3．2 双 曲 线
3.2.1 双曲线的标准方程(1)
一、 单项选择题
1 平面内到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 线段
C. 两条射线 D. 双曲线
2 已知方程＋＝1的图象是双曲线，则实数k的取值范围是( )
A. (－∞，1)
B. (2，＋∞)
C. (－∞，1)∪(2，＋∞)
D. (1，2)
3 方程－＝6化简的结果是( )
A. －＝1
B. －＝1
C. －＝1，x≥3
D. －＝1，x≤－3
4 (2023咸阳永寿中学月考)双曲线C：－＝1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且MF1＝5，则MF2等于( )
A. 9 B. 9或1
C. 1 D. 6
5 (2023盐城一中期中)已知P是双曲线E：－＝1右支上的一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的面积为20，则点P的横坐标为( )
A. 2 B. 4 C. D.
6 与椭圆E：＋＝1共焦点，且过点(2，2)的双曲线的标准方程为( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
二、 多项选择题
7 (2023石家庄精英中学月考)已知在平面直角坐标系中，AB＝6，P为平面内一动点，且 PA－PB＝2a(a∈R)，则下列说法中正确的是 ( )
A. 当a＝0时，点P的轨迹为一条直线
B. 当a＝3时，点P的轨迹为一条射线
C. 当a＝－3时，点P的轨迹不存在
D. 当a＝2时，点P的轨迹是双曲线
8 已知双曲线8kx2－ky2＝8的焦距为6，则实数k的值为( )
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
三、 填空题
9 如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是________．
10 已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点在直线x＋y＝6上，且c＝2a，则此双曲线的标准方程为________．
11 (2023泰州联盟五校期中)设m，n为实数，已知经过点P(，)的椭圆＋＝1与双曲线＋＝1有相同的焦距，则 n＝________．
四、 解答题
12 (2023牡丹江三中月考)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 焦点分别为(0，－6)，(0，6)，且经过点A(－5，6)；
(2) 经过点(3，)，(－4，－2).
13 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2) 以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)；
(3) a＝b，且经过点(3，－1).
【答案解析】
3．2 双 曲 线
3.2.1 双曲线的标准方程(1)
1. D 根据双曲线的定义，及MF1－MF2＝±4，且F1F2＝6＞4，可知点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6.
2. C 因为方程＋＝1的图象是双曲线，所以(2－k)(k－1)<0，解得k<1或 k>2.
3. C 方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(－4，0)，(4，0)的距离之差为6，由6<8，可知动点的轨迹是以(4，0)，(－4，0)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以方程为－＝1，x≥3.
4. A 因为2c＝8，所以c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2.由双曲线的定义可得|MF1－MF2|＝2a＝4，所以|5－MF2|＝4，解得MF2＝1或MF2＝9.当MF2＝1时，MF1＋MF2＝6<8，不合题意，故舍去；当MF2＝9时，MF1＋MF2＝14＞8，满足题意．综上，MF2＝9.
5. D 因为双曲线E：－＝1，所以a＝4，b＝3，c＝5.不妨设P(m，n)，m>0，n>0，由△PF1F2的面积为20，可得F1F2·n＝20，其中F1F2＝2c＝10，则n＝4，将n＝4代入双曲线方程，可得m＝.
6. C 椭圆E：＋＝1的焦点坐标为(0，－4)，(0，4)，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
7. AB 对于A，当a＝0时，PA＝PB，则点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，故A正确；对于B，当a＝3时，PA－PB＝6＝AB，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为B，故B正确；对于C，当a＝－3时，PA－PB＝－6＝－AB，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为A，故C错误；对于D，当a＝2时，PA－PB＝4
PB，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，故D错误．故选AB.
8. AC 方程8kx2－ky2＝8可化为－＝1.因为焦距为6，所以c＝3.若焦点在x轴上，则＋＝＝c2＝9，所以k＝1；若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，k＜0，所以－＝9，所以 k＝－1.故选AC.
9. (1，＋∞) 原方程化为标准方程为－＝1.由题意知k－1>0，且|k|－2>0，解得k>2.又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1，所以c>1，即半焦距c的取值范围是(1，＋∞).
10. －＝1或－＝1 直线x＋y＝6与坐标轴的交点坐标为(6，0)，(0，6).当双曲线的焦点在x轴上时，c＝6.因为c＝2a，所以a＝3，所以b＝＝＝3，故此双曲线的标准方程为－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，c＝6.因为c＝2a，所以a＝3，所以b＝＝＝3，故此双曲线的标准方程为－＝1.
11. ±2 将点P的坐标代入椭圆方程，得＋＝1，解得m＝4，则椭圆的焦距为2×＝2.因为＋＝1表示双曲线，所以(n＋1)(1－2n)＜0，解得n＞或n<－1.当n<－1时，双曲线的焦距为2＝2，解得n＝－2；当n>时，双曲线的焦距为2＝2，解得n＝2.综上，n＝±2.
12. (1) 由题意，得焦点在y轴上，
故设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，
代入点的坐标，得解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) 由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4.
又焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 由题意，得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则b2＝8－a2，－＝1，解得 a2＝3，b2＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为x2－y2＝a2，将点(3，－1)代入，得32－(－1)2＝a2，所以a2＝b2＝8，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为y2－x2＝a2，将点(3，－1)代入，得(－1)2－32＝a2，a2＝－8，不成立，
所以焦点不可能在y轴上．
综上，所求双曲线的标准方程为－＝1.3．2.1 双曲线的标准方程(2)
一、 单项选择题
1 (2023常州金坛期中)若方程mx2＋(1－m)·y2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为( )
A. (－∞，0) B. (1，＋∞)
C. (0，1) D. (－∞，0)∪(0，1)
2 双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A. 22或2 B. 7
C. 22 D. 5
3 (2023无锡三中期中)已知F1，F2为椭圆＋＝1(b1>0)和双曲线x2－＝1(b2>0)的公共焦点，P为它们的公共点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为( )
A. B.
C. D. 2
4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x＋6)2＋y2＝4，点B(6，0)，点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为( )
A. x2－＝1
B. x2－＝1
C. ＋y2＝1
D. ＋y2＝1
5 (2023扬州高邮月考)已知双曲线－＝1，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，P是双曲线右支上一点，且cos ∠F1PF2＝－，则线段PO的长为( )
A. B. C. 2 D.
6 (2023石家庄精英中学月考)已知点A(0，4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，则△PAF1周长的最小值为( )
A. 10 B. 12
C. 14 D. 16
二、 多项选择题
7 已知曲线C：mx2－ny2＝1，则下列说法中正确的是( )
A. 若mn>0，则曲线C为双曲线
B. 若m>0且m＋n<0，则曲线C为焦点在x轴上的椭圆
C. 若m>0，n<0，则曲线C不可能表示圆
D. 若m>0，n＝0，则曲线C为两条直线
8 在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝r和C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2<4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是( )
A. 两个椭圆
B. 两个双曲线
C. 一个双曲线和一条直线
D. 一个椭圆和一个双曲线
三、 填空题
9 已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且PF1＝2PF2＝16，则△PF1F2的周长是________．
10 椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则点P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，点P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
11 (2023广州天河中学月考)已知M为圆O：x2＋y2＝1上的动点，点F1(－2，0)，F2(2，0)，延长F1M至点N，使得MN＝F1M，线段F1N的垂直平分线交直线F2N于点P，记点P 的轨迹为Γ，则Γ的轨迹方程为________．
四、 解答题
12 已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1) 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2) 如图，若P是双曲线左支上的一点，且PF1·PF2＝32，求△F1PF2的面积．
13 (2023重庆十八中月考)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点P与点A，B连线的斜率之积为.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设直线PA，PB与直线x＝1分别交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过两定点．
【答案解析】
3．2.1 双曲线的标准方程(2)
1. A 因为方程mx2＋(1－m)y2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以解得m<0.
2. A 因为a2＝25，所以a＝5.设到另一个焦点的距离为d.由双曲线定义，得|12－d|＝10，解得d＝22或d＝2.
3. C 如图，由椭圆定义可知PF1＋PF2＝2①；由双曲线定义可知PF1－PF2＝2②，由①②，解得PF1＝＋1，PF2＝－1.由三角形的面积公式可得S△PF1F2＝PF1·PF2sin ＝×(＋1)×(－1)×＝，即△PF1F2的面积为.
4. A 圆A的圆心为A(－6，0)，半径为r＝2，由中垂线的性质可得PQ＝BQ.当点P在圆A的右半圆上时，QA－QB＝PA＋PQ－QB＝PA＝25. A 设点P的坐标为(xp，yp)，xp>0.由题意可知a2＝9，b2＝4，c2＝a2＋b2，则a＝3，b＝2，c＝，所以PF1－PF2＝2a＝6.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝＝，即－＝，解得PF1·PF2＝5.因为cos ∠F1PF2＝－，所以sin ∠F1PF2＝.又S△F1PF2＝PF1·PF2sin ∠F1PF2＝F1F2·|yp|，即×5×＝×2×|yp|，解得|yp|＝.因为点P在双曲线－＝1上，所以x＝9，则PO＝＝＝＝＝.
6. C 由双曲线－＝1，可得a2＝4，b2＝5，则 c＝＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0).如图，由双曲线的定义，得PA＋PF1＝PA＋2a＋PF2≥AF2＋2a＝＋4＝9，当且仅当A，P，F2三点共线时，等号成立，所以△PAF1周长的最小值为 9＋AF1＝9＋5＝14.
7. ABD 若mn>0，则曲线C为焦点在 x轴或y轴上的双曲线，故A正确；由m>0且m＋n<0，可得n<0，|n|>m>0，>，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆，故B正确；若m＝1，n＝－1，则曲线C是单位圆，故C错误；若m>0，n＝0，则曲线C的方程可化为±x＝1，表示两条直线，故D正确．故选ABD.
8. BC 由题意知，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为r1，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为r2，所以C1C2＝4.设动圆P的半径为r.当r1＋r2<4时，两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．①若均内切，则PC1＝r－r1，PC2＝r－r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上；②若均外切，则PC1＝r＋r1，PC2＝r＋r2，此时|PC1－PC2|＝|r1－r2|，则点P的轨迹与①相同；③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，则PC1＝r－r1，PC2＝r＋r2，PC2－PC1＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，PC1－PC2＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC.
9. 34 因为PF1＝2PF2＝16，所以PF1－PF2＝16－8＝8＝2a，所以a＝4.又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10，所以△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝16＋8＋10＝34.
10. 24 24 由题意知，椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5).由椭圆与双曲线的定义可得所以或又F1F2＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以所求周长为PF1＋PF2＋F1F2＝14＋10＝24，所求面积为S△F1PF2＝PF1·PF2＝24.
11. x2－＝1 如图，连接OM，因为O，M为F1F2，F1N的中点，所以F2N＝2OM＝2.由垂直平分线的性质可知F1P＝PN，所以|PF1－PF2|＝F2N＝2<4＝F1F2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点，且实轴长为2的双曲线，所以2a＝2，2c＝4，所以a2＝1，b2＝c2－a2＝3，所以Γ的轨迹方程为x2－＝1.
12. 由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1) 由双曲线的定义，得|MF1－MF2|＝2a＝6.
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
经检验，符合条件，
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2) 由题意，得PF2－PF1＝6，两边平方，
得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
则PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos ∠F1PF2＝＝＝0.
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，
所以∠F1PF2＝90°，
故S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
13. (1) 设点P(x，y)，则×＝(x≠±2)，
即4y2＝3x2－12，整理，得－＝1，
故点P的轨迹方程为－＝1(x≠±2).
(2) 由对称性可得，当点P取关于x轴对称的两个位置时，所成的以MN为直径的两个圆也关于x轴对称，
故若以MN为直径的圆过定点，
则定点必在x轴上，设为Q(a，0).
设P(x0，y0)，M(1，m)，N(1，n)，
则由kAP＝kAM可得＝，
即m＝，故M，
同理＝，故N.
显然·＝0，
即·(1－a，－)＝0，
即(1－a)2－＝0.
又－＝1，即x－4＝，
可得(1－a)2－＝0，
解得a＝或a＝－.
即以MN为直径的圆过两定点和.3．2.2 双曲线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2024邢台期末)双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±3x D. y＝±x
2 若双曲线－＝1的离心率为，且过点A(4，4)，则双曲线的方程为( )
A. x2－＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
3 (2023临沂二中月考)已知O为坐标原点，直线x＝2与双曲线C：－＝1(b>0)交于A，B两点．若△AOB为直角三角形，则实数b的值为( )
A. 2 B. 4 C. D. 3
4 (2023眉山仁寿月考)已知双曲线的一个顶点为(2，0)，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程是( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
5 (2023泰州联盟五校期中)已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为( )
A. B. C. D.
6 已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)，则实数a的值为( )
A. 3 B. C. 2 D. 6
二、 多项选择题
7 (2023深圳盐田高级中学期中)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则下列说法中正确的是( )
A. 若双曲线C上一点P满足PF1＝2PF2，则△PF1F2的周长为28
B. 渐近线方程为3x±4y＝0
C. 若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
D. 双曲线C与椭圆＋＝1的离心率互为倒数
8 (2023湖州中学月考)已知P是左、右焦点分别为F1 , F2的双曲线E：x2－＝1上一点，且∠F1PF2＝60°，则下列说法中正确的是( )
A. PF1－PF2＝2
B. 双曲线E的离心率是2
C. 双曲线E的渐近线与双曲线－＝1的渐近线相同
D. △F1PF2的面积是3
三、 填空题
9 以椭圆＋＝1的焦点为焦点，以直线 y＝±x为渐近线的双曲线方程为________．
10 (2023绵阳盐亭中学月考)已知双曲线 C：－y2＝1的实轴端点分别为A1，A2, P是双曲线上异于点A1，A2的一点，则PA1与PA2的斜率之积为________．
11 若双曲线C：－＝1的一条渐近线与直线l：3x＋2y－2＝0相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为________．
四、 解答题
12 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且过点M(，2).
(1) 求双曲线C的虚轴长；
(2) 求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(－2，4)的双曲线的标准方程．
13 已知双曲线C的中心在原点，且过点P(－，3)，分别根据下列条件求双曲线C的标准方程．
(1) 双曲线C的离心率为；
(2) 焦点在x轴上，且点Q(－1，3)在双曲线C的渐近线上．
【答案解析】
3．2.2 双曲线的几何性质(1)
1. B 由双曲线－＝1，得a＝，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
2. D 由双曲线的离心率为，得＝5，所以＝5，则b2＝4a2，所以双曲线的方程为－＝1.将 点A(4，4)代入－＝1，得－＝1，所以 a2＝4，所以双曲线的方程为－＝1.
3. A 设直线x＝2与x轴交于点D，由双曲线的对称性可知△AOB为等腰直角三角形，所以△AOD为等腰直角三角形．由得y＝±b，则b＝AD＝OD＝2.
4. C 由双曲线的一个顶点为(2，0)，可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则a＝2，所以渐近线方程为y＝±x，即bx±2y＝0.因为c2＝a2＋b2，所以焦点(±，0)到渐近线的距离为＝b＝2，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
5. D 不妨设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则双曲线的实半轴长为a.由双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，可得椭圆的长半轴长为3a，半焦距为c.设椭圆C1与双曲线C2的公共焦点为F1，F2，且F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限的交点为P，第三象限的交点为Q，PF1＝m，PF2＝n，则解得又两曲线的交点与两焦点共圆，则点P在以F1F2为直径的圆上，所以m2＋n2＝4c2，即20a2＝4c2，所以c＝a，所以双曲线C2的离心率为e＝＝.
6. B 由于双曲线的对称性，不妨设点A在渐近线y＝x上，则点B在渐近线y＝－x上．因为AF⊥x轴，所以A.设B，因为AB⊥OB，所以·＝－1.又因为BF∥OA，所以＝，可得t＝，则可解得a＝.
7. AC 双曲线C：－＝1的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0).对于A，PF1＝2PF2，PF1－PF2＝2a＝6，所以PF1＝12，PF2＝6，所以△PF1F2的周长为12＋6＋10＝28，故A正确；对于B，双曲线C：－＝1的渐近线方程为4x±3y＝0，故B错误；对于C，从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为2a＝6，故C正确；对于D，双曲线C的离心率为e1＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝，故D错误．故选AC.
8. BCD 对于A，因为双曲线上存在点P，使得∠F1PF2＝60°，由对称性可知点P可能在左支上，也可能在右支上，所以PF1－PF2＝±2，故A错误；对于B，由题意，得a＝1，b＝，c＝＝＝2，e＝＝2，即双曲线E的离心率是2，故B正确；对于C，双曲线E的渐近线方程为x2－＝0，即y＝±x，双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，即y＝±x，故C正确；对于D，不妨设点P在双曲线E：x2－＝1的左支上，如图，设PF1＝t>0，则PF2＝t＋2a＝t＋2，F2F1＝2c＝4.在△PF1F2中，∠F1PF2＝60°，由余弦定理，得16＝t2＋(t＋2)2－2t(t＋2)×，解得PF1＝t＝－1，PF2＝t＋2＝(－1)＋2＝＋1，所以△F1PF2的面积是S△F1PF2＝×(－1)×(＋1)×＝3，故D正确．故选BCD.
9. －＝1 在椭圆中，c2＝13－3＝10，且焦点在x轴上．在双曲线中，＝，则＝，则＝，所以＝，解得a2＝8，所以b2＝2，所以双曲线方程为－＝1.
10. 设P(x0，y0)，y0≠0，则－y＝1.因为A1(－2，0)，A2(2，0)，所以kPA1＝，kPA2＝，所以kPA1·kPA2＝·＝＝，所以PA1与PA2的斜率之积为.
11. 2 双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x.由两直线垂直，得·＝－1，即a＝3，所以c＝＝，则所求三角形的面积S＝×2×2＝2.
12. (1) 由题意，易知MF2＝2，F1F2＝2，MF2⊥F1F2.
在Rt△MF2F1中，MF1＝＝4.
由双曲线的定义可知MF1－MF2＝2a，
所以2a＝2，即a＝1.
因为双曲线C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，所以半焦距c＝.
又因为a2＋b2＝c2，所以b＝.
故双曲线C的虚轴长为2.
(2) 由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1.
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0).
将点P(－2，4)代入上述方程，得λ＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
13. (1) 已知双曲线C的离心率为，
可设双曲线C的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线C过点P(－，3)，
所以(－)2－32＝λ，即λ＝－4，
即双曲线C的标准方程为－＝1.
(2) 已知双曲线C的焦点在x轴上，
设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
又点Q(－1，3)在双曲线C的渐近线上，
则＝3，①
又双曲线C过点P(－，3)，
则－＝1，②
联立①②可得a＝2，b＝6，
故双曲线C的标准方程为－＝1.3．2.2 双曲线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4
C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
2 双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为( )
A. B. C. 4 D.
3 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线C的方程为( )
A. －y2＝1 B. －y2＝1
C. －y2＝1 D. －y2＝1
4 (2023天津一百中期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点P(－1，)，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，且PF1＝2.若双曲线上一点M满足MF1＝，则线段MF2的长为( )
A. 或 B.
C. D.
5 (2023镇江丹阳期中)从某个角度观察篮球(如图1)可以得到一个对称的平面图形(如图2)，篮球的外轮廓为圆O，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线．若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为( )
图1 图2
A. B. C. D.
6 (2023临汾同盛实验中学模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，圆(x－a)2＋y2＝9与双曲线C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则实数a的取值范围是( )
A. (0，1] B. C. (0，2] D.
二、 多项选择题
7 (2023保定三中期末)已知双曲线C：－＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±x，则下列结论中正确的是( )
A. m＝1
B. 双曲线C的离心率为
C. 曲线y＝ln (x－1)经过双曲线C的一个顶点
D. y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线
8 (2024重庆南开中学期末)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆Γ与双曲线C的一个交点为P，则下列说法中正确的是( )
A. 圆Γ的方程为x2＋y2＝5
B. 双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0
C. 点F1到双曲线C的渐近线的距离为2
D. △PF1F2的面积为4
三、 填空题
9 (2023宜春期末)过双曲线x2－＝1的右焦点作渐近线的垂线，垂足为H，则OH＝________．
10 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a的值为________．
11 (2023西安联考)若P是双曲线C：－＝1右支上的一点，A是圆E：x2＋(y－5)2＝1上的一点，B是圆F：(x＋5)2＋y2＝1上的一点，则PA＋PB的最小值为________．
四、 解答题
12 (2023保定定兴三中期中)已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线－＝1有公共的焦点．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 已知点M(0，3)，P是双曲线C上的任意一点，求PM的最小值．
13 已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1) 求与双曲线C有共同渐近线，且过点(2，3)的双曲线的标准方程；
(2) 若P是双曲线C上的一点，且∠F1PF2＝150°，求△F1PF2的面积．
【答案解析】
3．2.2 双曲线的几何性质(2)
1. A 在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得 x＝－4，所以等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故双曲线的方程是x2－y2＝8.
2. B 设点P(x，y).由双曲线－＝1可知F1(－5，0)，F2(5，0).因为PF1⊥PF2，所以·＝－1，所以x2＋y2＝25，代入双曲线方程－＝1，得－＝1，所以y2＝，所以|y|＝，所以点P到x轴的距离是.
3. A 由已知可得＝，c－a＝－3，可得c＝，a＝3，则b2＝c2－a2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
4. B 因为F1(－c，0)，PF1＝2，所以＝2，所以c＝2或c＝0(舍去).又因为双曲线的渐近线过点P(－1，)，所以－＝，即＝，所以解得所以双曲线C：x2－＝1.若点M在左支上，MF1＝>c－a＝1，符合要求，所以MF2＝MF1＋2a＝＋2＝；若点M在右支上，MF1＝5. C 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，圆O与双曲线在第一象限内的交点为E，连接DE，OE，则OE＝OD＝OC＋CD＝3OC＝3a.因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，则∠DOE＝×2π＝，所以点E(，)，将点E的坐标代入双曲线的方程，得－＝1，所以＝，所以该双曲线的离心率为e＝＝＝＝.
6. D 设双曲线C的半焦距为c>0，则e＝＝＝＝＝，解得＝2.因为双曲线C的焦点在x轴上，所以双曲线C的渐近线方程为 y＝±2x.因为圆(x－a)2＋y2＝9的圆心为(a，0)，半径为r＝3，可知圆(x－a)2＋y2＝9关于x轴对称，不妨取渐近线为y＝2x，即2x－y＝0，所以圆心(a，0)到渐近线的距离d＝<3，可得07. ACD 对于A，因为双曲线C：－＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝，解得m＝1或m＝－1(舍去)，故A正确；对于B，由双曲线C：－y2＝1，得双曲线C的离心率为＝，故B错误；对于C，双曲线C：－y2＝1的顶点为(±2，0)，因为ln (2－1)＝0，所以曲线y＝ln (x－1)经过双曲线C的一个顶点(2，0)，故C正确；对于D，令y2－＝0，则y＝±x，即y2－＝1的渐近线方程为y＝±x，故D正确．故选ACD.
8. ACD 由x2－＝1，得a＝1，b＝2，c＝＝.对于A，因为圆心为坐标原点，直径为F1F2＝2c，所以圆Γ的方程为x2＋y2＝5，故A正确；对于B，双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0，故B错误；对于C，点F1(－，0)到渐近线2x±y＝0的距离 d＝＝2，故C正确；对于D，由对称性可知，不妨设点P在第一象限．由题意，得∠F1PF2＝90°，因为PF＋PF＝F1F，又PF1－PF2＝2a，所以(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝4c2，得PF1·PF2＝2c2－2a2＝2b2，所以△PF1F2的面积为PF1·PF2＝·2b2＝b2＝4，故D正确．故选ACD.
9. 1 不妨设点H在第一象限，由题意可知OH所在直线即为双曲线的渐近线，其方程为y＝x，所以∠HOF＝.又c2＝a2＋b2＝1＋3＝4，c>0，所以OF＝c＝2，所以OH＝OF·cos ∠HOF＝2×＝1.
10. 2 如图，因为四边形OABC为正方形，且边长为2，所以c＝OB＝2.又∠AOB＝，所以＝tan ＝1，即a＝b.又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.
11. 5＋6 由双曲线C：－＝1，得a＝4，b＝3，所以c＝＝5.设右焦点为F2(5，0)，圆E：x2＋(y－5)2＝1，圆心为E(0，5)，半径为r1＝1，圆F：(x＋5)2＋y2＝1，圆心为F(－5，0)，半径为r2＝1，且F(－5，0)恰为双曲线的左焦点，EF2＝5.因为P是双曲线C右支上的一点，所以PF＝PF2＋2a＝PF2＋8，所以PA＋PB≥PE＋PF－r1－r2＝PE＋PF2＋8－2≥EF2＋6＝5＋6，当且仅当E，P，F2三点共线(点P在点E，F2之间)时取等号．
12. (1) 双曲线－＝1的焦点为(0，±)，
所以设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以a＝2，a2＋b2＝5，解得b＝1，
所以双曲线C的方程为－x2＝1.
(2) 由－x2＝1，得y≤－2或y≥2.
设P(x0，y0)，y0≤－2或y0≥2，则－x＝1，
所以PM＝＝＝，
所以当y0＝时，PM取得最小值，为＝.
13. (1) 设与双曲线C：－＝1有共同渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
因为双曲线过点(2，3)，
所以－＝λ，解得λ＝－2，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 由双曲线C：－＝1，
得a2＝16，b2＝4，则c＝＝2.
不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得PF1－PF2＝8.
由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 150°＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＋PF1·PF2＝64＋2PF1·PF2＋PF1·PF2＝80，解得PF1·PF2＝16(2－)，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2sin 150°＝×16(2－)×＝4(2－).