3 圆锥曲线的综合应用 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3 圆锥曲线的综合应用(1)
一、 单项选择题
1 (2023江苏十一校联考)与双曲线－y2＝1有相同渐近线，且与椭圆＋x2＝1有共同焦点的双曲线方程是(　　)
A. x2－＝1 B. y2－＝1
C. －＝1 D. －x2＝1
2 (2023上海四校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(2，y0)在抛物线C上，且PF＝，则实数p的值为(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3 (2023开封兰考一中期中)班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处. 根据椭圆的光学性质解决下面的问题：已知椭圆C的方程为＋＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且PF1＝4，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则的值为(注：若△ABC的角平分线AD交BC于点D，则＝)(　　)
A. 1 B. 2 C. D.
4 (2024上饶广丰贞白中学期末)已知A，B是抛物线C：y2＝x上的两点，点A与点B关于x轴对称，点D(3，0)，则AB2＋AD2的最小值为(　　)
A. 9 B.
C. D. 8
5 (2023台金七校联盟期中)已知F1，F2分别是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P，Q，满足＝2，且∠F1QF2＝，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
6 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2，现有椭圆＋＝1的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为34，则椭圆C的长轴长为(　　)
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
二、 多项选择题
7 (2023昆明五华区校级模拟)已知mn≠0，曲线E1：＋＝1，曲线E2：－＝1，直线l：＋＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当n＝3m时，曲线E1的离心率为
B. 当n＝3m时，曲线E2的离心率为
C. 直线l与曲线E2有且只有一个公共点
D. 存在正数m，n，使得曲线E1截直线l的弦长为
8 (2023大庆实验中学期中)已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当点P运动到点(t，1)时，PF＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M(4，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 抛物线的方程为x2＝8y
B. PM＋PF的最小值为4
C. 当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D. 存在直线l，使得A，B两点关于直线x＋y－5＝0对称
三、 填空题
9 (2024北京大兴期末)若双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，则b＝________．
10 (2023连云港赣榆期中)已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与抛物线C相交于A，B两点，且AB＝10.若线段AB中点的横坐标为3，则p＝________，直线l的斜率为________．
11 已知椭圆＋＝1(0四、 解答题
12 (2023保定定兴三中期中)已知定点F(3，0)，定直线l：x＝－3，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆圆心M的轨迹为C.
(1) 求轨迹C的方程；
(2) 若过点F的直线与轨迹C交于不同的两点A，B，且AB＝36，求直线AB的方程．
13 (2023盐城一中期中)已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(0，－1)，B(0，1)，一个顶点为H(0，2).
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 对于y轴上的点P(0，t)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
3 圆锥曲线的综合应用(2)
一、 单项选择题
1 (2024湖北期末)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－1，6)
B. (－8，－1)∪(－1，6)
C. (－8，－1)
D. (－∞，－8)∪(6，＋∞)
2 (2023东莞中学松山湖学校期中)设抛物线x2＝8y，直线l与抛物线交于A，B两点，且AB＝6，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A. B. 1 C. D. 2
3 (2023泰州口岸中学期中)已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，P为椭圆C上的一点，Q为圆M：x2＋(y－4)2＝1上的一点，则PQ－PF的最小值为(　　)
A. －2 B. 2
C. －5＋2 D. －7＋2
4 (2023浙江9＋1高中联盟期中)设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1的离心率分别为e1，e2，且双曲线C2的渐近线的斜率小于，则的取值范围是(　　)
A. (1，4) B. (4，＋∞)
C. (1，2) D. (2，＋∞)
5 (2023山东名校考试联盟期中)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1，点P(x0，0)，当x0≥1时，椭圆C上有且仅有一点到点P的距离最小，则椭圆C离心率的取值范围为(　　)
A. (0，] B.
C. [，1) D.
6 (2023天津一百中期中)过点P的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，且满足＋＝0.若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则OM的最小值为(　　)
A. 1 B.
C. 2 D. 2
二、 多项选择题
7 (2024成都期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为8，短半轴长为2，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点Q(2，1)，P为椭圆上任意一点，则下列说法中正确的是(　　)
A. ·∈[12，16]
B. 若直线l交椭圆于A，B两点，且Q为AB的中点，则直线l的方程为3x＋2y－8＝0
C. △PF1F2内切圆面积的最大值为
D. PQ＋PF1的最小值为7
8 (2023扬州中学期中)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法中正确的是(　　)
A. PF－PF的最小值为8
B. PF1·PF2－OP2为定值
C. 若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为－2
D. 若直线l经过点F2，且与双曲线C交于另一点Q，则PQ的最小值为6
三、 填空题
9 (2023海南中学期中)直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则实数b的取值范围是________．
10 (2023重庆巴蜀中学期中)已知双曲线E：－＝1，过点P(4，t)(t>0)作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段AB的中点，则实数t的取值范围是________．
11 已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上任意一点，则·的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024焦作沁阳期末)过点E(－1，0)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，F是抛物线C的焦点．
(1) 若线段AB的中点的横坐标为3，求AF＋BF的值；
(2) 求AF·BF的取值范围．
13 (2023重庆十八中期中)如图，线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，AB＝5，M是AB上的一点，且AM＝2，点M随线段AB的运动而变化．
(1) 求点M轨迹曲线C的方程；
(2) 动点P在曲线C外，且过点P与曲线C相切的两条直线相互垂直，求证：点P在定圆上．
【答案解析】
3 圆锥曲线的综合应用(1)
1. B　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).因为－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝.因为＋x2＝1的焦点为(0，±)，所以c＝.又c2＝a2＋b2，所以a＝1，b＝，故双曲线的方程为y2－＝1.
2. C　抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－.因为点P(2，y0)在抛物线C上，且PF＝，所以＝2＋，解得p＝8.
3. B　由题意，得∠QPF1＝∠QPF2，即PQ平分∠F1PF2，故＝，而PF1＝4，由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝2a＝6，所以PF2＝2，所以＝＝2.
4. B　设A(x1，y1)，则y＝x1，B(x1，－y1)，所以AB2＋AD2＝(2y1)2＋(x1－3)2＋y＝x－6x1＋9＋5y＝x－6x1＋9＋5x1＝x－x1＋9＝＋.因为x1>0，所以当x1＝时，AB2＋AD2取得最小值，且最小值为.
5. D　如图，延长PF1交双曲线于点M，连接PF2，QF1，MF2.因为＝2，所以PM∥QF2，由双曲线的对称性，得点M，Q关于原点对称，所以＝，则四边形F1MF2Q为平行四边形，所以∠PMF2＝∠F1QF2＝.设MF1＝F2Q＝m，则PF1＝2m.由双曲线定义，得PF2－PF1＝2a，MF2－MF1＝2a，所以PF2＝2a＋2m，MF2＝2a＋m.在△PMF2中，由余弦定理，得PF＝PM2＋MF－2PM·MF2·cos ，则(2a＋2m)2＝(3m)2＋(2a＋m)2－2×3m×(2a＋m)×，整理，得m＝，所以MF1＝，MF2＝.在△F1MF2中，由余弦定理，得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2·cos ，则(2c)2＝＋－2×××，整理，得c2＝a2，所以c＝a，则该双曲线的离心率是＝.
6. C　由题意可知椭圆C的蒙日圆的半径为＝.因为MP⊥MQ，所以PQ为蒙日圆的直径，所以PQ＝2，所以MP2＋MQ2＝PQ2＝4(a2＋16).因为MP·MQ≤＝2(a2＋16)，当且仅当MP＝MQ＝时，等号成立，所以△MPQ面积的最大值为MP·MQ＝a2＋16.由△MPQ面积的最大值为34，得a2＝18，即a＝3，故椭圆的长轴长为6.
7. ACD　对于A，当n＝3m时，曲线E1：＋＝1是焦点在y轴上的椭圆，a＝，b＝，c＝＝，离心率e＝＝＝，故A正确；对于B，当n＝3m时，曲线E2：－＝1是焦点在x轴上的双曲线，a＝，b＝，c＝＝，离心率e＝＝＝，故B错误；对于C，mn≠0，直线l：＋＝1过点(m，0)，(0，n)，斜率k＝－，双曲线E2：－＝1的渐近线方程为y＝±x，直线l过曲线E2的一个顶点且与曲线E2的渐近线平行，所以直线l与曲线E2有且只有一个公共点，故C正确；对于D，曲线E1：＋＝1与x轴的交点是(m，0)，(－m，0)，与y轴的交点是(0，n)，(0，－n)，所以直线l与曲线E1相交，弦长为，当m＝n＝1时，曲线E1：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＝1，曲线E1截直线l的弦长为，故D正确．故选ACD.
8. BCD　对于A，当点P运动到点(t，1)时，PF＝1＋＝2，故p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y，故A错误；对于B，由x2＝4y，得F(0，1)，则PM＋PF≥MF＝4，故B正确；对于C，当直线l过焦点F时，设A(x0，y0)，则FA＝y0＋＝y0＋1，故以AF为直径的圆的半径为.又F(0，1)，故以AF为直径的圆的圆心坐标为，则圆心到x轴的距离与该圆半径相等，所以该圆与x轴相切，故C正确；对于D，假设存在该直线l，则直线l与直线x＋y－5＝0垂直，则该直线的斜率k＝＝1，即可设该直线的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y并整理，得x2－4x－4m＝0，则Δ＝16＋16m>0，即m>－1，所以x1＋x2＝4，x1x2＝－4m，故＝2，＝＝2＋m，则弦AB的中点(2，2＋m)在直线x＋y－5＝0上，所以2＋2＋m－5＝0，解得m＝1>－1，故存在直线l，使得A，B两点关于直线x＋y－5＝0对称，故D正确．故选BCD.
9. 2　双曲线x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，所以b＝2.
10. 4　±2　抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB＝10，得AB＝AF＋FB＝＋＝(x1＋x2)＋p＝10.又＝3，所以x1＋x2＝6，则p＝4，此时抛物线C：y2＝8x，其焦点为F(2，0).由题意可得直线l的斜率存在，则其方程可设为y＝k(x－2)，联立消去y并整理，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝4，所以AB＝＝10，即＝10，即＝10，解得k＝±2.
11. 　由题意知a＝2，所以BF2＋AF2＋AB＝4a＝8.因为BF2＋AF2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB垂直于x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程，得＋＝1.又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，所以b＝.
12. (1) 由题意，得MF等于点M到直线l的距离，
即点M的轨迹是以F(3，0)为焦点，直线l：x＝－3为准线的抛物线，
则＝3，解得p＝6，
所以抛物线的方程为y2＝12x.
(2) 当直线AB的斜率不存在时，直线的方程为x＝3，
当x＝3时，y＝±6，此时AB＝12，不符合题意，
则直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－3)，k≠0，
联立消去y并整理，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0.
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且斜率不为0，所以该直线与抛物线必有两个交点，
所以x1＋x2＝，x1x2＝9，
所以AB＝x1＋x2＋p＝＋6＝36，
解得k2＝，即k＝±，
所以直线AB的方程为y＝±(x－3).
13. (1) 由题意，得椭圆E的长半轴长a＝2，半焦距c＝1，则短半轴长b＝＝，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2) 设M(x0，y0)，显然y0≠±2，由(1)知＋＝1，即x＝3－y.
由P(0，t)，H(0，2)，
得＝(－x0，t－y0)，＝(－x0，2－y0).
由MP⊥MH，得·＝0，
所以x＋(t－y0)(2－y0)＝0，
即有3－y＋(t－y0)(2－y0)＝0，
整理，得 t(2－y0)＝－y＋2y0－3.
因为y0≠2，所以t＝y0－，
又－2故实数t的取值范围为(－2，－1).
3 圆锥曲线的综合应用(2)
1. C　因为方程＋＝1表示椭圆，且焦点在y轴上，所以解得－82. A　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，联立消去y并整理，得x2－8kx－8m＝0，则需满足Δ＝64k2＋32m>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以由弦长公式，得AB＝·＝·＝6，两边平方，得m＝－2k2.因为＝＝＝4k2＋m，将m代入，得＝4k2＋－2k2＝2k2＋＝2(k2＋1)＋－2.令t＝k2＋1，t≥1，则＝2t＋－2，而根据对勾函数的性质知y＝2t＋－2在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1时，＝，即AB的中点到x轴的最短距离为.
3. D　如图，由题意可知，圆M的圆心坐标为(0，4)，半径为1.设椭圆C的左焦点为E，即E(－2，0)，则PQ－PF＝PQ－(2a－PE)＝PQ＋PE－6，故要求PQ－PF的最小值，即求PQ＋PE的最小值．又PQ＋PE的最小值为ME－1＝－1＝2－1，即PQ－PF的最小值为－7＋2.
4. C　由题意，得c1＝，c2＝，所以e1＝＝＝＝，e2＝＝＝＝.又双曲线的渐近线的斜率小于，所以00，所以＝＝－1＋∈(1，4)，所以∈(1，2).
5. A　设椭圆上任意一点M(x，y)，则PM2＝(x－x0)2＋y2＝(x－x0)2＋b2＝e2x2－2x0x＋x＋b2.由椭圆的对称性可知，PM2在x＝2时取得最小值．又二次函数f(x)＝e2x2－2x0x＋x＋b2图象的对称轴为直线x＝，所以≥2，即2e2≤x0，所以2e2≤1.因为e>0，所以06. B　因为＋＝<1，所以点P在椭圆内，所以直线AB与椭圆总有两个交点．因为＋＝0，所以P为线段AB的中点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1≠x2，则x1＋x2＝3，y1＋y2＝1，联立可得＋＝0，则(x2＋x1)(x2－x1)＋3(y2＋y1)(y2－y1)＝0，即3(y2－y1)＋3(x2－x1)＝0，所以＝－1，即直线AB的斜率k＝－1，所以直线AB为y－＝－，即x＋y－2＝0.因为M为直线AB上任意一点，所以OM的最小值为点O到直线AB的距离d＝＝.
7. BCD　由题意可知a＝4，b＝2，c＝＝2，椭圆的方程为＋＝1.对于A，因为·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－4，且||∈[2，4]，所以·＝||2－4∈[8，12]，故A错误；对于B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，若Q为AB的中点，则所以kAB＝，kOQ＝＝＝.因为点A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，整理，得－＝＝·＝kAB·kOQ＝kAB，即kAB＝－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即3x＋2y－8＝0，故B正确；对于C，由题意，得PF1＋PF2＝2a＝8，F1F2＝2c＝4，设△PF1F2的内切圆半径为r，则S△PF1F2＝r(PF1＋PF2＋F1F2)＝6r，可得r＝S△PF1F2，当P为短轴顶点时，△PF1F2的面积取到最大值×2c×b＝bc＝4，所以△PF1F2的内切圆半径的最大值为×4＝，所以△PF1F2的内切圆面积的最大值为π＝，故C正确；对于D，因为PF1＋PF2＝8，所以PF1＝8－PF2，可得PQ＋PF1＝PQ－PF2＋8≥8－QF2＝7，当且仅当点Q在线段PF2上时，等号成立，所以PQ＋PF1的最小值为7，故D正确．故选BCD.
8. AB　由题意，得a＝1，b＝，则c＝＝2，所以焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，且PF1－PF2＝2a＝2.设P(x0，y0)，则x0≥1，且x－＝1，即y＝3x－3，双曲线C的两条渐近线的方程为y＝±x.对于A，PF－PF＝[(x0＋2)2＋y]－[(x0－2)2＋y]＝8x0≥8，故A正确；对于B，PF1·PF2－OP2＝·－(x＋y)＝·－(x＋3x－3)＝(2x0＋1)(2x0－1)－(4x－3)＝2为定值，故B正确；对于C，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋n，联立消去x并整理，得(3m2－1)y2＋6mny＋3n2－3＝0.若直线l与双曲线C相切，则Δ＝36m2n2－12(3m2－1)(n2－1)＝0，整理，得n2＝1－3m2，联立解得y＝，即点M的纵坐标为y1＝；联立解得y＝，即点N的纵坐标为y2＝，则点M，N的纵坐标之积为y1y2＝·＝＝＝－3，故C错误；对于D，若点Q在双曲线的右支上，则通径最短，其中通径长为＝6；若点Q在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为2a＝2<6，故D错误．故选AB.
9. [2，)　由题意，得曲线C：y＝表示的是椭圆＋y2＝1的上半部分，即需满足直线与＋y2＝1的两个交点在y轴非负半轴上．联立消去x并整理，得5y2－2by＋b2－4＝0，所以该方程有两个不相等的非负实根y1，y2，需满足解得2≤b<，所以实数b的取值范围是[2，).
10. [6，4]　设A(x1，y1)，B(x2，y2).若P为线段AB的中点，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2t.联立两式相减并化简，得＝.又直线AB的斜率k＝，即k＝.设直线l的方程为y－t＝k(x－4)，联立消去y并整理，得(3－k2)x2－(24－8k2)x－t2＋84－16k2＝0.因为直线与双曲线有两个不同的交点，所以Δ＝(24－8k2)2－4(3－k2)(－t2＋84－16k2)>0.又k＝，化简，得t4－84t2＋123>0，解得t>4或011. 0　设点P的坐标为(x0，y0).由题意得F(－1，0)，A(2，0)，则－2≤x0≤2，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，由＋＝1，得y＝3－x，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，故当x0＝2时，·取得最小值0.
12. (1) 由抛物线y2＝4x，得p＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为线段AB的中点的横坐标为3，
所以x1＋x2＝6.
由抛物线的定义知AF＝x1＋1，BF＝x2＋1，
所以AF＋BF＝x1＋x2＋2＝8.
(2) 由直线过点E(－1，0)，可设直线l的方程为x＝my－1，
联立消去x并整理，得y2－4my＋4＝0，
则Δ＝(－4m)2－4×4>0，解得m2>1，
且y1＋y2＝4m，y1y2＝4，
则AF·BF＝(x1＋1)(x2＋1)＝m2y1y2＝4m2>4，
所以AF·BF的取值范围为(4，＋∞).
13. (1) 令M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
则＝(x－x0，y)，＝(－x0，y0).
由AB＝5，M是AB上的一点，且AM＝2，
得＝，
所以即
则x＋y＝x2＋y2＝25，
所以＋＝1.
(2) 令P(x1，y1)，
若切线斜率存在且不为0，设切线方程为y＝kx＋m，则m＝y1－x1k，
联立y＝kx＋m与＋＝1，消去y并整理，得(4＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－36＝0，
所以Δ＝324k2m2－36(4＋9k2)(m2－4)＝0，
即m2＝4＋9k2，
所以(y1－x1k)2＝4＋9k2，
则(x－9)k2－2x1y1k＋y－4＝0.
又过点P与曲线C相切的两条直线相互垂直，
设两切线的斜率分别为k1，k2，
则k1k2＝＝－1，即x＋y＝13；
若切线斜率不存在或为0，则点P的坐标为(3，2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)，
它们都满足x＋y＝13.
综上，点P在定圆x2＋y2＝13上．