2023-2024学年湘教版七年级（下）期末数学模拟试卷1（含解析）

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2023-2024学年湘教版七年级（下）期末数学模拟试卷1
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
小明在生日宴会上，要把一个大蛋糕分成七块，问他最少要切几次(切割成的蛋糕面积不一定相等)(　　)
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
以为解的二元一次方程是( )
A．2x－3y=-13 B．y=2x+5 C．y－4x=5 D．x=y－3
计算（﹣a3）2的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．a8 D．﹣a8
下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．﹣1=（+1）（﹣1） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2） D．ax﹣ay﹣a=a（x﹣y）﹣1
如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（　　）
A．115° B．125° C．155° D．165°
下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2 B．7x+5x＝12x2
C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
如果两个角的一边在同一直线上，而另一边互相平行，那么这两个角（　　）
A．相等 B．互补 C．相等且互余 D．相等或互补
某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六交
甲 9 8 6 7 8 10
乙 8 7 9 7 8 8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（　　）
A．他们训练成绩的平均数相同 B．他们训练成绩的中位数不同
C．他们训练成绩的众数不同 D．他们训练成绩的方差不同
不论,为任何实数， 的值总是（ ）
A． 正数 B． 负数 C． 非负数 D． 非正数
在一次野炊活动中，小明所在的班级有x人，分成y组，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则缺5人，求全班人数的正确的方程组是（　　）
A． B． C． D．
如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为（　 　）
A．120° B．108° C．126° D．114°
1 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
分解因式：3x2﹣12＝　 　．
《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x辆车，有y人，则可列方程组为_____．
若，，则_____．
四条直线a、b、c、d互不重合，如果a∥b、b∥c、c∥d，那么直线a、d的位置关系为__________。
若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为　 　．
如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝ ，∠FBD＝ ．
1 、解答题（本大题共8小题，共66分）
解方程组：
（1）；（2）
如图，已知CD∥BF, ∠B+∠D=180°，求证：AB∥DE.
如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（b＜）的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积．
先化简，再求值：(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2，其中a=3，b=.
某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调査了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中m的值为_____________；
（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．
已知2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8hm2．求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷（hm2）？
（1）分析：如果设1台大收割机每小时各收割小麦x hm2，和1台小收割机每小时各收割小麦y hm2，则2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦　　　　　　hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦　　　　　　hm2（均用含x，y的代数式表示）；
（2）根据以上分析，结合题意，请你列出方程组，求出1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小苗多少公顷（hm2）？
已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP
（1）如图1，求证：MN∥PQ；
（2）分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI绕点B旋转，并且∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2试判断∠CFB、∠BEG是之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB＝60°，求∠CFB的度数．
答案解析
1 、选择题
【考点】相交线
【分析】由题意可知，由于至少多少刀，隐含着切得每刀切面必两两相交．
解：设切n次，
则+1≥7，
解得：n≥3或n≤-4（舍去），
∴n≥3，
故选：A．
【点评】此题考查的知识点是相交线，关键理清如何切法，找出关系式，求解．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】把分别代入下面四个方程，如果使方程成立就是方程的解，如果左边和右边不相等就不是方程的解．
解：A． 把代入2x 3y= 13,左边= 132x－3y=-13右边,即是该方程的解，故本选项正确；
B. 把代入y=2x+5,左边=3,右边=1,左边≠右边,即不是该方程的解，故本选项错误；
C. 把代入y 4x=5,左边=11≠右边,即不是该方程的解，故本选项错误；
D. 把代入x=y 3, 左边=3,右边=0,左边≠右边,即不是该方程的解，故本选项错误；
故选：A．
【点评】考查方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解：（﹣a3）2=a6
故选A．
【点评】同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，记准法则是做题的关键．
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解：A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【考点】平行线的性质．
【分析】如图，过点D作c∥a．由平行线的性质进行解题．
解：如图，过点D作c∥a．
则∠1=∠CDB=25°．
又a∥b，DE⊥b，
∴b∥c，DE⊥c，
∴∠2=∠CDB+90°=115°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”来解题的．
【考点】整式的混合运算．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
解：∵（﹣3x）2＝9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意，
∵7x+5x＝12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意，
∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意，
∵（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．
【考点】平行线的性质．
【分析】首先根据题意作图，然后根据两直线平行，同位角相等与邻补角的关系，即可求得答案．
解：如图，分两种情况：
①∠A与∠1的一边在直线AC上，另一边AB∥DE，
∴∠1=∠A；
②∠A与∠2的一边在直线AC上，另一边AB∥DF，
∵∠1+∠2=180°，∠1=∠A，
∴∠2+∠A=180°．
综上，可知这两个角的关系是相等或互补．
故选D．
【考点】算术平均数，方差
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
【点评】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点】算术平均数；中位数；众数；方差
【分析】利用方差的定义、以及众数和中位数的定义分别计算得出答案．
解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为=8（环），中位数为=8（环）、众数为8环，
方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=（环2），
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为=，中位数为=8（环）、众数为8环，
方差为×[2×（7﹣）2+3×（8﹣）2+（9﹣）2]=（环2），
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选：D．
【点评】此题主要考查了中位数以及方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．
【考点】因式分解的应用
【分析】利用配方法配为非负数的和的形式解答即可
解：x +y －4x-2y+8=(x －4x+4)+(y -2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，
不论x,y为任何实数,x +y －4x-2y+8的值总是大于等于3，
故选A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．
【考点】 由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】 此题中不变的是全班的人数x人．等量关系有：①每组7人，则余下3人；②每组8人，则缺5人，即最后一组差5人不到8人．由此列出方程组即可．
解：根据每组7人，则余下3人，得方程7y+3=x，即7y=x﹣3；
根据每组8人，则缺5人，即最后一组差5人不到8人，得方程8y﹣5=x，即8y=x+5．
可列方程组为：．
故选：A．
【点评】 此题考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中不变的是全班的人数，用不同的代数式表示全班的人数是本题的关键．
【考点】平行线的性质，轴对称的性质
【分析】如图，设∠B′FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B′FE=x，∠AEF=∠A′EF，则∠BFC=x-18°，再由第2次折叠得到∠C′FB=∠BFC=x-18°，于是利用平角定义可计算出x=66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF=180°-∠B′FE=114°，所以∠AEF=114°．
解：如图,设∠B′FE=x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE=∠B′FE=x,∠AEF=∠A′EF，
∴∠BFC=∠BFE ∠CFE=x 18°，
∵纸条沿BF折叠,
∴∠C′FB=∠BFC=x 18°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FB=180°，
∴x+x+x 18°=180°,解得x=66°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF=180° ∠B′FE=180° 66°=114°，
∴∠AEF=114°.
故答案选：D.
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握翻折变换（折叠问题）与平行线的性质.
1 、填空题
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式，二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可．
解：由题意，可列方程组为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了列二元一次方程组，依据题意，正确找出等量关系是解题关键．
【考点】完全平方公式的应用
【分析】先求出，再求的平方，然后再开方即可求出．
解：，
，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：0．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，等式的灵活变形是本题的关键．
【考点】平行公理及推论
【分析】由于a∥b，b∥c，根据平行公理的推论得到a∥c，而c∥d，所以a∥d．
解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
∵c∥d，
∴a∥d．
故答案为：a∥d．
【点评】本题考查了平行公理及推论：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【考点】算术平均数，众数，方差
【分析】根据众数的定义先判断出x，y中至少有一个是5，再根据平均数的计算公式求出x+y＝11，然后代入方差公式即可得出答案．
解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）＝6，
∴x+y＝11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为[（4﹣6）2+2（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（9﹣6）2]＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了众数、平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
【考点】旋转的性质
【分析】求∠FAD利用旋转得到的角求解，∠FBD的度数应把这个角进行分割．
解：由于∠1=∠2，∠1+∠3=120°-60°=60°，
∴∠FAD=∠2+∠3=60°，
∠FBD=∠FBA+∠ABC=30°+30°=60°．
【点评】旋转前后对应角相等，两个三角形是否成轴对称应看三角形是否全等，对应边沿对称轴折叠后是否重合．
1 、解答题
【考点】解二元一次方程组
【分析】(1)利用加减消元法求解即可;(2) 利用加减消元法求解即可.
解：（1），
①+②，得：4x=12，
解得：x=3，
将x=3代入①，得：3+2y=1，
解得：y=﹣1，
所以方程组的解为；
（2），
①×3﹣②，得：5y=﹣5，
解得：y=﹣1，
将y=﹣1代入①，得：x+1=3，
解得：x=2，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组要利用消元的思想，消元的方法有：代入消元和加减消元.
【考点】平行线的判定与性质
【分析】利用平行线的性质定理可得∠BOD=∠B，等量代换可得∠BOD+∠D=180°，利用同旁内角互补，两直线平行可得结论．
证明：∵CD∥BF，
∴∠BOD=∠B，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠BOD+∠D=180°，
∴AB∥DE．
【点评】考查了平行线的性质定理和判定定理，综合运用定理是解答此题的关键．
【考点】 因式分解的应用．
【分析】 阴影部分的面积等于正方形的面积减去4角的4个小正方形的面积，利用因式分解可使计算简便．
解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=20×6.4=128（cm2）．
【点评】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
【考点】整式的化简求值
【分析】利用平方差公式、单项式乘以多项式去括号，同时先计算乘方，再计算除法运算，接着合并得到最简结果，然后把a、b的值代入计算即得.
解：原式=4-a2+a2-5ab+3a5b3÷a4b2
=4-5ab+3ab
=4-2ab，
当a=3，b=-时，原式=4-2×3×(-)=4+3=7.
【点评】此题考查整式的混合运算化简求值，解题关键在于掌握运算法则
【考点】用样本估计总体,条形统计图,加权平均数,中位数,众数
【分析】（Ⅰ）求得直方图中各组人数的和即可求得学生人数，利用百分比的意义求得m；
（Ⅱ）利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数定义求解；
（Ⅲ）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4+8+15+10+3=40（人），
m=100×=25．
故答案是：40，25；
（Ⅱ）观察条形统计图，
∵，
∴这组数据的平均数是1.5．
∵在这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为1.5．
∵将这组数据按从小到大的顺序棑列，其中处于中间的两个数都是1.5，有，
∴这组数据的中位数为1.5．
（Ⅲ）∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据中，每天在校体育活动时间大于1h的学生人数占90%，
∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h的人数约占90%．有．
∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h的学生人数约为720．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用，还考查了加权平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
【考点】作图-平移变换．轴对称的性质
【分析】（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．
（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．
解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
（2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
【点评】本题考查平移变换、轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的意义，图形的平移实际是点在平移，属于基础题，中考常考题型．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦公顷数=1台大收割机每小时收割小麦公顷数×2+1台小收割机每小时收割小麦公顷数×5，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦公顷数=1台大收割机每小时收割小麦公顷数×3+1台小收割机每小时收割小麦公顷数×2；
（2）题中有两个等量关系：2台大收割机工作2h收割小麦公顷数+5台小收割机工作2h收割小麦公顷数=3.6，3台大收割机工作5h收割小麦公顷数+2台小收割机工作5h收割小麦公顷数=8，依此列出方程组即可求解．
解：（1）2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦（2x+5y）hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦（3x+2y）hm2；
故答案为（2x+5y），（3x+2y）；
（2）由题意得，
解得．
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4hm2和0.2hm2．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【考点】平行线判定和性质
【分析】（1）过C作CE∥MN，根据平行线判定和性质证出CE∥PQ；（2）过B作BR∥AG，根据平行线判定和性质证出∠BEG＝90°﹣∠RBF＝90°﹣（180°﹣∠CFB）；（3）过B作BR∥AG，根据平行线判定和性质证出∠NAE＝∠AES，∠QBE＝∠EBC，根据角平分线定义得：∠CAE＝∠AES，再证∠AEB＝∠AES+∠BES＝∠CAE+∠CBE＝，∠AEB＝150°，∠BEG＝30°.
解：（1）过C作CE∥MN，
∴∠1＝∠MAC，
∵∠2＝∠ACB﹣∠1，
∴∠2＝∠ACB﹣∠MAC，
∵∠ACB﹣∠MAC＝∠CBP，
∴∠2＝∠CBP，
∴CE∥PQ，
∴MN∥PQ；
（2）过B作BR∥AG，
∵AG∥CH，
∴BR∥HF，
∴∠BEG＝∠EBR，∠RBF+∠CFB＝180°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠BEG＝∠EBR＝90°﹣∠RBF，
∴∠BEG＝90°﹣∠RBF＝90°﹣（180°﹣∠CFB），
∴∠CFB﹣∠BEG＝90°；
（3）过E作ES∥MN，
∵MN∥PQ，
∴ES∥PQ，
∴∠NAE＝∠AES，∠QBE＝∠EBC，
∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE＝∠EAC，∠CBD＝∠DBP，
∴∠CAE＝∠AES，
∵∠EBD＝90°，
∴∠EBQ+∠PBD＝∠EBC+∠CBD＝90°，
∴∠QBE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠AES+∠BES＝∠CAE+∠CBE＝，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AEB＝150°，
∴∠BEG＝30°，
∵∠CFB﹣∠BEG＝90°，
∴∠CFB＝120°．
【点评】此题是平行线判定和性质的综合运用，添加辅助线是解题的关键.
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