3．1 椭 圆
3.1.1 椭圆的标准方程(1)
一、 单项选择题
1 (2023滁州明光三中月考)若曲线＋＝1表示椭圆，则实数t的取值范围是( )
A. (2，4)
B. (2，3)∪(3，4)
C. (－∞，2)∪(4，＋∞)
D. (4，＋∞)
2 若椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
3 若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(1，)，N，则椭圆C的标准方程为( )
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1
C. ＋y2＝1 D. x2＋＝1
4 (2023浙江A9协作体期中联考)若椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M到另外一个焦点的距离为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5 (2023广东六校联盟联考)若椭圆C：＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1＝2，则∠F1PF2的大小为( )
A. B.
C. D.
6 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3BF1.若AB＝4，△ABF2的周长为16，则AF2的长为( )
A. 7 B. 5
C. 3 D. 1
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是( )
A. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B. 已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
8 (2023大同期中)已知曲线C：＋＝1(λ>0)，则下列说法中正确的是( )
A. 当λ＝3时，曲线C是圆
B. 当λ＝2时，曲线C是椭圆，且一焦点的坐标为(2，0)
C. 当λ＝4时，曲线C是椭圆，且焦距为2
D. 当0<λ<3时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆
三、 填空题
9 (2023扬州高邮月考)若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的焦距为2，则实数m的值为________．
10 已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上的一点，且2F1F2＝PF1＋PF2，则椭圆的标准方程为______________________．
11 已知圆F1：(x＋2)2＋y2＝36，定点F2(2，0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹C的方程是______________．
四、 解答题
12 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，设椭圆C上的一点(，)到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
13 (2023惠州实验中学期中)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1和F2分别为椭圆的左、右焦点，焦距为6，且过点(3，8).
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若动直线l过点F2与椭圆交于A，B两点，求△ABF1的周长．
【答案解析】
3．1 椭 圆
3.1.1 椭圆的标准方程(1)
1. B 若曲线＋＝1表示椭圆，则解得2
2. C 由题意，得椭圆的焦点在y轴上，且a＝10，c＝8，所以b2＝a2－c2＝36，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
3. A 由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M，N，得＋＝1，＋＝1，解得a2＝3，b2＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
4. B 由椭圆方程可知a＝6，又椭圆上一点M到两焦点的距离和为2a＝12，所以点M到另一个焦点的距离为12－5＝7.
5. B 由题意，得a＝3，c＝，则PF2＝4.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝＝.又∠F1PF2∈(0，π)，所以∠F1PF2＝.
6. B 由AF1＝3BF1，AB＝4，得AF1＝3.因为△ABF2的周长为16，所以AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，解得a＝4，所以AF1＋AF2＝2a＝8，所以AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.
7. AC 对于A，因为F1F2＝8，所以平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确；对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于F1F2，这样的轨迹不存在，故B错误；对于C，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4＞F1F2＝8，其轨迹为椭圆，故C正确；对于D，轨迹为线段F1F2的垂直平分线，故D错误．故选AC.
8. AC 对于A，当λ＝3时，曲线C：x2＋y2＝6是圆，故A正确；对于B，当λ＝2时，曲线C：＋x2＝1是焦点在y轴上的椭圆，故B错误；对于C，当λ＝4时，曲线C：＋＝1是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以 2c＝2，故C正确；对于D，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，故D错误．故选AC.
9. 5 因为椭圆的焦距为2，所以c＝.因为椭圆的焦点在x轴上，所以10－m>m－2>0，解得210. ＋＝1 根据题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，则由已知得F1F2＝2，则c＝1.所以4＝PF1＋PF2＝2a，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
11. ＋＝1 由题意，得F1(－2，0).因为A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，所以PF2＝PA，所以PF2＋PF1＝PA＋PF1＝AF1＝6>F1F2＝4.根据椭圆的定义，得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b＝，所以点P的轨迹方程为＋＝1.
12. 因为椭圆上的一点到两焦点的距离之和为4，
所以2a＝4，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
因为点在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝3，则c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0).
13. (1) 因为椭圆的焦距为6，所以2c＝6，解得c＝3，
所以a2－b2＝9.①
又因为该椭圆过点(3，8)，所以＋＝1，②
由①②，解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 由(1)可知a＝9，
所以△ABF1的周长为AB＋AF1＋BF1＝AF2＋BF2＋AF1＋BF1＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝4a＝36.3．1.1 椭圆的标准方程(2)
一、 单项选择题
1 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在 y轴上，那么PF1∶PF2等于( )
A. 3∶5 B. 3∶4 C. 5∶3 D. 4∶3
2 (2023吕梁期中)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，M是椭圆C上一点，且MF1⊥F1F2，则cos ∠F1MF2的值为( )
A. B. C. D.
3 (2023哈尔滨师大附中期末)已知P是椭圆＋y2＝1上的动点，PM⊥x轴于点M.若＝，则点N的轨迹方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4 已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在椭圆上．若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是( )
A. B. ＋1
C. D. ＋1
5 (2023银川期末)已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，Q为线段PF2的中点．若△QOF2的周长为6，则椭圆C的焦距为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
6 已知P为椭圆C：x2＋＝1上的一点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点．设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－2，则椭圆C的一个焦点坐标为( )
A. (1，0) B. (0，1)
C. (0，) D. (0，2)
二、 多项选择题
7 已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同，且 a1＞a2.给出如下四个结论，其中正确的结论有( )
A. 椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点
B. a－a＝b－b
C. >
D. a1－a28 (2023内江资中二中月考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一个动点，则下列说法中正确的是( )
A. △F1PF2的周长为6
B. 若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为
C. 椭圆C上存在两个点，使得∠F1PF2＝90°
D. ＋的最小值为
三、 填空题
9 (2024哈尔滨九中月考)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则线段AF2的长为________．
10 (2023绥化肇东四中期末)如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若PF1＝4，∠F1PF2＝120°，则实数a的值为________．
11 已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的动点，则PM＋PN的取值范围是________．
四、 解答题
12 设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1≠PF2，求的值．
13 (2023福州闽侯一中月考)
(1) 求经过点P和点Q的椭圆的标准方程；
(2) 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆，此时拱顶离水面 2m，水面宽6m，当水位上升1m时，求水面的宽度．
【答案解析】
3．1.1 椭圆的标准方程(2)
1. C 因为线段PF1的中点在y轴上，原点为F1F2的中点，所以y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则PF－PF＝4c2＝4×(16－12)＝16.又PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3，所以PF1∶PF2＝5∶3.
2. A 由椭圆的方程，得F1(－，0)，F2(，0).因为MF1⊥F1F2，所以设M(－，y0).又点M(－，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，解得|y0|＝，即MF1＝，则MF2＝6－MF1＝，所以cos ∠F1MF2＝＝.
3. A 设P(x0，y0)，则＋y＝1.因为PM⊥x轴于点M，所以M(x0，0).设N(x，y)，由＝，得(x－x0，y－y0)＝(x0－x，－y)，则代入＋y＝1，得＋＝1，即点N的轨迹方程为＋＝1.
4. C 由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因为PF1－PF2＝2，所以PF1＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2，则PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2是以∠PF2F1为直角的直角三角形，所以S△PF1F2＝×2×1＝.
5. B 因为Q是PF2的中点，O是F1F2的中点，所以OQ＝PF1，所以△OQF2的周长是△PF1F2周长的一半．又△QOF2的周长为6，所以△PF1F2的周长是12，即PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝12，所以a＋c＝6.又a＝4，所以c＝2，2c＝4.故椭圆C的焦距为4.
6. B 设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，P(x，y)，且x≠±x0.由x2＋＝1，得y2＝n(1－x2)，所以y＝n(1－x)，k1k2＝·＝＝－n＝－2，所以n＝2，所以椭圆方程为x2＋＝1，焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，故选B.
7. ABD 由已知条件可得a－b＝a－b，即a－a＝b－b.因为a1>a2，所以b1>b2，所以两椭圆无公共点，故A正确；由a－a＝b－b，知B正确；若a1＝2，b1＝，a2＝，b2＝1，满足a－b＝a－b，但＝，＝，<，故C不正确；因为a1>b1>0，a2>b2>0，所以a1＋a2>b1＋b2>0.又(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a28. ABD 由椭圆C：＋＝1，得a2＝4，b2＝3，则c2＝1，所以a＝2，c＝1.因为P是椭圆上的一个动点，所以PF1＋PF2＝2a＝4.对于A，△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝6，故A正确；对于B，在△F1PF2中，由余弦定理可得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2，即F1F＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，即4＝16－3PF1·PF2，所以PF1·PF2＝4，所以△F1PF2的面积为PF1·PF2sin ∠F1PF2＝，故B正确；对于C，当点P位于椭圆的上顶点或下顶点时，∠F1PF2最大，此时PF1＝PF2＝2＝F1F2，即△F1PF2为等边三角形，所以∠F1PF2的最大值为60°，所以椭圆C上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故C错误；对于D，因为PF1＋PF2＝2a＝4，所以＋＝(＋)·(PF1＋PF2)＝≥(＋2)＝，当且仅当＝，即PF2＝2PF1＝时，等号成立，经检验，符合题意，所以＋的最小值为，故D正确．故选ABD.
9. 由＋＝1，得a2＝9，b2＝7，c2＝2，所以F1F2＝2，AF1＋AF2＝6，所以解得 AF2＝.
10. 3 由题意，得PF1＋PF2＝2a，则PF2＝2a－4.又c2＝a2－2，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理，得＝－，解得a＝3.
11. [7，13] 依题意，椭圆＋＝1的焦点分别是两圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1的圆心，所以(PM＋PN)max＝2×5＋3＝13，(PM＋PN)min＝2×5－3＝7，则PM＋PN的取值范围是[7，13].
12. 由已知，得PF1＋PF2＝6，F1F2＝2.
①若∠PF1F2为直角，则PF＋F1F＝PF，
即PF＋20＝(6－PF1)2，
解得PF1＝，PF2＝，
所以＝；
②若∠F1PF2为直角，则F1F＝PF＋PF，
即PF＋(6－PF1)2＝20，
解得或
所以＝或＝2；
③若∠PF2F1为直角，则PF＋F1F＝PF，
即(6－PF1)2＋20＝PF，
解得PF1＝，PF2＝，
所以＝.
综上所述，的值为或或或2.
13. (1) 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)，
因为点P，Q在椭圆上，
所以解得
所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2) 如图，以水面所在直线为x轴，水面的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
根据已知条件可知，桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为＋＝1，
当水位上升1 m时，水面的宽度即直线y＝1被椭圆所截的弦长．
把y＝1代入椭圆方程可得x＝±，
所以当水位上升1 m时，水面的宽度为3 m.3．1.2 椭圆的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝1，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
2 椭圆＋＝1与＋＝1(0A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于点F2，AB＝4，F1F2＝2，则椭圆的长轴长为( )
A. 6 B. 3 C. 2 D.
4 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，且一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，则该椭圆的左顶点为( )
A. (－2，0) B. (－3，0)
C. (－4，0) D. (－5，0)
5 若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为6，则椭圆的焦距为( )
A. 4 B. 8 C. 6 D. 8
6 (2023淄博实验中学期中)已知右焦点为F的椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且BF＝4CF，则椭圆E的离心率是( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 若曲线C的方程为＋＝1，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线C可能为圆
B. 若3＜k＜5，则曲线C为椭圆
C. 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则k越大，离心率越大
D. 若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则k越大，离心率越大
8 (2023邢台联考)已知椭圆C：＋＝1，则下列说法中正确的是( )
A. 椭圆C的长轴长为2
B. 椭圆C的焦距为6
C. 椭圆C的短半轴长为2
D. 椭圆C的离心率为
三、 填空题
9 已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是________．
10 已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝BF2，BF1＝2BF2，则椭圆C的标准方程为________．
11 (2023德阳期末)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且PQ＝F1F2，则△PF1Q的内切圆半径为________．
四、 解答题
12 (2023阳江两阳中学月考)已知椭圆＋＝1.
(1) 求椭圆的长轴长、短轴长及离心率；
(2) 求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且过点(，)的椭圆的标准方程．
13 (2023玉林博白五校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率 e＝.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若椭圆C的左焦点为F1，椭圆上一点A的横坐标为－1，求椭圆的长轴长、短轴长及△AF1O的面积S△AF1O.
【答案解析】
3．1.2 椭圆的几何性质(1)
1. B 由椭圆的标准方程＋＝1，得a2＝，b2＝，则c2＝，所以椭圆的离心率e＝＝.
2. D 因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.因为椭圆＋＝1(03. A 由题意，得c＝，＝4，因为c2＝a2－b2，所以a＝3，b＝，所以所求椭圆的长轴长为2a＝6.
4. D 圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心是(3，0)，所以椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是(3，0)，即c＝3.又椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为8，即b＝4，所以a＝＝5，所以椭圆的左顶点为(－5，0).
5. C 因为短轴长为6，即2b＝6，所以b＝3.又离心率为＝＝，解得a＝6，所以c2＝a2－b2＝27，则c＝3，故焦距2c＝6.
6. B 设椭圆的左焦点为F′，如图，连接AF′，BF′，CF′.因为点O分别平分FF′，AB，所以四边形FAF′B为平行四边形．又因为BF⊥AC，所以四边形FAF′B为矩形．设CF＝m(m>0)，则AF′＝BF＝4m，AF＝BF′＝2a－4m，CF′＝2a－m.在Rt△ACF′中，由AF′2＋AC2＝CF′2，得(4m)2＋(2a－3m)2＝(2a－m)2，整理，得am＝3m2，所以m＝.在Rt△AFF′中，由AF′2＋AF2＝FF′2，得＋＝4c2，所以＝，所以＝.
7. AC 当k＝4时，曲线C的方程为x2＋y2＝1，是圆心在原点，半径为1的圆，故A正确；当3＜k＜4或4＜k＜5时，曲线C表示椭圆，故B错误；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4＜k＜5，此时e＝＝，关于k单调递增，故C正确；若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜k＜4，此时e＝＝，关于k单调递减，故D错误．故选AC.
8. BD 因为椭圆C：＋＝1，所以a＝，b＝，c＝3，且椭圆C的焦点在y轴上，所以椭圆C的长轴长为2，焦距为6，短半轴长为，离心率e＝＝.故选BD.
9. ∪ 方程x2＋my2＝1表示椭圆，则m>0，且m≠1，标准方程为x2＋＝1.当01时，a2＝1，b2＝，则e2＝＝＝1－∈，解得m>.综上，实数m的取值范围是(0，)∪.
10. ＋＝1 设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，BF2＝2m，则AF2＝3m，BF1＝4m.由椭圆定义知BF1＋BF2＝AF1＋AF2＝6m，所以AF1＝6m－3m＝3m，所以AF1＝AF2，故A为椭圆的短轴端点．设A(0，b)，由＝，得B.又点B在椭圆上，故＋＝1，解得a2＝5.又c＝1，可得 b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.
11. 1 因为椭圆C：＋＝1，所以a＝4，c＝3.如图，连接QF1，QF2，PF1，PF2.由椭圆的对称性知，PF1∥F2Q，PF2∥F1Q.又PQ＝F1F2，所以四边形PF2QF1为矩形．设PF1＝m，F1Q＝n，则可得mn＝14.设△PF1Q的内切圆半径为r，则r(PF1＋F1Q＋PQ)＝S△PF1Q＝mn，即r×(8＋6)＝14，解得r＝1.
12. (1) 由题意可知a＝，b＝2，c＝1，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为4，离心率为.
(2) 因为椭圆＋＝1的焦点坐标为(±1，0)，
所以与其有相同焦点的椭圆的标准方程可设为＋＝1(A>1)，
将点代入，得＋＝1，
解得A2＝9或A2＝(舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
13. (1) 由题意，得2c＝2，＝，
解得c＝1，a＝2，
所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 由题意，得F1(－1，0)，椭圆的长轴长为2a＝4，短轴长为2b＝2.
将x＝－1代入＋＝1，得y＝±，
根据对称性，不妨设A，
显然AF1⊥x轴，
故S△AF1O＝OF1·AF1＝×1×＝.3．1.2 椭圆的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2023淮安期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上、下顶点分别为B1，B2，M是FB1的中点，若FB1⊥MB2，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
2 在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为( )
A. 30 cm B. 10 cm
C. 20 cm D. 10 cm
3 (2024遂宁射洪中学月考)椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.若直线BF与以 A为圆心，为半径的圆相切，则该椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
4 (2023西安长安一中期中)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为( )
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
5 设F1，F2分别为椭圆C：y2＋＝1(0A. B.
C. (0，] D. [，1)
6 (2023周口太康一中期中)如图，某颗人工智能卫星的运行轨道可近似看作以地心F1为一个焦点，且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l等于( )
A. 3r＋2R B. 2r＋3R
C. r＋2R D. r＋R
二、 多项选择题
7 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，A，B是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8 (2023福州外国语学校期中)已知椭圆E：＋＝1，则下列说法中正确的是( )
A. 若椭圆E的离心率为，则m＝8
B. 若m>9，则椭圆E的焦点坐标为(0，±)
C. 若0D. 不论m取何值，直线x＝－4都与椭圆E没有公共点
三、 填空题
9 若直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程为________．
10 (2023沈阳五校协作体期中)已知椭圆 ＋＝1，F1，F2为椭圆的两个焦点，O为坐标原点，P为椭圆上一点，且cos ∠F1PF2＝，则PO＝________．
11 已知A是圆C：x2＋y2＝9上一点，过点A作垂直于 x轴的直线，垂足为B，点P满足 ＝3.若点F1(－，0)，F2(，0)，则＋的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过点F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程．
13 设椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，且PF1⊥PF2.求：
(1) 椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；
(2) △F1PF2的面积；
(3) 点P的坐标．
【答案解析】
3．1.2 椭圆的几何性质(2)
1. C 由FB1⊥MB2，且M是FB1的中点，得B1B2＝B2F，即2b＝a，所以a2＝4b2＝4(a2－c2)，即＝，所以e＝＝.
2. C 在大椭圆中，a＝20 cm，b＝10 cm，则c＝＝10 cm，所以大椭圆的离心率e＝.因为两椭圆的扁平程度相同，所以离心率相等，所以在小椭圆中，离心率e′＝，结合题意知b′＝5 cm，所以(e′)2＝＝，解得a′＝10 cm，所以小椭圆的长轴长为20 cm.
3. B 由题意，得A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)，所以直线BF的方程为bx＋cy－bc＝0.又直线BF与以A为圆心，为半径的圆相切，所以＝，化简，得＝，可得离心率e＝＝.
4. D 因为椭圆C的焦距为8，所以F1F2＝2c＝8.由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，得PF1·PF2＝12，即PF1·PF2＝24.又PF＋PF＝F1F＝64，所以(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝112，即4a2＝112，解得a2＝28.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝12，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
5. C 由椭圆的性质知，当点P在椭圆左、右顶点时，∠F1PF2最大，所以若椭圆C上存在一点P使PF1⊥PF2，只需点P在椭圆左、右顶点时，∠F1PF2≥90°即可，此时cos ∠F1PF2＝≤0，即2a2≤4c2.又a2＝1，c2＝1－m2，所以1≤2(1－m2)，解得－≤m≤.又06. A 由题意，不妨以椭圆的中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).又e＝，且r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以该卫星远地点离地面的距离为a＋c－R＝＋－R＝r＋R.又e＝，所以r＋R＝r＋R＝3r＋2R.
7. ACD 由题意知2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1.当小球从点A出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)＝2；当小球从点A出发，经过右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)＝6；当小球从点A出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a＝8.故选ACD.
8. BCD 对于A，当椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上时，此时a＝3，c＝1，m＝b2＝a2－c2＝32－12＝8；当椭圆E：＋＝1的焦点在y轴上时，此时 a＝，b＝3，c＝＝，e＝＝＝，解得m＝.综上，若椭圆E的离心率为，则m＝8或m＝，故A错误；对于B，若m>9，则椭圆E的焦点在y轴上，a＝，b＝3，c＝＝，即椭圆E的焦点坐标为(0，±)，故B正确；对于C，若09. ＋y2＝1 直线x＋2y－2＝0中，令x＝0，解得y＝1；令y＝0，解得x＝2，故椭圆的右焦点坐标为(2，0)，上顶点坐标为(0，1)，则 c＝2，b＝1，则a＝＝，故椭圆的方程为＋y2＝1.
10. 由椭圆＋＝1，得a＝3，b＝，c＝，所以PF1＋PF2＝2a＝6①，则PF＋PF＋2PF1·PF2＝36.由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2＝(2)2.又cos ∠F1PF2＝，所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝12②.联立①②，解得PF1·PF2＝，所以PF＋PF＝21.又＝(＋)，所以PO＝||＝|＋|＝＝×＝.
11. 设P(x，y)，则B(x，0).因为＝3，所以A.将点A代入圆C：x2＋y2＝9，得＋＝1，则点P在椭圆E：＋＝1上，所以＋＝＝＝＝＝.又a－c≤PF1≤a＋c，即3－≤PF1≤3＋，则当PF1＝3时，－(PF1－3)2＋9最大，＋最小，且为；当PF1＝3－或 PF1＝3＋时，－(PF1－3)2＋9最小，＋最大，且为，即≤≤，即≤＋≤，所以＋的取值范围为.
12. 由题意，得△AF1B的周长为AB＋AF1＋BF1＝AF2＋AF1＋BF2＋BF1＝4a＝16，
所以a＝4.
因为椭圆的离心率为，
所以＝，则c＝2，
所以b2＝16－12＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
13. (1) 由题意知，a＝5，b＝3，c＝4，故长轴长为10，短轴长为6，焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，离心率为.
(2) 因为点P在椭圆上，
所以PF1＋PF2＝10，
则PF＋PF＋2PF1·PF2＝100.
又因为PF1⊥PF2，
所以PF＋PF＝4c2＝64，
所以PF1·PF2＝18，
所以△F1PF2的面积S△F1PF2＝PF1·PF2＝9.
(3) 设P(x，y).
由S△F1PF2＝F1F2·|y|，得y＝±.
将y＝±代入椭圆方程，得x＝±，
所以点P的坐标为或或(－，)或.3．1.2 椭圆的几何性质(3)
一、 单项选择题
1 已知椭圆＋＝1的离心率为，则实数k的值为( )
A. 4 B.
C. 4或－ D. 4或
2 已知P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点，点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3 (2023玉林期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点．若△F1PF2的面积等于2，且cos ∠F1PF2＝，则椭圆C的方程为( )
A. ＋y2＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4 (2023攀枝花期末)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为椭圆C上一点. 以P为圆心，PF2为半径的圆交y轴于A，B两点，则AB的最大值为( )
A. 4 B. C. D.
5 若AB是过椭圆＋＝1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
6 已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P是椭圆C上一点，点M(－2，－1)，当△MPF的周长最小时，其面积为( )
A. 12 B. 6 C. 8 D. 10
二、 多项选择题
7 已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆C的焦距为
B. 椭圆C的离心率为
C. 圆D在椭圆C的内部
D. PQ的最小值为
8 (2024湖北期末)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，则下列结论中正确的是( )
A. △ABF2的周长为12
B. 椭圆的离心率为
C. AF2＋BF2的最大值为
D. △ABF2面积的最大值为3
三、 填空题
9 已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为________．
10 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点．若BF2＋AF2＝12，则AB＝________．
11 已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(0四、 解答题
12 (2023河南月考)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且>2，求实数a的取值范围．
13 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P为直线x＝上一点，点Q在椭圆上，且FQ⊥FP.
(1) 若椭圆的离心率为，短轴长为2，求椭圆的方程；
(2) 若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
【答案解析】
3．1.2 椭圆的几何性质(3)
1. C 当焦点在x轴上时，k＋8>9，即k>1，且e2＝＝＝，解得k＝4；当焦点在y轴上时，02. B 因为点P到椭圆焦点的距离的最小值为2，最大值为18，所以解得所以椭圆的离心率为e＝＝.
3. C 因为椭圆的离心率为，所以可设a＝3m，c＝m(m>0)，则椭圆C的方程为＋＝1.由椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a＝6m，F1F2＝2c＝2m.在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝，由余弦定理可得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ∠F1PF2，所以F1F＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2(1＋cos ∠F1PF2)，即4m2＝36m2－2PF1·PF2(1＋)，所以PF1·PF2＝m2.又因为cos ∠F1PF2＝，∠F1PF2∈(0，π)，所以sin ∠F1PF2＝＝＝，则S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝×m2×＝2m2＝2，解得m2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1.
4. D 由题意，得F2(1，0).设P(2cos θ，sin θ)，以点P为圆心，PF2为半径的圆交y轴于A，B两点，则AB＝2＝2＝2＝2＝2≤，当且仅当cos θ＝－时，AB取得最大值.
5. A 由椭圆的方程为＋＝1，得a＝2，b＝2，则c＝2.不妨设F1(2，0)为椭圆的右焦点， AB是过椭圆中心的弦，则A，B关于原点对称，设A(x，y)，则B(－x，－y)，所以S△F1AB＝×2×2|y|＝2|y|.当A是椭圆的短轴顶点，即|y|＝2时，△F1AB的面积取得最大值4.
6. B 设A是椭圆的左焦点，如图，△MPF的周长为PM＋MF＋PF.又PA＋PF＝2a＝6，且|PA－MA|≤PM，由图知，PM＋MF＋PF≥PA－MA＋MF＋PF＝6＋MF－MA.由A(－3，0)，F(3，0)，得MF＝，MA＝，所以PM＋MF＋PF≥5＋，当且仅当A，M，P三点共线，且点M在点A，P之间时取等号，此时直线AM的方程为x＋y＋3＝0，联立椭圆方程，得x2＋2(x＋3)2＝18，整理，得3x2＋12x＝0，解得x＝0或x＝－4，由图知P(0，－3)，此时△MPF的面积为S△PAF－S△MAF＝×3×6－×1×6＝6.
7. BC 由＋y2＝1，得a2＝6，b2＝1，则c2＝5，所以焦距2c＝2，离心率e＝＝＝，故A错误，B正确；设P(x，y)，圆心D(－1，0)，半径为r＝，则PD＝＝＝>，故圆D在椭圆C的内部，故C正确；当PD取最小值时，PQ取最小值－＝，故D错误．故选BC.
8. AC 对于A，△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝12，故A正确；对于B，因为a＝3，c＝＝2，所以椭圆的离心率为＝，故B错误；对于C，要使AF2＋BF2＝12－AB最大，只需AB最小．根据椭圆的性质可知，当AB⊥x轴时，ABmin＝＝，可得(AF2＋BF2)max＝，故C正确；对于D，设直线AB的方程为x＝ky－2，代入椭圆方程并整理，得(9＋5k2)y2－20ky－25＝0，则Δ＝900(k2＋1)>0，且yA＋yB＝，yAyB＝－，所以S△ABF2＝F1F2·|yA－yB|＝2＝60·.令t＝k2＋1≥1，则S△ABF2＝60·＝≤＝3，当且仅当t＝时，等号成立，显然等号取不到．又y＝25t＋在区间[1，＋∞)上单调递增，则当t＝1时，y最小，此时S△ABF2最大，为，故D错误．故选AC.
9. ∪ 由题意知，＋>1，解得k<－或k>，故实数k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).
10. 8 因为椭圆的方程为＋＝1，所以 a＝5，b＝3，c＝4.由F1，F2为椭圆的两个焦点，得AF1＋AF2＝2a＝10，且BF1＋BF2＝2a＝10，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝20，又BF2＋AF2＝12，则AB＋12＝20，所以AB＝8.
11. 6 如图，因为OM为△PF1F2的中位线，且OM＝1，所以PF2＝2.由椭圆定义，得PF1＝2a－PF2＝2×4－2＝6.
12. 因为点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，
所以＋＝1，即＋＝1，即b2＝.
因为a>b>0，a2>>0，所以a>.
又因为>2，
所以a2＋b2>4(a2－b2)，
即a2又a>0，所以综上可得即实数a的取值范围是.
13. (1) 设椭圆的焦距为2c，
由题意可得解得
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2) 设P，Q(x0，y0).
因为FP⊥FQ，
所以△FPQ的外接圆为以PQ为直径的圆(x－x0)＋(y－t)(y－y0)＝0.
由题意知，焦点F，原点O均在该圆上，
所以(c－x0)＋ty0＝0，x0＋ty0＝0，联立两式，消去ty0，可得(c－x0)－x0＝0，
所以x0＝c－.
因为点P，Q均在x轴上方，
所以－a所以e2＋e－1＞0.
因为0＜e＜1，所以故椭圆离心率的取值范围为.