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2023-2024学年湘教版八年级(下)期末数学模拟试卷2
姓名:__________班级:__________考号:__________总分__________
题号 一 二 三 总分
得分
1 、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.C.D.
如图,将“笑脸”图标向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P'的坐标是( )
A.(﹣1,6) B.(﹣9,6) C.(﹣1,2) D.(﹣9,2)
如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第一象限,点A的坐标是(4,3),把△ABC向左平移6个单位长度,得到△A1B1C1,则点B1的坐标是( )
A.(﹣2,3) B.(3,﹣1) C.(﹣3,1) D.(﹣5,2)
一个五边形的内角和为( )
A.540° B.450° C.360° D.180°
株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下,则馆内人数变化最大时间段为( )
9:00﹣10:00 10:00﹣11:00 14:00﹣15:00 15:00﹣16:00
进馆人数 50 24 55 32
出馆人数 30 65 28 45
A.9:00﹣10:00 B.10:00﹣11:00 C.14:00﹣15:00 D.15:00﹣16:00
如图,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则点C的坐标是( )
A.(0,) B.(0,) C.(0,1) D.(0,2)
如图,已知某菱形花坛ABCD的周长是24m,∠BAD=120°,则花坛对角线AC的长是( )
A. m B. 6m C. m D.3m
如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( )
A.13cm B.cm C.cm D.cm
如图,直线y=kx+b经过A(2,1),B(﹣1,﹣2)两点,则不等式x>kx+b>﹣2的解集为( )
A. x<2 B. x>﹣1 C. x<1或x>2 D. ﹣1<x<2
把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案,顶点A,D互相重合,中间空白部分是以E为直角顶点,腰长为2cm的等腰直角三角形,则纸片的长AD(单位:cm)为( )
A. B. C. D.
如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,点P和点Q分别从点B和点C出发,沿射线BC向右运动,且速度相同,过点Q作QH⊥BD,垂足为H,连接PH,设点P运动的距离为x(0<x≤2),△BPH的面积为S,则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为 ( )
A. B.C.D.
如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于( )
A.2 B. C. D.
1 、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
若一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形的边数为 .
记录某足球队全年比赛结果(“胜”、“负”、“平”)的条形统计图和扇形统计图(不完整)如下:
根据图中信息,该足球队全年比赛胜了 场.
阅读材料:设=(x1,y1),=(x2,y2),如果∥,则x1 y2=x2 y1,根据该材料填空,已知=(4,3),=(8,m),且∥,则m= .
如图,四边形中,是AB上一动点,则的最小值是________________
如图,点E,F分别在 ABCD的边AB,CD的延长线上,连接EF,分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEG≌△CFH,这个条件可以是 .(只需写一种情况)
如图,直线y=x上有点A1,A2,A3,…An+1,且OA1=1,A1A2=2,A2A3=4,AnAn+1=2n,分别过点A1,A2,A3,…An+1作直线y=x的垂线,交y轴于点B1,B2,B3,…Bn+1,依次连接A1B2,A2B3,A3B4,…AnBn+1,得到△A1B1B2,△A2B2B3,△A3B3B4,…,△AnBnBn+1,则△AnBnBn+1的面积为 .(用含正整数n的式子表示)
1 、解答题(本大题共8小题,共66分)
如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:AE=CE.
如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣2,3),B(﹣3,0),C(﹣1,﹣1).将△ABC平移后得到△A'B'C',且点A的对应点是A'(2,3),点B、C的对应点分别是B'、C'.
(1)点A.A'之间的距离是
(2)请在图中画出△A'B'C'.
如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A.B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.
①求证:EC=BD,
②若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理.
在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+1(k≠0)与直线x=k,直线y=﹣k分别交于点A,B,直线x=k与直线y=﹣k交于点C.
(1)求直线l与y轴的交点坐标,
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记线段AB,BC,CA围成的区域(不含边界)为W.
①当k=2时,结合函数图象,求区域W内的整点个数,
②若区域W内没有整点,直接写出k的取值范围.
在贯彻落实“五育并举”的工作中,某校开设了五个社团活动:传统国学A.、科技兴趣(B)、民族体育(C)、艺术鉴赏(D)、劳技实践(E),每个学生每个学期只参加一个社团活动.为了了解本学期学生参加社团活动的情况,学校随机抽取了若干名学生进行调查,并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图.请根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有 人;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,传统国学A.对应扇形的圆心角度数是 ;
(4)若该校有2700名学生,请估算本学期参加艺术鉴赏(D)活动的学生人数.
某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证100元,只限本人当年使用,凭证游泳每次再付费5元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为(为正整数).
(Ⅰ)根据题意,填写下表:
游泳次数 10 15 20 …
方式一的总费用(元) 150 175 …
方式二的总费用(元) 90 135 …
(Ⅱ)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元,选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多?
(Ⅲ)当时,小明选择哪种付费方式更合算?并说明理由.
如图,点B、E分别在AC、DF上,AF分别交BD、CE于点M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形;
(2)已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.
定义:对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d,我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
(1)若m=3,n=1,试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”,并说明理由,
(2)设函数y1=x﹣p﹣2与y2=﹣x+3p的图像相交于点P.
①若m+n>1,点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方,求p的取值范围,
②若p≠1,函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值,对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
答案解析
1 、选择题
【考点】中心对称图形,轴对称图形.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,由此即可判断.
解:A.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故A不符合题意,
B、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故B不符合题意,
C、既是中心对称图形,又是轴对称图形,故C符合题意,
D、是中心对称图形,但不是轴对称图形,故D不符合题意,
故选:C.
【点评】本题考查轴对称图形,中心对称图形,关键是掌握轴对称图形,中心对称图形的定义.
【考点】坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减即可解决问题;
解:由题意P(﹣5,4),向右平移4个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P'的坐标是(﹣1,2),
故选:C.
【点评】本题考查坐标与平移,解题的关键是记住平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,属于中考常考题型.
【考点】坐标与图形的变化﹣平移
【分析】根据点的平移的规律:向左平移a个单位,坐标P(x,y) P(x﹣a,y),据此求解可得.
解:∵点B的坐标为(3,1),
∴向左平移6个单位后,点B1的坐标(﹣3,1),
故选:C.
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移,解题的关键是掌握点的坐标的平移规律:横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减.
【考点】多边形内角与外角
【分析】直接利用多边形的内角和公式进行计算即可.
解:解:根据正多边形内角和公式:180°×(5﹣2)=540°,
答:一个五边形的内角和是540度,
故选:A.
【点评】此题主要考查了正多边形内角和,关键是掌握内角和的计算公式.
【考点】统计表.
【分析】直接利用统计表中人数的变化范围得出馆内人数变化最大时间段.
解:由统计表可得:10:00﹣11:00,进馆24人,出馆65人,差之最大,
故选:B.
【点评】此题主要考查了统计表,正确利用表格获取正确信息是解题关键.
【考点】勾股定理,坐标与图形变化﹣对称,全等三角形的判定与性质,待定系数法求一次函数解析式
【分析】延长AC交x轴于点D,利用反射定律,推出等角,再证△COD≌△COB(ASA),已知点B坐标,从而得点D坐标,利用A,D两点坐标,求出直线AD的解析式,从而可求得点C坐标.
解:如图所示,延长AC交 x轴于点D.
∵这束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后经过点B(1,0),
∴设C(0,c),由反射定律可知,
∠1=∠OCD
∴∠OCB=∠OCD
∵CO⊥DB于O
∴∠COD=∠BOC
∴在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB(ASA)
∴OD=OB=1
∴D(﹣1,0)
设直线AD的解析式为y=kx+b,则将点A(4,4),点D(﹣1,0)代入得
∴
∴直线AD为y=
∴点C坐标为(0,).
故选:B.
【点评】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点,综合性较强,难度略大.
【考点】菱形的性质.
【分析】易知△ABC为等边三角形,所以AC=AB 再在Rt△AOB中,根据勾股定理求得OA
AC=2OA
解:.∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米),
∵∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴BD=AB=6(米),OD=OB=3(米),
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:OA==3(米),
则AC=2OA=6米,
故选A.
【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质.注意证得△ABC是等边三角形是解此题的关键.
【考点】平面展开-最短路径问题..
【分析】将容器侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
解:如图:
∵高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,
此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处,
∴A′D=5cm,BD=12﹣3+AE=12cm,
∴将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′B,则A′B即为最短距离,
A′B=
=
=13(Cm).
故选:A.
【点评】本题考查了平面展开---最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.
【考点】一次函数与一元一次不等式.
【分析】由于直线y=kx+b经过A(2,1),B(﹣1,﹣2)两点,那么把A.B两点的坐标代入y=kx+b,用待定系数法求出k、b的值,然后解不等式组x>kx+b>﹣2,即可求出解集.
解:把A(2,1),B(﹣1,﹣2)两点的坐标代入y=kx+b,
得:,
解得:.
解不等式组:x>x﹣1>﹣2,
得:﹣1<x<2.
故选D.
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式及一元一次不等式组的解法.本题中正确地求出k与b的值是解题的关键.
【考点】翻折变换,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的性质
【分析】如图,过点M作MH⊥A'R于H,过点N作NJ⊥A'W于J.想办法求出AR,RM,MN,NW,WD即可解决问题.
解:如图,过点M作MH⊥A'R于H,过点N作NJ⊥A'W于J.
由题意△EMN是等腰直角三角形,EM=EN=2,MN=
∵四边形EMHK是矩形,
∴EK= A'K=MH=1,KH=EM=2,
∵△RMH是等腰直角三角形,
∴RH=MH=1,RM=,同法可证NW=,
题意AR=R A'= A'W=WD=4,
∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=.
故答案为:D.
【点评】本题考查翻折变换,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形或特殊四边形解决问题.
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】根据菱形的性质得到∠DBC=60°,根据直角三角形的性质得到BH=BQ=1+x,过H作HG⊥BC,得到HG=BH=+x,根据三角形的面积公式即可得到结论.
解:∵菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,
∴∠DBC=60°,
∵BQ=2+x,QH⊥BD,
∴BH=BQ=1+x,
过H作HG⊥BC,
∴HG=BH=+x,
∴S=PB GH=x2+x,(0<x≤2),
故选A.
【点评】本题考查了动点问题的函数图象,菱形的性质,直角三角形的性质,三角形的面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.
【考点】翻折变换(折叠问题);直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
【分析】如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.首先证明AD垂直平分线段BE,△BCE是直角三角形,求出BC、BE,在Rt△BCE中,利用勾股定理即可解决问题.
解:如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,
∴BC==5,
∵CD=DB,
∴AD=DC=DB=,
∵ BC AH= AB AC,
∴AH=,
∵AE=AB,
∴点A在BE的垂直平分线上.
∵DE=DB=DC,
∴点D在BE使得垂直平分线上,△BCE是直角三角形,
∴AD垂直平分线段BE,
∵ AD BO= BD AH,
∴OB=,
∴BE=2OB=,
在Rt△BCE中,EC===,
故选D.
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用面积法求高,属于中考常考题型.
1 、填空题
【考点】多边形内角与外角
【分析】设多边形的边数为n,根据题意得出方程(n﹣2)×180°=360°,求出即可.
解:设多边形的边数为n,
则(n﹣2)×180°=360°,
解得:n=4,
故答案为:4.
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理,能根据题意列出方程是解此题的关键.
【考点】条形统计图;扇形统计图.
【分析】根据统计图中的数据可以求得比赛总场数,从而可以求得足球队全年比赛胜的场数.
解:由统计图可得,
比赛场数为:10÷20%=50,
胜的场数为:50×(1﹣20%﹣20%)=50×60%=30,
故答案为:30.
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
【考点】点的坐标
【分析】根据材料可以得到等式4m=3×8,即可求m,
解:∵=(4,3),=(8,m),且∥,
∴4m=3×8,
∴m=6,
故答案为6,
【点评】本题考查新定义,点的坐标,理解阅读材料的内容,转化为所学知识求解是关键.
【考点】勾股定理,轴对称-最短路线问题
【分析】作C点关于AB的对称点C’,连接C’D,的最小值即为C’D的长,作C’E⊥DA的延长线于点E,根据勾股定理即可求解.
解:如图,作C点关于AB的对称点C’,连接C’D,的最小值即为C’D的长,
作C’E⊥DA的延长线于点E,
∴四边形ABC’E是矩形
∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,
∴C’D=
故答案为:.
【点评】此题主要考查对称性的应用,解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用.
【考点】平行四边形的性质;全等三角形的性质.
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,根据全等三角形的判定可得出结论.
解:添加BE=DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,AB=CD,
∴∠E=∠F,
∵BE=DF,
∴BE+AB=CD+DF,
即AE=CF,
在△AEG和△CFH中,
,
∴△AEG≌△CFH(ASA).
故答案为:BE=DF(答案不唯一).
【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定,平行线的性质,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
【考点】一次函数图象上点的坐标特征.
【分析】由直线OAn的解析式可得出∠AnOBn=60°,结合AnAn+1=2n可求出AnBn的值,再根据三角形的面积公式即可求出△AnBnBn+1的面积.
解:∵直线OAn的解析式y=x,
∴∠AnOBn=60°.
∵OA1=1,A1A2=2,A2A3=4,AnAn+1=2n,
∴A1B1=,A2B2=3,A3B3=7.
设S=1+2+4+…+2n﹣1,则2S=2+4+8+…+2n,
∴S=2S﹣S=(2+4+8+…+2n)﹣(1+2+4+…+2n﹣1)=2n﹣1,
∴AnBn=(2n﹣1).
∴=AnBn AnAn+1=×(2n﹣1)×2n=(22n﹣1﹣2n﹣1).
故答案为:(22n﹣1﹣2n﹣1).
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解直角三角形以及规律型中数的变化规律,根据边的变化找出变化规律“AnBn=(2n﹣1)”是解题的关键.
1 、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质
【分析】过点B作BF⊥CE于F,根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形,根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证,
证明:如图,过点B作BF⊥CE于F,
∵CE⊥AD,
∴∠D+∠DCE=90°,
∵∠BCD=90°,
∴∠BCF+∠DCE=90°,
∴∠BCF=∠D,
在△BCF和△CDE中,,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∴BF=CE,
又∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,
∴四边形AEFB是矩形,
∴AE=BF,
∴AE=CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,难度中等,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键
【考点】作图﹣平移变换,坐标与图形变化﹣平移.
【分析】(1)根据两点间的距离公式即可得到结论
(2)根据平移的性质作出图形即可.
解:(1)∵A(﹣2,3),A'(2,3),
∴点A.A'之间的距离是2﹣(﹣2)=4,
故答案为:4
(2)如图所示,△A'B'C'即为所求.
【点评】本题考查作图﹣平移变换,解题的关键是掌握平移变换的性质.
【考点】全等三角形的判定与性质,勾股定理的证明,等腰直角三角形
【分析】①通过AAS证得△CAE≌△BCD,根据全等三角形的对应边相等证得结论,
②利用等面积法证得勾股定理.
①证明:∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCD=90°.
∵∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠CAE=∠BCD.
在△AEC与△BCD中,
∴△CAE≌△BCD(AAS).
∴EC=BD,
②解:由①知:BD=CE=a
CD=AE=b
∴S梯形AEDB=(a+b)(a+b)
=a2+ab+b2.
又∵S梯形AEDB=S△AEC+S△BCD+S△ABC
=ab+ab+c2
=ab+c2.
∴a2+ab+b2=ab+c2.
整理,得a2+b2=c2.
【点评】主要考查了同角的余角相等,全等三角形的判定和性质,勾股定理的证明,解本题的关键是判断两三角形全等.
【考点】一次函数图象上点的坐标特征
【分析】(1)令x=0,y=1,直线l与y轴的交点坐标(0,1),
(2)①当k=2时,A(2,5),B(﹣,﹣2),C(2,﹣2),在W区域内有6个整数点,②当x=k+1时,y=﹣k+1,则有k2+2k=0,k=﹣2,当0>k≥﹣1时,W内没有整数点,
解:(1)令x=0,y=1,
∴直线l与y轴的交点坐标(0,1),
(2)由题意,A(k,k2+1),B(,﹣k),C(k,﹣k),
①当k=2时,A(2,5),B(﹣,﹣2),C(2,﹣2),
在W区域内有6个整数点:(0,0),(0,﹣1),(1,0),(1,﹣1),(1,1),(1,2),
②直线AB的解析式y=kx+1,
当x=k+1,y=﹣k+1,则有k2+2k=0,
∴k=﹣2,
当﹣1≤k<0时,W内没有整数点,
∴当k=﹣2或﹣1≤k<0时,W内没有整数点,
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征,能够数形结合解题,根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)用E社团人数除以20%即可得出样本容量;
(2)用样本容量分别减去其它社团人数,即可得出C社团人数,进而补全条形统计图;
(3)用360°乘A社团人数所占比例即可得出传统国学A.对应扇形的圆心角度数;
(4)利用样本估计总体即可.
解:(1)本次调查的学生共有:18÷20%=90(人),
故答案为:90;
(2)C社团人数为:90﹣30﹣10﹣10﹣18=22(人),
补全条形统计图如下:
(3)在扇形统计图中,传统国学A.对应扇形的圆心角度数是360°×=120°,
故答案为:120°;
(4)2700×=300(人),
答:该校本学期参加艺术鉴赏(D)活动的学生人数大约有300人.
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法,掌握两个统计图中数量关系是正确解答的前提.
【考点】一次函数的应用
【分析】(Ⅰ)根据题意得两种付费方式 ,进行填表即可;
(Ⅱ)根据(1)知两种方式的关系,列出方程求解即可;
(Ⅲ)当时,作差比较即可得解.
解:(Ⅰ)200,,180,.
(Ⅱ)方式一:,解得.
方式二:,解得.
∵,
∴小明选择方式一游泳次数比较多.
(Ⅲ)设方式一与方式二的总费用的差为元.
则,即.
当时,即,得.
∴当时,小明选择这两种方式一样合算.
∵,
∴随的增大而减小.
∴当时,有,小明选择方式二更合算;
当时,有,小明选择方式一更合算.
【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数的性质解答.
【考点】平行四边形的判定与性质.
【分析】(1)由已知角相等,利用对顶角相等,等量代换得到同位角相等,进而得出DB与EC平行,再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行,即可得证;
(2)由角平分线得到一对角相等,再由两直线平行内错角相等,等量代换得到一对角相等,再利用等角对等边得到CN=BC,再由平行四边形对边相等即可确定出所求.
(1)证明:∵∠A=∠F,
∴DE∥BC,
∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF,
∴∠DMF=∠2,
∴DB∥EC,
则四边形BCED为平行四边形;
(2)解:∵BN平分∠DBC,
∴∠DBN=∠CBN,
∵EC∥DB,
∴∠CNB=∠DBN,
∴∠CNB=∠CBN,
∴CN=BC=DE=2.
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.
【考点】一次函数综合题.
【分析】(1)由y=5x+2=3(x+1)+(2x﹣1),可知函数y=5x+2是函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”,
(2)①由得P(2p+1,p﹣1),当x=2p+1时,y=m(2p+1﹣p﹣2)+n(﹣2p﹣1+3p)=(p﹣1)(m+n),根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方,有p﹣1>(p﹣1)(m+n),而m+n>1,可得p<1,
②由函数y1、y2的“组合函数”y=m(x﹣p﹣2)+n(﹣x+3p)图象经过点P,知p﹣1=m(2p+1﹣p﹣2)+n(﹣2p﹣1+3p),即(p﹣1)(1﹣m﹣n)=0,而p≠1,即得n=1﹣m,可得y=(2m﹣1)x+3p﹣(4p+2)m,令y=0得(2m﹣1)x+3p﹣(4p+2)m=0,即(3﹣4m)p+(2m﹣1)x﹣2m=0,即可得m=时,“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变,Q(3,0).
解:(1)函数y=5x+2是函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”,理由如下:
∵3(x+1)+(2x﹣1)=3x+3+2x﹣1=5x+2,
∴y=5x+2=3(x+1)+(2x﹣1),
∴函数y=5x+2是函数y1=x+1、y2=2x﹣1的“组合函数”,
(2)①由得,
∴P(2p+1,p﹣1),
∵y1、y2的“组合函数”为y=m(x﹣p﹣2)+n(﹣x+3p),
∴x=2p+1时,y=m(2p+1﹣p﹣2)+n(﹣2p﹣1+3p)=(p﹣1)(m+n),
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方,
∴p﹣1>(p﹣1)(m+n),
∴(p﹣1)(1﹣m﹣n)>0,
∵m+n>1,
∴1﹣m﹣n<0,
∴p﹣1<0,
∴p<1,
②存在m=时,对于不等于1的任意实数p,都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变,Q(3,0),理由如下:
由①知,P(2p+1,p﹣1),
∵函数y1、y2的“组合函数”y=m(x﹣p﹣2)+n(﹣x+3p)图象经过点P,
∴p﹣1=m(2p+1﹣p﹣2)+n(﹣2p﹣1+3p),
∴(p﹣1)(1﹣m﹣n)=0,
∵p≠1,
∴1﹣m﹣n=0,有n=1﹣m,
∴y=m(x﹣p﹣2)+n(﹣x+3p)=m(x﹣p﹣2)+(1﹣m)(﹣x+3p)=(2m﹣1)x+3p﹣(4p+2)m,
令y=0得(2m﹣1)x+3p﹣(4p+2)m=0,
变形整理得:(3﹣4m)p+(2m﹣1)x﹣2m=0,
∴当3﹣4m=0,即m=时,x﹣=0,
∴x=3,
∴m=时,“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变,Q(3,0).
【点评】本题考查一次函数综合应用,涉及新定义,函数图象上点坐标的特征,一次函数与一次方程的关系等,解题的关键是读懂“组合函数“的定义.
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