3 专题 圆锥曲线的统一定义 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3 专题 圆锥曲线的统一定义 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 31.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-07 19:49:25 | ||
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文档简介
3 专题 圆锥曲线的统一定义
一、 单项选择题
1 双曲线－＝1的两条准线之间的距离为( )
A. B.
C. D.
2 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3 双曲线2mx2－my2＝2的一条准线方程为y＝1，则m的值为( )
A. － B. － C. －3 D. －1
4 已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点 A(0，－1)，B(0，1)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是( )
A. ＋＝1(y≠0)
B. ＋＝1(y≠0)
C. ＋＝1(x≠0)
D. ＋＝1(x≠0)
5 已知动点P(x，y)满足＝|x－y＋2|，则动点P的轨迹为( )
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 圆
6 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B. C. 2 D.
二、 多项选择题
7 已知定点A(－2，)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆的右准线方程为x＝6
B. 定点A(－2，)在椭圆内
C. AM＋2MF的最大值为10
D. 当AM＋2MF取最小值时，点M的坐标为(2，)
8 (2023南通如皋阶段练习)已知双曲线C：－y2＝1，则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线C的离心率为
B. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为1
C. 双曲线C的两条准线之间的距离为
D. 双曲线C左支上的点到右焦点的最短距离为4
三、 填空题
9 中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为的椭圆方程为________．
10已知一条圆锥曲线的一个焦点是F(1，0)，对应准线l：x＝－1，且曲线过点M(3，2)，则该圆锥曲线的方程是________．
11 (2023山东月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右准线l：x＝，准线l与双曲线C渐近线的一个交点为(，)，则双曲线C的方程为________．
四、 解答题
12 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1) 求证：PF⊥l；
(2) 若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
13 (2023南通海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C右支上的一动点，右准线l：x＝与x轴的交点为M. 过点A作直线l的垂线交l于点B，直线F2B交y轴于点P，AF2＝2AB.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 证明：∠F1AF2＝2∠F2PO.
【答案解析】
3 专题 圆锥曲线的统一定义
1. C 由双曲线－＝1，得a＝2，b＝3，c＝＝，则两条准线之间的距离为＝.
2. A 由题意知，＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，所以e2－3e＋1＝0，解得e＝.
3. B 2mx2－my2＝2化为－＝1，所以 a2＝－，b2＝－，c＝＝＝.因为＝1，且m<0，所以m＝－.
4. C 设切线方程为ax＋by－1＝0，则圆心到切线的距离为＝2，所以＝，所以a2＋b2＝.设焦点为(x，y)，由抛物线定义知，＝，＝，平方相加，得2x2＋2＋2y2＝8(b2＋1)，平方相减，得4y＝16b，则b＝，所以2x2＋2＋2y2＝8，即＋＝1.依题意，焦点不能与点A，B共线，所以x≠0，故抛物线的焦点的轨迹方程为 ＋＝1(x≠0).
5. A 方程可化为＝，即动点P(x，y)到定点(2，2)的距离与到定直线 x－y＋2＝0的距离的比值为.又∈(0，1)，且点(2，2)不在直线x－y＋2＝0上，所以点P的轨迹为椭圆．
6. B 由题意知，PF1－PF2＝2a，即 3PF2＝2a，所以PF2＝a.设P(x0，y0)，则x0>0，所以＝e，所以a＝ex0－a，所以e＝.又因为x0≥a，所以≤1，当x0＝a时取等号，所以e＝·≤，即e的最大值为.
7. BD 由题意知，a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以离心率e＝.易知椭圆的右准线l的方程为x＝＝8，点A在椭圆内，故A错误，B正确；设点M到右准线的距离为d，则 ＝e，所以MF＝ed＝d，所以AM＋2MF＝AM＋d.过点A作AK⊥l于点K，交椭圆于点M0，则当A，M，K三点共线，即点M与点M0重合时，AM＋d最小，为AK，其值为8－(－2)＝10，故AM＋2MF的最小值为10，此时点M的坐标为(2，)，故C错误，D正确．故选BD.
8. ABC 在双曲线C中，a＝2，b＝1，c＝＝.对于A，双曲线C的离心率为e＝＝，故A正确；对于B，双曲线C的焦点坐标为(±，0)，渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为＝1，故B正确；对于C，双曲线C的两条准线之间的距离为 ＝＝，故C正确；对于D，设双曲线C左支上的一点为P(x，y)，则x≤－2，且y2＝－1，双曲线C的右焦点为F(，0)，则PF＝＝＝＝2－x≥2＋，故D错误．故选ABC.
9. ＋＝1 由题意，得e＝＝，＝8，解得a＝4，c＝2，则b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为＋＝1.
10. y2＝4x 因为MF＝＝4，点M到准线l的距离为d＝|3－(－1)|＝4，所以MF＝d，且点F不在准线l上，所以该圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1，0).由＝1，得p＝2，故此圆锥曲线的方程是y2＝4x.
11. －y2＝1 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，当x＝时，y＝±，所以＝.又准线方程为x＝＝＝，解得a2＝3，b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
12. (1) 由题意知，右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l的方程为y＝x，
则P.
又F(c，0)，所以kPF＝＝－.
又kl＝，
所以kPF·kl＝－·＝－1，
所以PF⊥l.
(2) 因为PF的长即点F(c，0)到直线l：bx－ay＝0的距离，
所以＝3，即b＝3.又e＝＝，
所以＝，所以a＝4.
故双曲线的方程为－＝1.
13. (1) 由题意，得右准线l：x＝，
所以＝，即c＝2a2.
因为AF2＝2AB，所以e＝＝2，
可得c＝2，a＝1，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2) 设A(x0，y0)(x0>0)，则B，
不妨令y0>0，
则tan ∠F2PO＝tan ∠F2BM＝＝，
则tan 2∠F2PO＝＝＝.
当AF2⊥x轴时，A(2，3)，
tan∠F1AF2＝，tan 2∠F2PO＝＝，
此时tan ∠F1AF2＝tan 2∠F2PO；
当x0≠2时，tan ∠F1AF2＝tan (∠AF2x－∠AF1F2)
＝
＝＝
＝＝，
即tan ∠F1AF2＝tan 2∠F2PO.
综上，tan ∠F1AF2＝tan 2∠F2PO.
由正切函数的单调性知，∠F1AF2＝2∠F2PO.
一、 单项选择题
1 双曲线－＝1的两条准线之间的距离为( )
A. B.
C. D.
2 若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3 双曲线2mx2－my2＝2的一条准线方程为y＝1，则m的值为( )
A. － B. － C. －3 D. －1
4 已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点 A(0，－1)，B(0，1)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是( )
A. ＋＝1(y≠0)
B. ＋＝1(y≠0)
C. ＋＝1(x≠0)
D. ＋＝1(x≠0)
5 已知动点P(x，y)满足＝|x－y＋2|，则动点P的轨迹为( )
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 圆
6 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A. B. C. 2 D.
二、 多项选择题
7 已知定点A(－2，)，F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆的右准线方程为x＝6
B. 定点A(－2，)在椭圆内
C. AM＋2MF的最大值为10
D. 当AM＋2MF取最小值时，点M的坐标为(2，)
8 (2023南通如皋阶段练习)已知双曲线C：－y2＝1，则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线C的离心率为
B. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为1
C. 双曲线C的两条准线之间的距离为
D. 双曲线C左支上的点到右焦点的最短距离为4
三、 填空题
9 中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为的椭圆方程为________．
10已知一条圆锥曲线的一个焦点是F(1，0)，对应准线l：x＝－1，且曲线过点M(3，2)，则该圆锥曲线的方程是________．
11 (2023山东月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右准线l：x＝，准线l与双曲线C渐近线的一个交点为(，)，则双曲线C的方程为________．
四、 解答题
12 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1) 求证：PF⊥l；
(2) 若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
13 (2023南通海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C右支上的一动点，右准线l：x＝与x轴的交点为M. 过点A作直线l的垂线交l于点B，直线F2B交y轴于点P，AF2＝2AB.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 证明：∠F1AF2＝2∠F2PO.
【答案解析】
3 专题 圆锥曲线的统一定义
1. C 由双曲线－＝1，得a＝2，b＝3，c＝＝，则两条准线之间的距离为＝.
2. A 由题意知，＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，所以e2－3e＋1＝0，解得e＝.
3. B 2mx2－my2＝2化为－＝1，所以 a2＝－，b2＝－，c＝＝＝.因为＝1，且m<0，所以m＝－.
4. C 设切线方程为ax＋by－1＝0，则圆心到切线的距离为＝2，所以＝，所以a2＋b2＝.设焦点为(x，y)，由抛物线定义知，＝，＝，平方相加，得2x2＋2＋2y2＝8(b2＋1)，平方相减，得4y＝16b，则b＝，所以2x2＋2＋2y2＝8，即＋＝1.依题意，焦点不能与点A，B共线，所以x≠0，故抛物线的焦点的轨迹方程为 ＋＝1(x≠0).
5. A 方程可化为＝，即动点P(x，y)到定点(2，2)的距离与到定直线 x－y＋2＝0的距离的比值为.又∈(0，1)，且点(2，2)不在直线x－y＋2＝0上，所以点P的轨迹为椭圆．
6. B 由题意知，PF1－PF2＝2a，即 3PF2＝2a，所以PF2＝a.设P(x0，y0)，则x0>0，所以＝e，所以a＝ex0－a，所以e＝.又因为x0≥a，所以≤1，当x0＝a时取等号，所以e＝·≤，即e的最大值为.
7. BD 由题意知，a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以离心率e＝.易知椭圆的右准线l的方程为x＝＝8，点A在椭圆内，故A错误，B正确；设点M到右准线的距离为d，则 ＝e，所以MF＝ed＝d，所以AM＋2MF＝AM＋d.过点A作AK⊥l于点K，交椭圆于点M0，则当A，M，K三点共线，即点M与点M0重合时，AM＋d最小，为AK，其值为8－(－2)＝10，故AM＋2MF的最小值为10，此时点M的坐标为(2，)，故C错误，D正确．故选BD.
8. ABC 在双曲线C中，a＝2，b＝1，c＝＝.对于A，双曲线C的离心率为e＝＝，故A正确；对于B，双曲线C的焦点坐标为(±，0)，渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为＝1，故B正确；对于C，双曲线C的两条准线之间的距离为 ＝＝，故C正确；对于D，设双曲线C左支上的一点为P(x，y)，则x≤－2，且y2＝－1，双曲线C的右焦点为F(，0)，则PF＝＝＝＝2－x≥2＋，故D错误．故选ABC.
9. ＋＝1 由题意，得e＝＝，＝8，解得a＝4，c＝2，则b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为＋＝1.
10. y2＝4x 因为MF＝＝4，点M到准线l的距离为d＝|3－(－1)|＝4，所以MF＝d，且点F不在准线l上，所以该圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为 F(1，0).由＝1，得p＝2，故此圆锥曲线的方程是y2＝4x.
11. －y2＝1 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，当x＝时，y＝±，所以＝.又准线方程为x＝＝＝，解得a2＝3，b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
12. (1) 由题意知，右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l的方程为y＝x，
则P.
又F(c，0)，所以kPF＝＝－.
又kl＝，
所以kPF·kl＝－·＝－1，
所以PF⊥l.
(2) 因为PF的长即点F(c，0)到直线l：bx－ay＝0的距离，
所以＝3，即b＝3.又e＝＝，
所以＝，所以a＝4.
故双曲线的方程为－＝1.
13. (1) 由题意，得右准线l：x＝，
所以＝，即c＝2a2.
因为AF2＝2AB，所以e＝＝2，
可得c＝2，a＝1，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2) 设A(x0，y0)(x0>0)，则B，
不妨令y0>0，
则tan ∠F2PO＝tan ∠F2BM＝＝，
则tan 2∠F2PO＝＝＝.
当AF2⊥x轴时，A(2，3)，
tan∠F1AF2＝，tan 2∠F2PO＝＝，
此时tan ∠F1AF2＝tan 2∠F2PO；
当x0≠2时，tan ∠F1AF2＝tan (∠AF2x－∠AF1F2)
＝
＝＝
＝＝，
即tan ∠F1AF2＝tan 2∠F2PO.
综上，tan ∠F1AF2＝tan 2∠F2PO.
由正切函数的单调性知，∠F1AF2＝2∠F2PO.