
∴△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″= AE，
∵根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，
∴当点E与点D重合时，AE最小，
∴△DEF的周长的最小值= × =3．
故选C．
【分析】在BC上任取一点E，连接AE，把△ABE沿AB翻折得△ABE′，把△ACE沿AC翻折得△ACE″，由∠BAC=60°，推出∠E′AE″=120°，AE=AE′=AE″，连接E′E″交AB、AC于G、F．连接GE，EF，由GE=E′G，EF=E″F，因为△GEF的周长=GE+GF+EF=E′G+GF+E″F=E′E″= AE，根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，所以当点E与点D重合时，AE最小，
9．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE，
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，
∵AB=4 ，∠BAC=45°，此时△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=4，即BE取最小值为4，
∴BM+MN的最小值是4．
故选A．
【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合图形的特征、折叠的性质求解即可.
【解答】如图
由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；
可知张明画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行
故选D.
11．【答案】120
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF=20°，
∴∠EFC=180°-∠DEF=160°，∠BFE=∠DEF=20°，
∴图2中，∠GFC=∠EFC-∠BFE=160°-20°=140°，
由翻折性质可得图3中∠CFE=∠CFG-∠BFE=120°.
故答案为：120.
【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得∠EFC=180°-∠DEF=160°，由两直线平行，内错角相等得∠BFE=∠DEF=20°，进而根据折叠的性质，由图2中，∠GFC=∠EFC-∠BFE，图3中∠CFE=∠CFG-∠BFE，代入计算可得答案.
12．【答案】55
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠DBC=20°（同角的余角相等），
∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B'处，
∴∠BAF=∠B'AF，
∵要使AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，
∴∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，
∴∠BAF=∠B'AF=∠BAB'=55°.
故答案为：55.
【分析】由矩形的性质及同角的余角相等得∠ADB=∠DBC=20°，根据折叠的性质得到∠BAF=∠B'AF，要AB'∥BD，则要有∠B'AD=∠ADB=20°，从而得到∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=110°，即可求出∠BAF.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，
∵ ，
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠B=144°，
在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，
由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，
∴∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，
∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE'+∠QDF'）=144°-36°=108°；
故答案为：108°.
【分析】分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，利用四边形内角和求出∠ADC=144°，再利用三角形内角和求出∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，即得∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，再利用角的和差即可求解.
14．【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
15．【答案】118°或67°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，当C'D∥AB时，
图1 图2
∵ ∠A＝56°，∠C＝46° ，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=78°，
由折叠知：∠C'=∠C=46°，∠CBD=∠C'BD，
∵C'D∥AB，
∴∠ABC'=∠C'=46°，
∴∠C'BC=78°-46°=32°，
∴∠CBD=∠C'BD=16°，
∴ ∠CDB=180°-∠C-∠CBD=180°-46° -16°=118°；
②如图2，当C'D∥CB时，
∴∠ADC'=∠C=46°，
由折叠知：∠CDB=∠C'DB=（180°-∠ADC'）=67°，
∴∠CDB的度数为118°或67°；
故答案为：118°或67°.
【分析】分两种情况：①当C'D∥AB时，②当C'D∥CB时，根据平行线的性质及折叠的性质分别求解即可.
16．【答案】（1）解：平移后的对应点，
点P的平移方式为：横坐标向右平移5个单位长度，纵坐标向上平移3个单位长度，
由直角坐标系可知，、、，
三角形作同样的平移变换得到三角形，
、、，
即为所求；
（2）360°
（3）解：连接、，
由两点间线段最短可知，与轴交点即为点Q；．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）如图
由平移的性质可得：AA1∥CC1，
∴∠CAA1+∠ACC1=180°，
∴∠A1AB+∠ABC+∠BCC1
=（∠CAA1+∠ACC1）+（∠CAB+∠ABC+∠BCA）
=360°，
故答案为：360°；
（3） 设直线BC1函数表达式为y=kx+b，
∵B（-4，-1），C1（7，3），
∴，解得
∴直线BC1函数表达式为，
取y=0，得，解得，
∴．
【分析】（1）根据平移后的对应点，确定平移的方向和距离，再将A、B、C三点分别平移
到 A1， B1， C1，再顺次连接即可；
（2）利用三角形的内角和定理和平行线的性质求解；
（3）依据两点之间线段最短，可知当点Q在BC1与x轴交点BQ+C1Q时最小，先求出BC1的函数表达式，再求得它与x轴的交点即可.
17．【答案】（1）；=；
解：证明：点和点关于对称，
，
由得：，
；
（2）解：如图，
作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
可设，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
，
同理得：≌，
，
，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
同理可得：≌，
，
综上所述：．
【知识点】轴对称的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）连接AC ，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAE+∠BAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°；
∵点C和点C 关于直线AE成轴对称，
∴AC=AC ，∠CAM=∠C AM，
∴∠C AM+∠BAF=45°，
∵AB=AC，∴AB=AC ，
∵∠C AM+∠C AN=45°，∴∠BAF+∠C AN=45°，
∴△BAN≌△C AN（SAS），
BN=C N；
故答案为：第一空：45°；第二空：=
【分析】（1）连接AC ，由角的构成和轴对称的性质可得∠CAE+∠BAF=45°；结合已知用边角边可证△BAN≌△C AN，于是可得BN=C N；
（2）作点C关于AE的对称点D，连接AD，由题意用边角边可证△ADN≌△BAN，于是DN=BN=CM+MN，结合已知可设BN=11k，MN=4k，根据三角形ACN的面积可求得CN的值，然后根据CM=CN+MN=6+4k=BNB可得关于k的方程，解方程求出k的值，则CM的值可求解；
（3）由题意分两种情况：
当AF在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，结合（2）的结论可得：BN=MN+CM；
当AE在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，同理可求解.
18．【答案】（1）证明：和是等边三角形
即
在和中
；
（2）解：① AB与CE的位置关系是平行，理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形
即
在和中
；
；
②线段EC、AC、CD之间的数量关系为EC=AC+CD，理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
又∵AC=BC，
；
（3）解： PE+BE有最小值，理由如下：
在CD上截取DM=PC，连接EM.
∵△ABC与△PDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠PED=60°，AE=DE，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠PED+∠PCD=180°，
∴∠EPC+∠CDE=180°，
∵∠CDE+∠EDM=180°，
∴∠EDM=∠EPC，
在△EPC与△EDM中，
∵PC=DM，∠EPC=∠EDM，PC=DM，
∴，
∴EC=EM，∠DEM=∠PEC，
∴∠DEM+∠CED=∠PEC+∠CED，
即
是等边三角形，
∴∠ECD=60°，
即点E在∠ACD角平分线上运动，
作点P关于CE对称点P'，连接BP'与CE交于点C，此时点E与点C重合，
∴，
最小值为5.
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，根据等量减去等量差相等得∠BAD=∠CAE，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE；
（2）① AB与CE的位置关系是平行，理由如下：易得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，根据等量加上等量和相等得∠BAD=∠CAE，从而用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠ACE=60°，则∠BAC=∠ACE=60°，进而根据内错角相等，两直线平行，得AB∥CE；
②线段EC、AC、CD之间的数量关系为EC=AC+CD，理由如下： 由全等三角形的对应边相等得CE=BD，进而根据等量代换及线段的和差即可得出结论；
（3） PE+BE有最小值，理由如下： 在CD上截取DM=PC，连接EM，由等边三角形的性质得∠ACB=∠PED=60°，AE=DE，利用邻补角及等量代换可得∠PED+∠PCD=180°，进而根据四边形的内角和定理得∠EPC+∠CDE=180°，再由同角的补角相等得∠EDM=∠EPC，从而用SAS判断出△EPC≌△EDM，由全等三角形的性质得EC=EM，∠DEM=∠PEC，由等式的性质可推出∠CEM=60°，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△CEM是等边三角形，得∠ECD=60°，从而可得点E在∠ACD角平分线上运动，作点P关于CE对称点P'，连接BP'与CE交于点C，此时点E与点C重合，进而根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得PE+BE的最小值为5.
19．【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求．
（2）解：如图2中，点P′即为所求．
（3）解：如图3中，过点C作CT⊥AB于T．
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，
∵PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，
∴当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长，
∵S△ABC＝ AB CT＝ BC AD，
∴CT＝ ，
∴PE＋PC的值最小值= ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小；
（2）如图2中，连接BE交AD于点P'，连接CP'，点P'即为所求；
（3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T，证明AC，AB关于AD对称，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长。
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