3．3 抛 物 线
3.3.1 抛物线的标准方程
一、 单项选择题
1 已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A. (1，0) B.
C. D. (0，1)
2 已知点M到点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为( )
A. y2＝16x B. y2＝－16x
C. y2＝24x D. y2＝－24x
3 (2024辽阳期末)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P(x0，4)在抛物线C上，FP＝5，则直线FP的斜率为( )
A. ± B. ±
C. ± D. ±
4 (2023东莞东华高级中学一模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A(x1，)，B(x2，－2)两点，则p的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 (2023绵阳南山中学实验学校期末)过抛物线E：y＝2x2焦点的直线交抛物线E于A，B两点，线段AB的中点M到x轴的距离为1，则AB等于( )
A. 2 B.
C. 3 D. 4
6 我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D. 1
二、 多项选择题
7 (2024白银靖远四中期末)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，A为抛物线C上一点．若FA＝8，则直线FA的倾斜角可以为( )
A. B. C. D.
8 已知P(x0，y0)是抛物线C：y2＝4x上一动点，则下列说法中正确的是( )
A. 抛物线C的焦点坐标为(2，0)
B. 抛物线C的准线方程为x＋1＝0
C. x0＋1＝
D. x0＋的最小值为
三、 填空题
9 已知动点M(x，y)的坐标满足＝|x＋2|，则动点M的轨迹方程为________．
10 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m，则水面宽度为________m.
11 (2024郑州十八中期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q.若∠PFQ＝，且S△PFQ＝4，则p的值为________．
四、 解答题
12 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 经过点(－3，－5)；
(2) 焦点在x轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6.
13 已知直线l：x＝－2和圆C：(x－3)2＋y2＝1.若圆M与直线l相切，与圆C外切，求圆M的圆心M的轨迹方程．
【答案解析】
3．3 抛 物 线
3.3.1 抛物线的标准方程
1. C 由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为.
2. B 因为点M到点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，所以点M到直线x＝4的距离和它到点(－4，0)的距离相等．根据抛物线的定义，得点M的轨迹是以(－4，0)为焦点，以直线 x＝4为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，由－＝－4，得p＝8，所以其方程为y2＝－16x.
3. D 因为FP＝5，所以4＋＝5，解得p＝2，则F(0，1)，P(±4，4)，所以直线FP的斜率为±.
4. D 将A(x1，)，B(x2，－2)两点分别代入抛物线方程，可得()2＝2px1，(－2)2＝2px2，解得x1＝1，x2＝4，则A(1，)，B(4，－2).又抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，由题意可得A，F，B三点共线，则kAF＝kBF，即＝，解得p＝4.
5. B 如图，由抛物线E：y＝2x2，得x2＝y＝2×y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由线段AB的中点M到x轴的距离为1，可知yM＝＝1，所以y1＋y2＝2.又由抛物线定义可知AB＝FA＋FB＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋＝.
6. C 如图1，连接PO，由题意，得PO垂直于圆锥底面，所以PO⊥OB.由题意，得OB＝OP＝OC＝2.因为E是母线PB的中点，所以OE＝.在平面CED内建立如图2所示的平面直角坐标系，可得C(－，2).设抛物线的方程为y2＝mx，将点C(－，2)代入，得4＝－m，解得m＝－2，所以抛物线的方程为y2＝－2x，所以焦点坐标为，准线方程为x＝，所以焦点到其准线的距离为.
图1 图2
7. AC 由题意，得F(2，0)，设A(x0，y0)，则FA＝x0＋2＝8，解得x0＝6，故y＝48，解得y0＝±4，故直线FA的斜率为＝或＝－.又直线倾斜角的范围为[0，π)，故直线FA的倾斜角为或.故选AC.
8. BCD 抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＋1＝0，故A错误，B正确；根据抛物线的定义可得，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即x0＋1＝，故C正确；因为y＝4x0，所以x0＋＝＋＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即 y＝1时，等号成立，故x0＋的最小值为，故D正确．故选BCD.
9. y2＝8x 设F(2，0)，直线l：x＝－2，则动点M到点F的距离为，动点M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|.又因为＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其轨迹方程为y2＝8x.
10. 4 如图，由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程，解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y. 水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2，所以此时水面宽度d为4 m.
11. 2 由抛物线的定义可知PF＝PQ，所以∠PQF＝∠PFQ＝，所以△PQF为正三角形．由S△PFQ＝4，得PF＝QF＝4.如图，设准线l与x轴交于点A，由抛物线方程可知AF＝p.因为PQ∥AF，所以∠AFQ＝∠PQF＝，所以QF＝2AF＝4，所以 2p＝4，故p＝2.
12. (1) 当抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)时，将点(－3，－5)代入，得p＝，即所求抛物线的标准方程为y2＝－x；
当抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)时，将点(－3，－5)代入，得p＝，即所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－y.
(2) 由焦点到准线的距离为6知，p＝6.
又焦点在x轴的负半轴上，
所以抛物线的标准方程为y2＝－12x.
13. 设圆M的半径为R.
由题意可知圆C的圆心为C(3，0)，半径为1，
则MC＝R＋1.
由题意可知圆心M到直线l的距离为R，
所以圆心M到直线x＝－3的距离和它到点C的距离相等，
所以圆心M的轨迹是以点C(3，0)为焦点，以直线 x＝－3 为准线的抛物线．
设该抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则＝3，可得p＝6，
故圆心M的轨迹方程为y2＝12x.3．3.2 抛物线的几何性质(1)
一、 单项选择题
1 (2023天津三中期中)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C: y2＝2px(p>0)交于D，E两点．若OD⊥OE，则抛物线C的标准方程为( )
A. y2＝8x B. y2＝2x
C. y2＝x D. y2＝x
2 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与直线l和抛物线C分别交于A，B两点，若AF＝BF，则AB的长为( )
A. 2 B. 2
C. 2 D. 4
3 (2023东莞南城开心实验学校期中)若曲线C：y＝x2＋1上存在点到直线l：x－y＋m＝0的距离为2，则实数m的最小值是( )
A. － B. －2 C. D. 5
4 (2023保定定兴三中期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交抛物线C于点A.若点A在准线l上的投影为点B，且AB＝4，则p的值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
5 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，在抛物线C上有一点P，PF＝8，则PF的中点M到y轴的距离为( )
A. 4 B. 5
C. D. 6
6 已知P是抛物线C：y2＝4x上一点，F为抛物线C的焦点，点M(2，1)，则△PMF的周长的最小值为( )
A. 3 B. 1
C. ＋1 D. ＋3
二、 多项选择题
7 关于抛物线y2＝－2x，下列说法中正确的是( )
A. 开口向左
B. 焦点坐标为(－1，0)
C. 准线方程为x＝1
D. 对称轴为x轴
8 已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是抛物线C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则下列结论中正确的是( )
A. 抛物线C的准线方程为x＝－4
B. 点F的坐标为(0，4)
C. FN＝12
D. △ONF的面积为16(O为坐标原点)
三、 填空题
9 设F为抛物线y2＝ax(a>0)的焦点，点P在抛物线上，且点P到y轴的距离与到点F的距离之比为1∶2，则PF＝________．
10 (2024广州真光中学期末)永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为________m；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为________m．
11 (2023天津瑞景中学期中)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，P为抛物线C上一点，且满足PF＝3，则△POF的面积为________．
四、 解答题
12 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①FM＋FN＝MN；②OM＝ON＝MN＝8；③直线MN的方程为y＝6p.请分析说明M，N两点满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程．
13 已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2) 已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值．
【答案解析】
3．3.2 抛物线的几何性质(1)
1. B 在y2＝2px(p>0)中，令x＝2，解得y＝±2.不妨设D(2，2)，E(2，－2).因为 OD⊥OE，所以·＝2×2－4p＝0，解得p＝1，故抛物线C的标准方程为y2＝2x.
2. D 由抛物线的定义可知AF＝BF＝AB，所以△ABF为等边三角形．设准线l与x轴交于点H，则FH＝2，∠HAF＝30°，所以AB＝AF＝2FH＝4.
3. A 设(t，t2＋1)是曲线C上的任意一点，则点(t，t2＋1)到直线x－y＋m＝0的距离为＝2，即|－t2＋t＋m－1|＝4，所以－t2＋t＋m－1＝4或－t2＋t＋m－1＝－4，所以t2－t＋5－m＝0或t2－t－3－m＝0.依题意可知，上述两个方程有解，所以12－4(5－m)≥0或12－4(－3－m)≥0，解得m≥或m≥－，则实数m的取值范围是，所以实数m的最小值是－.
4. B 如图，因为AB＝4，所以AF＝4.又因为∠AFx＝，所以过点A作x轴的垂线，垂足为C，则FC＝2，AC＝2，所以A.因为点A在抛物线上，所以12＝2p×，整理，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去).
5. A 如图，设抛物线C的准线为l，过点P作PH⊥l于点H，准线与x轴的交点为A.由抛物线的定义可知PF＝PH＝8，FA＝2，故PF的中点M到抛物线C的准线l的距离为MB＝(FA＋PH)＝5，故PF的中点M到y轴的距离为4.
6. D 如图，由题意可判断点M(2，1)在抛物线内部，且易得点F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据两点间距离公式得MF＝.根据抛物线性质得PM＋PF＋MF＝PM＋PN＋≥MN＋＝3＋，当且仅当N，P，M三点共线时，等号成立，所以△PMF的周长的最小值为＋3.
7. AD 抛物线y2＝－2x的开口向左，焦点为，准线方程为x＝，对称轴为x轴，故A，D正确，B，C错误．故选AD.
8. ACD 如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的方程可得，准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则AN＝4，FF′＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线BM＝＝6.由抛物线的定义知，MF＝MB＝6，结合题意知，MN＝MF＝6，故FN＝FM＋NM＝6＋6＝12，所以ON＝＝8，所以S△ONF＝×8×4＝16.故选ACD.
9. 由题意，得点F，＝，解得PF＝.
10. 8 3.2 如图，以拱顶为原点O，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).由题意可知，抛物线过点(3.2，－1.6)，得3.22＝－2p·(－1.6)，解得2p＝6.4，所以抛物线方程为x2＝－6.4y，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.2 m．当水面下降0.9 m时，y＝－1.6－0.9＝－2.5，则x2＝－6.4×(－2.5)，所以x＝±4，所以水面的宽度为8 m.
11. 2 因为抛物线C的方程为y2＝4x，所以2p＝4，可得＝，所以焦点为F(，0)，准线方程为x＝－.又P为抛物线C上的一点，且PF＝3，所以点P到准线x＝－的距离为3，所以点P的横坐标xP＝3－＝2，所以y＝4×2＝16，所以|yP|＝4，所以S△POF＝×OF×|yP|＝××4＝2.
12. 若同时满足条件①②：
由①FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
当OM＝ON时，MN＝2p，
而OM＝ON＝p≠MN，
所以①②不同时成立；
若同时满足条件①③：
由①FM＋FN＝MN，得MN过焦点F.
因为直线y＝6p不可能过点F，
所以①③不同时成立；
若同时满足②③：
因为OM＝ON＝MN＝8，
且直线MN的方程为y＝6p，
所以6p＝12，解得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
13. (1) 设圆心的坐标为(x，y)，
则半径r＝.
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简，得y2＝8x，
即动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2) 如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x＋4的距离为PP1，到y轴的距离为PP2，点F到直线y＝x＋4的距离为FF1，则由抛物线的定义可知PP2＝PF－2，
所以PP1＋PP2＝PP1＋PF－2.
由图可知PP1＋PF的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(PP1＋PF)min＝FF1＝＝3，
所以PP1＋PP2的最小值为3－2，即所求的最小值为3－2.3．3.2 抛物线的几何性质(2)
一、 单项选择题
1 (2023哈尔滨师大附中期中)已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则AB等于( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
2 已知抛物线y＝mx2(m>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若AB＝6，则焦点F的坐标为( )
A. B.
C. D.
3 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点A，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于点M，N(点M在x轴上方)，则的值为( )
A. B. 2 C. D. 3
4 (2023重庆黔江中学月考)如图，已知抛物线E：x2＝4y和圆F：x2＋(y－1)2＝1，过抛物线的焦点F作直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A，C，D，B，则2AC＋BD的最小值为( )
A. B. 2
C. 3 D. 2
5 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且DE＝AB，则直线l的方程为( )
A. x±y－1＝0
B. 2x±y－2＝0
C. x±y－1＝0
D. x±2y－1＝0
6 (2023衡水二中期中)若抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝2x＋与抛物线交于A，B两点，且AF－BF＝，则AB的长为( )
A. 4 B. C. 2 D.
二、 多项选择题
7 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝4，则下列结论中正确的是( )
A. x0＝3 B. y0＝2
C. OM＝ D. 点F(0，1)
8 (2024郑州十八中期末)已知直线l：y＝x＋m过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则下列结论中正确的是( )
A. m＝1
B. AB＝8
C. AF＝2BF
D. 抛物线C上的动点到直线y＝x＋2距离的最小值为
三、 填空题
9 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且ABmin＝6，则p的值为________．
10 (2023湖北期中)若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则线段AB的中点坐标为________．
11 (2023北京牛栏山一中期中)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，则点F到准线l的距离是________；若斜率为的直线经过焦点F，且在第一象限与抛物线交于点M，过点M作MN垂直于准线l于点N，则△MNF的面积为________．
四、 解答题
12 (2023金华一中期中)如图，已知抛物线 y＝x2－1与x轴交于A，B两点，P是该抛物线上位于第一象限内的点．
(1) 记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k2－k1为定值；
(2) 过点A作AD⊥PB，垂足为D，若AB平分∠PAD，求△PAD的面积．
13 (2023南京师大附中期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(2，a)在抛物线C上，且AF＝3.
(1) 求抛物线C的方程，并写出焦点的坐标；
(2) 过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若点B(－1，1)满足∠MBN＝90°，求直线l的方程．
【答案解析】
3．3.2 抛物线的几何性质(2)
1. C 设点A(x1，y1)，B(x2，y2).因为抛物线y2＝6x的焦点为F，直线l过点F，且该直线的倾斜角为60°，所以直线l的方程为y＝(x－)，联立消去y并整理，得x2－5x＋＝0，则Δ＝25－9＝16>0，x1＋x2＝5.由抛物线的焦点弦长公式可得AB＝x1＋x2＋3＝5＋3＝8.
2. B 抛物线y＝mx2(m>0)的方程的标准形式为x2＝y，则F，所以直线AB的方程为y＝x＋，与y＝mx2(m>0)联立，消去x并整理，得3y2－y＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝.由y1＋y2＋＝6，解得＝，所以焦点F的坐标为.
3. D 由抛物线C：y2＝2px(p＞0)，得F，A，则直线MN的方程为y＝(x－)，联立解得或即M(，p)，N，所以AM＝＝p，AN＝＝p，所以＝3.
4. D 由抛物线E：x2＝4y可知，焦点为F(0，1)，当直线的斜率为0时，直线方程为y＝1，代入抛物线方程，得A(－2，1)，B(2，1)，代入圆的方程，得 C(－1，1)，D(1，1)，所以AC＝BD＝1，2AC＋BD＝3；当直线斜率不为0时，设直线l的方程为 x＝m(y－1)，m≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得m2y2－(2m2＋4)y＋m2＝0，则y1y2＝1.由抛物线的定义可知，AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以AC＝y1，BD＝y2所以2AC＋BD＝2y1＋y2≥2＝2，当且仅当2y1＝y2时取等号．因为2<3，所以2AC＋BD的最小值为2.
5. B 设AB＝2r，由题意知，r≥2.设AB的中点为M，作MN⊥y轴于点N，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为P，Q.由抛物线定义及梯形中位线性质知，2(MN＋1)＝AP＋BQ＝AF＋BF＝AB＝2r，所以MN＝r－1.由垂径定理，得DE＝2＝r，即16r2－50r＋25＝0，解得r＝或r＝.又r≥2，故 r＝，所以点M的横坐标为.设直线l：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝＝2xM＝3，解得k＝±2，故直线l的方程为2x±y－2＝0.
6. D 抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，显然直线y＝2x＋过抛物线的焦点F.设A(x1，y1)，B(x2，y2).根据抛物线的定义可知，AF＝y1＋，BF＝y2＋，AF－BF＝y1－y2＝.联立消去x并整理，得y2－9py＋＝0，所以y1＋y2＝9p，y1y2＝.由y1－y2＝两边平方，得(y1－y2)2＝，则(y1＋y2)2－4y1y2＝，即81p2－p2＝80p2＝，解得p＝，所以AB＝y1＋y2＋p＝10p＝10×＝.
7. AC 由抛物线C：y2＝4x的焦点为F，可得 F(1，0)，故D错误；因为点M(x0，y0)在抛物线C上，且MF＝4，所以x0＋1＝4，所以x0＝3，故A正确；将 x0＝3代入抛物线方程，得y0＝±2，故B错误；OM＝＝，故C正确．故选AC.
8. BD 由抛物线C：y2＝4x，可得焦点为F(1，0).因为直线l：y＝x＋m过抛物线C的焦点F，所以m＋1＝0，解得m＝－1，故A错误；联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝36－4＝32>0，x1＋x2＝6，x1x2＝1.由抛物线的焦点弦的性质，可得AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故B正确；由x2－6x＋1＝0，解得x1＝3＋2，x2＝3－2，根据抛物线的定义，可得AF＝x1＋＝4＋2，2BF＝2＝8－4，所以AF≠2BF，故C错误；设M(x1，y1)是抛物线C上的任意一点，则y＝4x1，则点M到直线y＝x＋2的距离为d＝＝＝，当y1＝2时，dmin＝，故D正确．故选BD.
9. 3 根据抛物线的性质可知，通径长最小，即2p＝6，所以p＝3.
10. 因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，所以线段AB和直线y＝x＋b垂直，所以＝－1＝＝，故y1＋y2＝－1.又y1y2＝－1，所以x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，故线段AB的中点坐标是，即.
11. 4 16 如图，设准线l与x轴的交点为Q.由抛物线的方程可知，FQ＝p＝4.因为直线FM的斜率k＝，所以∠MFx＝60°.又MN∥x轴，所以∠NMF＝60°.由抛物线的定义知，MF＝MN，所以△MNF为正三角形．在Rt△NFQ中，∠NFQ＝60°，FQ＝4，所以NF＝2QF＝8，所以S△MNF＝×NF2＝16.
12. (1) 由题意，得点A，B的坐标分别为A(－1，0)，B(1，0).
设点P的坐标为P(t，t2－1)，且t>1，
则k1＝＝t－1，k2＝＝t＋1，
所以k2－k1＝2为定值．
(2) 由直线PA，AD的位置关系知，kAD＝－k1＝1－t.
因为AD⊥PB，
所以kAD·k2＝(1－t)(t＋1)＝－1，解得t＝±.
因为P是第一象限内的点，所以t＝，则P(，1).
联立解得D，
所以△PAD的面积S＝·AB·|yP－yD|＝1＋.
13. (1) 抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
因为点A(2，a)在抛物线C上，且AF＝3，
所以AF＝2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，焦点为F(1，0).
(2) 由(1)可知抛物线的焦点为F(1，0).
显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x并整理，得y2－4my－4＝0，
所以Δ＝16m2＋16>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1.
又B(－1，1)，
所以＝(x1＋1，y1－1)，＝(x2＋1，y2－1).
因为∠MBN＝90°，所以·＝(x2＋1)(x1＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，
即1＋4m2＋2＋1－4－4m＋1＝0，解得m＝，
所以直线l的方程为x＝y＋1，即2x－y－2＝0.
