【北师大版七上同步练习】 3.3 轴对称和坐标变化（含答案）

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【北师大版七上同步练习】
3.3轴对称和坐标变化
一、单选题
1．点关于轴的对称点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2． 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
4．在平面直角坐标系中，有点，点A关于y轴的对称点是（　　）
A． B． C． D．
5．已知点A（1，﹣3）关于y轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
二、填空题
6．若点关于y轴的对称点是点，则a=　 　．
7．若点与关于原点中心对称，则的值为　 　．
8．平面直角坐标系中有一点A（1，1）对点A进行如下操作：
第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1；
第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3；
第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5；
……
则点A2的坐标为　 　，点A2015的坐标为　 　；
若点An的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式　 　．
三、计算题
9．已知点A 和点B 关于 轴对称，求 的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上.
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各个顶点的坐标.
四、解答题
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标；A1（，）．
12． 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）点C关于原点对称的点的坐标为 　 　；
（2）画出△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的图形△A1B1C1，写出△A1B1C1各顶点的坐标．
13．在直角坐标系中，已知A（1，5），B（﹣4，﹣2），C（1，0）三点．
（1）点A关于x轴的对称的A′的坐标为　 　；点B关于y轴的对称点B′的坐标为　 　；点C关于y轴的对称点C′的坐标为　 　．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
五、综合题
14．△ABC在直角坐标系内的位置如图所示．
（1）在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称；
（2）求△ABC的面积．
15．如图，在平面直角坐标系中，，是的顶点.
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出点的坐标　 　；
（3）求的长.
16．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
六、实践探究题
17．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
18． 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为　 　，点的“横负纵变点”为　 　；
（2）化简：；
（3）已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是　 　．
19．
（1）【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为　 　；
（2）【实践探究】
小睿受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，求点关于直线OP的对称点的坐标（用含a，b的式子表示）；
（3）【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，直接写出点关于直线OP的对称点的坐标（用含的式子表示），小博经过探究得出直线OP上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1：2，点的纵坐标为，请帮助小博完成问题．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
2．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
3．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
4．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
5．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
6．【答案】-2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
7．【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
8．【答案】（1，﹣2）；（2503，2504）；m=n．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
9．【答案】解：∵点A ，点B 关于 轴对称，
∴ ，解得
∴
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
10．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解： A1（0，1）、B1（ 3，3）、C1（ 1，4）．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
11．【答案】解：如图所示：A1( 3， 2)，
故答案为：A1（-3，-2）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
12．【答案】（1）（1，﹣3）
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求，A1（5，3），B1（1，2），C1（3，1）．
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
13．【答案】（1）（1，﹣5）；（4，﹣2）；（﹣1，0）
（2）解：S△A′B′B′=S△ABC= AC |xB|= ×5×5=12.5.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
14．【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）解：△ABC的面积为：4×3﹣ ×1×4﹣ ×3×2﹣ ×2×2=5
【知识点】点的坐标；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
15．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）C1（1，-1）
（3）解：AC1==5.
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
16．【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
17．【答案】（1）解：∵，，C是中点，
∴，，
；
，，D是中点
，，
；
（2）解：F是在x轴上，理由如下：
，点A是B关于y轴的对称点，
，
是中点，D是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，
，，
轴，且，
是在x轴上；
（3）解：①，，C是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点E，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点E.延长至F，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②
【知识点】二次函数的最值；关于坐标轴对称的点的坐标特征；线段的中点；点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2的图象
18．【答案】（1）；
（2）解：
（3）
【知识点】二次根式的性质与化简；关于坐标轴对称的点的坐标特征；定义新运算；完全平方式
19．【答案】（1）
（2）解：过点作轴，交直线OP于点，连接BQ，
点，点关于直线OP对称，
在和中，
，
，
点的坐标为，
，
轴，
，
，
点坐标为，
点，
，
轴，
轴，
，
点的坐标为；
（3）解：过点作轴，交直线OP于点，
点，点头于直线OP对称，
，
轴，
，
在和中，
，
，
轴，点纵坐标为，
点纵坐标为，
∵直线OP上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1：2，
点横坐标为，
，
点横坐标为，
得点的坐标为．
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
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