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专题05 乘法公式
知识点一 平方差公式及应用
平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
【典例1】（2023秋 衡山县期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x﹣y）（2x+y） B．（x﹣y）（﹣y﹣x） C．（b﹣a）（b+a） D．（﹣x+y）（x﹣y）
【变式训练】
1．（2023秋 兴城市期末）下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（﹣x+y）（﹣x﹣y） D．（﹣x+y）（x+y）
2．（2023秋 河东区期末）下列运算正确的是（ ）
A．3x2y+2xy＝5x3y2 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
3．（2024春 江北区校级月考）若（x+3）（x﹣3）＝x2﹣k成立，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．﹣9
4．（2024春 新城区校级月考）下列多项式乘法中，运算结果为x2﹣y2的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y）B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（x+y）（﹣x+y）
5．（2024 梁山县二模）计算：（x+2y）（x﹣2y）＝（ ）
A．x2﹣2y2 B．x2+2y2 C．x2+4y2 D．x2﹣4y2
6．（2023秋 红桥区期末）计算（2m+1）（2m﹣1）﹣4m2的结果等于 ．
7．（2023秋 青铜峡市期末）计算：（x+2y）（2x﹣y）﹣2（x+y）（x﹣y）．
8．（2024 鄞州区模拟）观察前后两个差为4的整数的平方差：
①52﹣12＝8×3；②62﹣22＝8×4；③72﹣32＝8×5；
（1）写出第n个等式，并进行证明；
（2）问2024是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
知识点二 完全平方公式及应用
完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
【典例2】（2023秋 南平期末）化简：（a+1）2+（a﹣1）2﹣2．
【变式训练】
1．（2024春 尤溪县月考）计算（x+1）2的结果是（ ）
A．x2﹣x+1 B．x2﹣2x+1 C．x2﹣x﹣1 D．x2+2x+1
2．（2024春 江北区校级月考）下列变形错误的是（ ）
A．（﹣a+b）2＝（b﹣a）2 B．（﹣a+b）2＝（a﹣b）2
C．（﹣a﹣b）2＝（a﹣b）2 D．（﹣a﹣b）2＝（a+b）2
3．（2023秋 老河口市期末）已知a+b＝4，ab＝2，那么a2+b2的值是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2024春 惠来县校级月考）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝200，则m2+n2的值为（ ）
A．116 B．117 C．118 D．232
5．（2024春 泰山区期中）若（3x﹣1）2＝9x2+（m﹣1）x+1，则m＝ ．
6．（2024春 丹徒区期中）计算：（3x﹣y）2＝ ．
7．（2024 红桥区二模）计算（x+2）2﹣x（x+4）的结果等于 ．
8．（2024春 西安月考）计算：（2x+3）2﹣x（12+x）．
9．（2024 余姚市一模）小明在计算a（2+a）﹣（a﹣2）2时，解答过程如下：
a（2+a）﹣（a﹣2）2
＝2a+a2﹣（a2﹣4）…第一步
＝2a+a2﹣a2﹣4…第二步
＝2a﹣4…第三步
小明的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
知识点三 公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
（3）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式、完全平方公式做出几何解释．
【典例3】（2023秋 淮阳区期末）将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（ ）
A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy
【变式训练】
1．（2023秋 如皋市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A． B． C．D．
2．（2024春 西湖区校级期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy＝；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
3．（2024春 介休市期中）观察下列图形，从图1到图2可表示的乘法公式为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
4．（2024春 杭州期中）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2023秋 盐山县期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；
（2）解决问题：如果a+b＝10，ab＝16，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝22，求这个长方形的面积．
知识点四 整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
【典例4】（2024 亭湖区一模）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（3x﹣6），其中x满足x2﹣3x﹣1＝0．
【变式训练】
1．（2024 朝阳区二模）已知2x2+x﹣2＝0，则代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）+2x2的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
2．（2023秋 西城区期末）如果a2﹣3a﹣7＝0，那么代数式（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣8 C．6 D．13
3．（2023秋 龙港区期末）已知5m2+4m﹣1＝0，则代数式（2m+1）2+（m+3）（m﹣3）的值为 ．
4．（2024春 左权县月考）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（x+y）（x2﹣x+4y）﹣3xy，其中x＝﹣1，y＝2．
5．（2024春 江阴市校级月考）先化简，再求值：2（x+1）2﹣3（x﹣1）（x+1）+x（x﹣3），其中x＝﹣1．
6．（2024春 泰山区期中）先化简，再求值：（3a﹣2b）（3a+2b）﹣（3a﹣b）2﹣b（a﹣5b），其中．
7．（2024春 兴庆区校级月考）有这样一道题：“化简求值：[（a+2）2﹣（a+1）2]（2a﹣3）﹣4a2，其中a＝﹣2023．”小浩同学在解题时错误地把“a＝﹣2023”抄成了“a＝2023”，但显示计算的结果也是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？
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专题05 乘法公式
知识点一 平方差公式及应用
平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
【典例1】（2023秋 衡山县期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x﹣y）（2x+y） B．（x﹣y）（﹣y﹣x） C．（b﹣a）（b+a） D．（﹣x+y）（x﹣y）
【点拨】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解析】解：A、（2x﹣y）（2x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、（x﹣y）（﹣y﹣x）＝（﹣y+x）（﹣y﹣x），符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、（b﹣a）（b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 兴城市期末）下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（﹣x+y）（﹣x﹣y） D．（﹣x+y）（x+y）
【点拨】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式，逐个分析得结论．
【解析】解：A、C符合平方差公式的结构特点，能运用平方差公式计算；
B．（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不符合平方差公式的结构特点，不能运用平方差公式计算；
D．（﹣x+y）（x+y）＝（y﹣x）（y+x）符合平方差公式的结构特点，能运用平方差公式计算．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解决本题的关键．
2．（2023秋 河东区期末）下列运算正确的是（ ）
A．3x2y+2xy＝5x3y2 B．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 C．（2a+b）2＝4a2+b2 D．（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2
【点拨】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式分别计算判断即可．
【解析】解：A、3x2y与2xy不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故此选项不符合题意；
C、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故此选项不符合题意；
D、（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．
3．（2024春 江北区校级月考）若（x+3）（x﹣3）＝x2﹣k成立，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．﹣9
【点拨】根据平方差公式进行计算即可求解．
【解析】解：∵（x+3）（x﹣3）＝x2﹣k．
∴k的值为9，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，正确相关知识点是解题关键．
4．（2024春 新城区校级月考）下列多项式乘法中，运算结果为x2﹣y2的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y）B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（x+y）（﹣x+y）
【点拨】利用平方差公式和完全平方公式逐项计算即可．
【解析】解：A、（﹣x﹣y）（x﹣y）＝（﹣y）2﹣x2＝y2﹣x2，不符合题意；
B、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣x2+2xy﹣y2，不符合题意；
C、（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，符合题意；
D、（x+y）（﹣x+y）＝y2﹣x2，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
5．（2024 梁山县二模）计算：（x+2y）（x﹣2y）＝（ ）
A．x2﹣2y2 B．x2+2y2 C．x2+4y2 D．x2﹣4y2
【点拨】根据平方差公式进行计算，然后逐一判断即可．
【解析】解：原式＝x2﹣4y2．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．（2023秋 红桥区期末）计算（2m+1）（2m﹣1）﹣4m2的结果等于 ﹣1 ．
【点拨】本题是平方差公式的应用，先把（2m+1）（2m﹣1）计算，然后合并同类项即可．
【解析】解：（2m+1）（2m﹣1）﹣4m2
＝4m2﹣1﹣4m2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要平方差公式，运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
7．（2023秋 青铜峡市期末）计算：（x+2y）（2x﹣y）﹣2（x+y）（x﹣y）．
【点拨】先根据多项式乘多项式法则和平方差公式计算乘法，然后再利用合并同类项法则进行计算即可．
【解析】解：原式＝2x2﹣xy+4xy﹣2y2﹣2（x2﹣y2）
＝2x2+3xy﹣2y2﹣2x2+2y2
＝2x2﹣2x2+2y2﹣2y2+3xy
＝3xy．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则．
8．（2024 鄞州区模拟）观察前后两个差为4的整数的平方差：
①52﹣12＝8×3；②62﹣22＝8×4；③72﹣32＝8×5；
（1）写出第n个等式，并进行证明；
（2）问2024是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．
【点拨】（1）根据规律即可得出答案；
（2）将2024除以8，看结果是否整除进行判断即可．
【解析】解：（1）第n个等式为：（n+4）2﹣n2＝8×（n+2），
证明：左边＝n2+8n+16﹣n2＝8n+16，
右边＝8n+16，
∴左边＝右边，
即（n+4）2﹣n2＝8×（n+2）；
（2）∵2024÷8＝253，即n+2＝253，
∴n＝251，n+4＝255，
∴2024＝2552﹣2512，
因此2024能写成两个差为4的整数的平方差，即2024＝2552﹣2512．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
知识点二 完全平方公式及应用
完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
【典例2】（2023秋 南平期末）化简：（a+1）2+（a﹣1）2﹣2．
【点拨】根据完全平方公式展开计算即可．
【解析】解：原式＝a2+2a+1+a2﹣2a+1﹣2
＝2a2．
【点睛】此题考查完全平方公式，正确记忆完全平方公式是解题关键．
【变式训练】
1．（2024春 尤溪县月考）计算（x+1）2的结果是（ ）
A．x2﹣x+1 B．x2﹣2x+1 C．x2﹣x﹣1 D．x2+2x+1
【点拨】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【解析】解：（x+1）2＝x2+2x+1，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
2．（2024春 江北区校级月考）下列变形错误的是（ ）
A．（﹣a+b）2＝（b﹣a）2 B．（﹣a+b）2＝（a﹣b）2
C．（﹣a﹣b）2＝（a﹣b）2 D．（﹣a﹣b）2＝（a+b）2
【点拨】利用完全平方公式的变形对各选项进行判断作答即可．
【解析】解：A． （﹣a+b）2＝（b﹣a）2，故该选项正确，不符合题意；
B． （﹣a+b）2＝（a﹣b）2，故该选项正确，不符合题意；
C． （﹣a﹣b）2＝（a+b）2，故该选项不正确，符合题意；
D． （﹣a﹣b）2＝（a+b）2，故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．（2023秋 老河口市期末）已知a+b＝4，ab＝2，那么a2+b2的值是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【点拨】把a+b＝4两边平方，即可得到a2+b2+2ab＝16，然后把ab＝2代入即可求解．
【解析】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16，
即a2+b2+4＝16，
∴a2+b2＝12．
故选：A．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
4．（2024春 惠来县校级月考）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝200，则m2+n2的值为（ ）
A．116 B．117 C．118 D．232
【点拨】根据完全平方公式可得出m2﹣2mn+n2＝32①，m2+2mn+n2＝200②，再计算①+②即可求解．
【解析】解：∵（m﹣n）2＝32，
∴m2﹣2mn+n2＝32①．
∵（m+n）2＝200，
∴m2+2mn+n2＝200②．
由①+②，得：m2﹣2mn+n2+m2+2mn+n2＝32+200，
整理，得：2（m2+n2）＝232，
∴m2+n2＝116．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式，代数式求值．熟练掌握完全平方公式是解题关键．
5．（2024春 泰山区期中）若（3x﹣1）2＝9x2+（m﹣1）x+1，则m＝ ﹣5 ．
【点拨】根据完全平方公式把等式左边展开可得m﹣1＝﹣6，解之即可．
【解析】解：∵（3x﹣1）2＝9x2+（m﹣1）x+1，
∴9x2﹣6x+1＝9x2+（m﹣1）x+1，
∴m﹣1＝﹣6，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，正确记忆相关知识点是解题就关键．
6．（2024春 丹徒区期中）计算：（3x﹣y）2＝ 9x2﹣6xy+y2 ．
【点拨】根据完全平方公式计算．
【解析】解：（3x﹣y）2＝9x2﹣6xy+y2；
故答案为：9x2﹣6xy+y2．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
7．（2024 红桥区二模）计算（x+2）2﹣x（x+4）的结果等于 4 ．
【点拨】利用完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则即可得出答案．
【解析】解：原式＝x2+4x+4﹣x2﹣4x
＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查完全平方公式及单项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8．（2024春 西安月考）计算：（2x+3）2﹣x（12+x）．
【点拨】利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算即可．
【解析】解：原式＝4x2+12x+9﹣12x﹣x2
＝3x2+9．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9．（2024 余姚市一模）小明在计算a（2+a）﹣（a﹣2）2时，解答过程如下：
a（2+a）﹣（a﹣2）2
＝2a+a2﹣（a2﹣4）…第一步
＝2a+a2﹣a2﹣4…第二步
＝2a﹣4…第三步
小明的解答从第 一 步开始出错，请写出正确的解答过程．
【点拨】根据完全平方公式进行判断，然后改正即可．
【解析】解：从第一步开始出错，
改正：a（2+a）﹣（a﹣2）2
＝2a+a2﹣（a2﹣4a+4）
＝2a+a2﹣a2+4a﹣4
＝6a﹣4．
故答案为：一．
【点睛】本题考查了完全平方公式、单项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
知识点三 公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
（3）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式、完全平方公式做出几何解释．
【典例3】（2023秋 淮阳区期末）将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（ ）
A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy
【点拨】利用图形可得出大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积，写出大正方形的面积、阴影部分小正方形的面积和一个小长方形的面积即可得出答案
【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为（x+y）2，阴影部分小正方形的面积为（x﹣y）2，一个小长方形的面积为xy，
则大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积，
即（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式，解题关键是根据图形推出：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积．
【变式训练】
1．（2023秋 如皋市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A． B． C．D．
【点拨】根据图形进行列式表示图形的面积即可．
【解析】解：∵由选项A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴选项A不符合题意；
∵由选项B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵由选项C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
∴选项C不符合题意；
∵由选项D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了乘法公式几何意义的几何意义，关键是能根据图形准确列出整式．
2．（2024春 西湖区校级期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy＝；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2＝中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
【点拨】根据拼图中各个部分的长度、面积之间的关系逐项进行判断即可．
【解析】解：由拼图可知，m＝x+y，n＝x﹣y，
因此①正确；
由于mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，xy＝＝，
因此②不正确；
由于x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝m2﹣2×
＝，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
3．（2024春 介休市期中）观察下列图形，从图1到图2可表示的乘法公式为（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
【点拨】用代数式表示图1、图2中两个梯形的面积和即可．
【解析】解：图1是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），用图2的方式拼接，可得图1中两个梯形的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
4．（2024春 杭州期中）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【点拨】设大正方形的边长为a，较小正方形的边长为b，根据图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，可得（a﹣b）2＝1，（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，求出a2+b2的值即可．
【解析】解：设大正方形的边长为a，较小正方形的边长为b，
图甲中阴影部分的边长为（a﹣b），所以有（a﹣b）2＝1，即a2﹣2ab+b2＝1①，
由于图乙中阴影部分的面积为10，即（a+b）2﹣a2﹣b2＝10②，
由②得2ab＝10，代入①得，a2﹣10+b2＝1，
即a2+b2＝11，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
5．（2023秋 盐山县期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
（1）模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式： （a+b）2＝a2+b2+2ab． ；
（2）解决问题：如果a+b＝10，ab＝16，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝22，求这个长方形的面积．
【点拨】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用（1）中得到的公式计算．
（3）将8﹣x，x﹣2当成两个字母后用公式．
【解析】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，
还可以表示为：a2+b2+2ab．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×16＝100﹣32＝68．
（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，
则a+b＝6，a2+b2＝22．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴36＝22+2ab．
∴ab＝7．
∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝7．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
知识点四 整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
【典例4】（2024 亭湖区一模）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣x（3x﹣6），其中x满足x2﹣3x﹣1＝0．
【点拨】利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解析】解：（x+2）（x﹣2）﹣x（3x﹣6）
＝x2﹣4﹣3x2+6x
＝﹣2x2+6x﹣4，
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x2﹣3x＝1，
∴原式＝﹣2（x2﹣3x）﹣4
＝﹣2×1﹣4
＝﹣6．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式训练】
1．（2024 朝阳区二模）已知2x2+x﹣2＝0，则代数式（x+1）2+（x+1）（x﹣1）+2x2的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【点拨】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，求出2x2+x＝2，最后代入求出答案即可．
【解析】解：（x+1）2+（x+1）（x﹣1）+2x2
＝x2+2x+1+x2﹣1+2x2
＝4x2+2x，
∵2x2+x﹣2＝0，
∴2x2+x＝2，
∴原式＝2（2x2+x）＝2×2＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，用了整体代入思想．
2．（2023秋 西城区期末）如果a2﹣3a﹣7＝0，那么代数式（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣8 C．6 D．13
【点拨】求出a2﹣3a＝7，再根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解析】解：∵a2﹣3a﹣7＝0，
∴a2﹣3a＝7，
∴（a﹣1）2+a（a﹣4）﹣2
＝a2﹣2a+1+a2﹣4a﹣2
＝2a2﹣6a﹣1
＝2（a2﹣3a）﹣1
＝2×7﹣1
＝14﹣1
＝13．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
3．（2023秋 龙港区期末）已知5m2+4m﹣1＝0，则代数式（2m+1）2+（m+3）（m﹣3）的值为 ﹣7 ．
【点拨】直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而把已知整体代入得出答案．
【解析】解：原式＝4m2+4m+1+m2﹣9
＝5m2+4m﹣8，
∵5m2+4m﹣1＝0，
∴5m2+4m＝1，
∴原式＝1﹣8
＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
4．（2024春 左权县月考）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（x+y）（x2﹣x+4y）﹣3xy，其中x＝﹣1，y＝2．
【点拨】先根据平方差公式算乘法、以及根据多项式乘多项式法则展开运算，再合并同类项，得x3+x2y，再把x＝﹣1，y＝2代入计算，即可作答．
【解析】解：（x+2y）（x﹣2y）+（x+y）（x2﹣x+4y）﹣3xy
＝x2﹣4y2+x3﹣x2+4xy+x2y﹣xy+4y2﹣3xy
＝x3+x2y，
把x＝﹣1，y＝2代入上式得：
x3+x2y＝（﹣1）3+（﹣1）2×2＝﹣1+2＝1．
【点睛】本题考查了整式的乘除混合运算、平方差公式以及化简求值，熟练掌握平方差公式是关键．
5．（2024春 江阴市校级月考）先化简，再求值：2（x+1）2﹣3（x﹣1）（x+1）+x（x﹣3），其中x＝﹣1．
【点拨】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解析】解：2（x+1）2﹣3（x﹣1）（x+1）+x（x﹣3）
＝2（x2+2x+1）﹣3（x2﹣1）+x2﹣3x
＝2x2+4x+2﹣3x2+3+x2﹣3x
＝x+5，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+5＝4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2024春 泰山区期中）先化简，再求值：（3a﹣2b）（3a+2b）﹣（3a﹣b）2﹣b（a﹣5b），其中．
【点拨】先根据平方差公式，完全平方公式，整式的乘法化简，再代入，利用积的乘方计算即可．
【解析】解：原式＝9a2﹣4b2﹣9a2+6ab﹣b2﹣ab+5b2＝5ab，
当时，
原式＝．
【点睛】本题考查了代数式求值，平方差公式，完全平方公式，整式的乘法，积的乘方，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键．
7．（2024春 兴庆区校级月考）有这样一道题：“化简求值：[（a+2）2﹣（a+1）2]（2a﹣3）﹣4a2，其中a＝﹣2023．”小浩同学在解题时错误地把“a＝﹣2023”抄成了“a＝2023”，但显示计算的结果也是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？
【点拨】去括号，然后合并同类项对原式进行化简，然后根据化简结果进行分析解释．
【解析】解：[（a+2）2﹣（a+1）2]（2a﹣3）﹣4a2
＝（a2+4a+4﹣a2﹣2a﹣1）（2a﹣3）﹣4a2
＝（2a+3）（2a﹣3）﹣4a2
＝4a2﹣9﹣4a2
＝﹣9，
∵化简后，原式结果为常数﹣9，与x的取值无关，
∴小浩同学在解题时即便是错误地把“a＝﹣2023”抄成了“a＝2023”，显示计算的结果也是正确的．
【点睛】本题考查了整式的化简，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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