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专题07 因式分解及其应用
知识点一 因式分解的概念
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 其实质是多项式的恒等变形，和整式乘法是互逆关系.
【典例1】（2023秋 保定期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3
C．x2 5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
【点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【解析】解：A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2 5x＝5x3，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
【变式训练】
2．（2023秋 自贡期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．2x（x﹣3）＝2x2﹣6x B．12m2n＝3m2 4n
C．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【点拨】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解析】解：2x（x﹣3）＝2x2﹣6x是整式乘法运算，则A不符合题意；
12m2n＝3m2 4n是单项式的变形，则B不符合题意；
a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1的右边不是积的形式，则C不符合题意；
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2023秋 河西区期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣x+1＝（x﹣1）2
【点拨】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
【解析】解：A、从左到右的变形错误，x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故此选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式左边是几个整式的乘积式，右边是多项式，属整乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+4x+4＝（x+2）2等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、从左到右的变形错误，x2﹣x+1≠（x﹣1）2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握分解因式的定义是关键．
4．（2023秋 泗水县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab 2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4
【点拨】运用因式分解的定义进行辨别、求解．
【解析】解：A．6a2b2＝3ab 2ab，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法（平方差公式和完全平方公式），十字相乘法等．
知识点二 提公因式法因式分解
1.公因式：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把公因式提取出来进行因式分解.
3.提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式；
（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式
4.填括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
【典例2】（2023秋 衡阳期末）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
【点拨】根据提公因式法的分解方法分解即可．
【解析】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是关键．
【变式训练】
1．（2023秋 莱西市期末）多项式3m2+6mn的公因式是（ ）
A．3 B．m C．3m D．3n
【点拨】找出多项式的公因式即可．
【解析】解：多项式3m2+6mn的公因式是3m，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
2．（2023秋 阿图什市校级期末）多项式a（x2﹣2x+1）与多项式（x﹣1）（x+1）的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2+1 D．x2
【点拨】根据完全平方公式可得：多项式a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2；再结合公因式定义进而解答即可．
【解析】解：多项式a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2，则两多项式的公因式为x﹣1．
故选：A．
【点睛】本题侧重考查公因式的知识，熟练掌握完全平方公式是关键．
3．（2023秋 临淄区期末）下列各组代数式中，没有公因式的是（ ）
A．ax+y和x+y B．2x和4y C．a﹣b和b﹣a D．﹣x2+xy和y﹣x
【点拨】找公因式即一要找系数的最大公约数，二要找相同字母或相同因式的最低次幂．
【解析】解：A、两个没有公因式，正确；
B、显然有系数的最大公约数是2，故错误；
C、只需把b﹣a＝﹣（a﹣b），两个即为公因式，故错误；
D、﹣x2+xy＝x（y﹣x），显然有公因式y﹣x，故错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
4．（2023秋 朝阳区校级期末）分解因式：a2﹣4ab＝ a（a﹣4b） ．
【点拨】直接提取公因式法ab，进而分解因式得出答案．
【解析】解：原式＝a（a﹣4b）．
故答案为：a（a﹣4b）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
5．（2024 邗江区校级三模）分解因式：（a﹣2）2+4（a﹣2）＝ （a+2）（a﹣2） ．
【点拨】先化简，再运用公式法进行因式分解．
【解析】解：（a﹣2）2+4（a﹣2）
＝a2+4﹣4a+4a﹣8
＝a2﹣4
＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．
6．（2024春 永定区期中）把下列各式分解因式：
（1）24a2b﹣18ab2； （2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a）．
【点拨】（1）利用提取公因式法分解因式即可；
（2）利用提取公因式法分解因式即可．
【解析】解：（1）24a2b﹣18ab2＝6ab（4a﹣3b）；
（2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a）
＝m（a﹣3）﹣2m2（a﹣3）
＝m（a﹣3）（1﹣2m）．
【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握利用提取公因式法分解因式是解题的关键．
7．（2023秋 泸县校级期末）因式分解：（2x﹣y）（x+3y）﹣（2x+3y）（y﹣2x）．
【点拨】将原式变形后利用提公因式法因式分解即可．
【解析】解：原式＝（2x﹣y）（x+3y）+（2x+3y）（2x﹣y）
＝（2x﹣y）[（x+3y）+（2x+3y）]
＝（2x﹣y）（x+3y+2x+3y）
＝（2x﹣y）（3x+6y）
＝3（2x﹣y）（x+2y）．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
8．（2022春 市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 （1+x）2022 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【点拨】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）仿照已知的计算过程，即可解答；
（3）仿照已知的计算过程，即可解答．
【解析】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，
故答案为：（1+x）2022；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）
＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]
＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]
..．
＝（1+x）n+1．
【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法，理解已知的计算过程是解题的关键．
知识点三 公式法因式分解
平方差公式：
完全平方公式：
是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式，
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式。
【典例3】（2023秋 乐山期末）因式分解：
（1）x2﹣9； （2）（m2﹣5）2+2（m2﹣5）+1．
【点拨】（1）利用平方差公式进行分解即可；
（2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解析】解：（1）原式＝（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝（m2﹣5+1）2
＝（m2﹣4）2
＝（m+2）2（m﹣2）2．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，准确熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 樊城区期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2
【点拨】直接利用公式法分解因式得出答案．
【解析】解：A、x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B、﹣x2﹣y2，无法分解因式，不合题意；
C、x2﹣y3，无法分解因式，不合题意；
D、﹣x2+y2＝（y﹣x）（y+x），正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
2．（2023秋 淄川区期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．9x2﹣16y2 B．4x2﹣4x+1 C．x2+xy+y2 D．9﹣3x+x2
【点拨】利用完全平方公式的结构特点，逐个判断得结论．
【解析】解：A选项，没有积的2倍，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝（2x﹣1）2，故该选项符合题意；
C选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
D选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解﹣运用公式法，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
3．（2023春 振兴区校级期末）分解因式：
（1）2（m﹣n）2+m（n﹣m）； （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
【点拨】（1）先变形得到原式＝2（m﹣n）2﹣m（m﹣n），然后利用提公因式法分解因式；
（2）利用平方差分解因式．
【解析】解：（1）原式＝2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）
＝（m﹣n）（2m﹣2n﹣m）
＝（m﹣n）（m﹣2n）；
（2）原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；也考查了提公因式法分解因式．
4．（2023秋 宁河区期末）分解因式
（1）x2y﹣36y； （2）mn2+6mn+9m．
【点拨】（1）先提取公因式y，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解析】解：（1）x2y﹣36y
＝y（x2﹣36）
＝y（x+6）（x﹣6）；
（2）mn2+6mn+9m
＝m（n2+6n+9）
＝m（n+3）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解答本题的关键是明确一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
5．（2023春 东城区校级期末）分解因式：
（1）4b2+4b+1； （2）﹣x2+2xy﹣y2．
【点拨】（1）根据完全平方公式即可进行因式分解；
（2）先提取公因式﹣1，再根据完全平方公式即可进行因式分解．
【解析】解：（1）原式＝（2b）2+2×2b×1+12
＝（2b+1）2；
（2）原式＝﹣（x2﹣2xy+y2）
＝﹣（x﹣y）2．
【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
6．（2023秋 博兴县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2； （2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
【点拨】（1）原式运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解析】解：（1）原式＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（3x﹣2+2x+7）（3x﹣2﹣2x﹣7）
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）；
（2）原式＝22+2×2×[3（x﹣y）]+[3（x﹣y）]2
＝[2+3（x﹣y）]2
＝（3x﹣3y+2）2．
【点睛】此题考查了分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键．
7．（2021秋 叙州区期末）先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式．
【点拨】根据材料，找出规律，再解答．
【解析】解：x4+64，
＝x4+16x2+64﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣16x2，
＝（x2+8）2﹣（4x）2，
＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）．
【点睛】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．
知识点四 因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
【典例4】（2023秋 广饶县期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n）C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）
【点拨】根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法，从而得到等式．
【解析】解：观察图形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
【变式训练】
1．（2023秋 洪山区期末）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
【点拨】把a2﹣2a﹣1＝0进行整理，得出a2﹣2a＝1，再将2a3﹣a2﹣8a+4变形，将前面的代入即可．
【解析】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a3﹣a2﹣8a+4
＝2a a2﹣a2﹣8a+4
＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4
＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4
＝3a2﹣6a+4
＝3（a2﹣2a）+4
＝3×1+4
＝7．
故选：B．
【点睛】本题考查了求代数式的值，把原式进行变形整理是解题的关键．
2．（2023秋 槐荫区期末）利用因式分解计算2023×2024﹣20232＝（ ）
A．1 B．2023 C．2024 D．20232
【点拨】提取公因式2023，再化简，整理即可．
【解析】解：2023×2024﹣20232＝2023（2024﹣2023）＝2023×1＝2023．
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的应用．找到公因式并合理提取是解决本题的关键．
3．（2023秋 保定期末）若n为任意整数，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值不一定能（ ）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
【点拨】根据平方差公式将题目中的式子因式分解，然后即可发现（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值不一定能被哪个数整除．
【解析】解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值一定能被2，4，8整除，但是不一定能被6整除，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式因式分解．
4．（2023秋 霍林郭勒市校级期末）已知x，y满足，则x2﹣9y2的值为（ ）
A．﹣5 B．4 C．5 D．25
【点拨】由平方差公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）将原式分解因式即可解答．
【解析】解：因为x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），
所以原式＝﹣1×5＝﹣5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方差公式，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键．
5．（2023秋 睢阳区期末）若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（ ）
A．±5 B．5 C．±4 D．4
【点拨】根据a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，可以得到（a+b）2＝25，然后即可得到a+b的值．
【解析】解：∵a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，
∴（a2+ab）+（b2+ab）＝（16+m）+（9﹣m），
∴（a+b）2＝25，
∴a+b＝±5，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．
6．（2023秋 奉化区期末）如果一个数能表示成2x2+2xy+y2（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．
（1）写出10，11，12，…，20中的“好数”．
（2）如果m，n都是“好数”，请分别判断m+n和mn一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由．
【点拨】（1）根据“好数”的意义判断，即可得出结论；
（2）举一个反例判断m+n即可；设 m＝a2+b2，n＝c2+d2 （a、b、c、d均为整数），则 mn＝（a2+b2）（c2+d2＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，依此即可求解．
【解析】解：（1）∵一个“好数”能表示成 2x2+2xy+y2＝x2+（x+y）2，（x，y是整数），
∴10，11，12，…，20中，
10＝（2+1）2+12、13＝（1+2）2+22、16＝02+（0+4）2、17＝（1+3）2+12，18＝（0+3）2+32、20＝（2+2）2+22，
能表示成2x2+2xy+y2（x，y是整数），
故“好数”有：10、13、16、17、18、20；
（2）∵一个“好数”能表示成 2x2+2xy+y2＝x2+（x+y）2，（x，y是整数），
∴一个数能够表示成两个整数的平方和，这个数即为“好数”，
判断：m+n 不一定是“好数”，
若m＝1＝02+12，n＝2＝12+12，则m、n均为“好数”，
但m+n＝3，而3不能写成两个整数的平方和，不是“好数”，
∴当m、n为“好数”时，m+n 不一定是“好数”，
判断mn一定是“好数”，理由如下：
∵m、n为“好数”，
设 m＝a2+b2，n＝c2+d2，
则 mn＝（a2+b2）（c2+d2）
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝a2c2+2abcd+b2d2+a2d2﹣2abcd+b2c2
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，
∵a、b、c、d均为整数，
∴ac+bd、ad﹣bc为整数，
∴mn一定是“好数”．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，完全平方数，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
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专题07 因式分解及其应用
知识点一 因式分解的概念
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 其实质是多项式的恒等变形，和整式乘法是互逆关系.
【典例1】（2023秋 保定期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2﹣2a+3＝a（a﹣2）+3
C．x2 5x＝5x3 D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
【变式训练】
2．（2023秋 自贡期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．2x（x﹣3）＝2x2﹣6x B．12m2n＝3m2 4n
C．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
3．（2023秋 河西区期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．x2﹣x+1＝（x﹣1）2
4．（2023秋 泗水县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6a2b2＝3ab 2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣4
知识点二 提公因式法因式分解
1.公因式：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.
2.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把公因式提取出来进行因式分解.
3.提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式；
（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式
4.填括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
【典例2】（2023秋 衡阳期末）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（ ）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
【变式训练】
1．（2023秋 莱西市期末）多项式3m2+6mn的公因式是（ ）
A．3 B．m C．3m D．3n
2．（2023秋 阿图什市校级期末）多项式a（x2﹣2x+1）与多项式（x﹣1）（x+1）的公因式是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2+1 D．x2
3．（2023秋 临淄区期末）下列各组代数式中，没有公因式的是（ ）
A．ax+y和x+y B．2x和4y C．a﹣b和b﹣a D．﹣x2+xy和y﹣x
4．（2023秋 朝阳区校级期末）分解因式：a2﹣4ab＝ ．
5．（2024 邗江区校级三模）分解因式：（a﹣2）2+4（a﹣2）＝ ．
6．（2024春 永定区期中）把下列各式分解因式：
（1）24a2b﹣18ab2； （2）m（a﹣3）+2m2（3﹣a）．
7．（2023秋 泸县校级期末）因式分解：（2x﹣y）（x+3y）﹣（2x+3y）（y﹣2x）．
8．（2022春 市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
知识点三 公式法因式分解
平方差公式：
完全平方公式：
是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式，
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式。
【典例3】（2023秋 乐山期末）因式分解：
（1）x2﹣9； （2）（m2﹣5）2+2（m2﹣5）+1．
【变式训练】
1．（2023秋 樊城区期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2
2．（2023秋 淄川区期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．9x2﹣16y2 B．4x2﹣4x+1 C．x2+xy+y2 D．9﹣3x+x2
3．（2023春 振兴区校级期末）分解因式：
（1）2（m﹣n）2+m（n﹣m）； （2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
4．（2023秋 宁河区期末）分解因式
（1）x2y﹣36y； （2）mn2+6mn+9m．
5．（2023春 东城区校级期末）分解因式：
（1）4b2+4b+1； （2）﹣x2+2xy﹣y2．
6．（2023秋 博兴县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2； （2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
（2021秋 叙州区期末）先阅读，再分解因式：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式．
知识点四 因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
【典例4】（2023秋 广饶县期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n）C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）
【变式训练】
1．（2023秋 洪山区期末）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
2．（2023秋 槐荫区期末）利用因式分解计算2023×2024﹣20232＝（ ）
A．1 B．2023 C．2024 D．20232
3．（2023秋 保定期末）若n为任意整数，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值不一定能（ ）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
4．（2023秋 霍林郭勒市校级期末）已知x，y满足，则x2﹣9y2的值为（ ）
A．﹣5 B．4 C．5 D．25
5．（2023秋 睢阳区期末）若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（ ）
A．±5 B．5 C．±4 D．4
6．（2023秋 奉化区期末）如果一个数能表示成2x2+2xy+y2（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．
（1）写出10，11，12，…，20中的“好数”．
（2）如果m，n都是“好数”，请分别判断m+n和mn一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由．
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