3 专题 直线与圆锥曲线的位置关系 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3 专题 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 (2023南阳期中)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A. (0，1)∪(1，＋∞)
B. [1，4)∪(4，＋∞)
C. (0，1)∪(1，4)
D. (1，＋∞)
2 (2023商丘实验中学期中)已知抛物线C：x2＝2ay的准线方程为y＝1，且抛物线C与直线y＝－x＋b相切，则实数b的值为(　　)
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
3 直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长AB等于(　　)
A. B. C. 2 D. 3
4 已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　)
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
5 (2023盐城响水中学期中)已知实数x，y满足x|x|－＝1，则|x－y＋6|的取值范围是(　　)
A. [6－2，3) B. [3－，3)
C. [6－，6) D. (6，6＋]
6 (2023上海复旦附中期中)设x1，x2是关于x的二次方程mx2－2x＋8－3m＝0的两个不同实根，则经过两点A(x1，x)，B(x2，x)的直线与抛物线y2＝8x公共点的个数是(　　)
A. 2 B. 1
C. 0 D. 不确定
二、 多项选择题
7 已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且AB＝8，则实数k的值为(　　)
A. ± B. ±
C. ± D. ±
8 (2023宁波金兰教育合作组织期中)如图，过焦点F的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法中正确的是(　　)
A. AB＝x1＋x2＋p
B. ∠MON＝90°
C. 以弦AB为直径的圆与准线相切
D. A，O，N三点共线
三、 填空题
9 直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系为________．
10 已知斜率为2的直线l被双曲线－＝1截得的弦长为2，则直线l的方程是________．
11 (2023江门广雅中学期中)已知线段AB是抛物线y2＝4x的一条弦，且AB的中点M在直线x＝1上，则点A横坐标的最大值为________．
四、 解答题
12 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为O，焦点为F.过点F且斜率为k的直线l与抛物线C有两个不同的交点A(4，4)，B(x2，y2)，过点A作平行于抛物线C的对称轴的直线交抛物线C的准线于点A1.
(1) 求抛物线C的方程及其准线方程；
(2) 求证：B，O，A1三点共线．
13 (2023淄博实验中学期中)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，且离心率e＝.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 已知直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，若△PAB的面积为2，求实数m的值．
3 专题 直线与圆锥曲线的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 双曲线x2－y2＝1与直线x－y＝1交点的个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
2 (2023玉林博白五校联考)已知双曲线C：x2－＝1，过点A(－1，3)，且被点A平分的弦MN所在的直线斜率为(　　)
A. B. C. － D. －
3 (2023咸宁期末)已知A，B，C是抛物线 y2＝12x上三个动点，且△ABC的重心为抛物线的焦点F.若B，C两点均在x轴上方，且BC的斜率恒有kBC>m，则实数m的最大值为(　　)
A. 1 B. C. D.
4 已知O为坐标原点，F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，线段PF交双曲线C于点Q.若Q为PF的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. 2 D. 3
5 (2024宝鸡千阳中学期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点．若直线l与OM的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6 (2023抚州临川一中期中)已知斜率为的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB中点M的纵坐标为－1，点P(2，)在椭圆上，若∠APB的平分线交线段AB于点N，则MN的值为(　　)
A. B. C. D. －
二、 多项选择题
7 (2023青岛五十八中期中)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2). 设直线l与椭圆C交于M，N两点，且P为线段MN的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. m2＝4
B. 椭圆C的离心率为
C. 直线l的方程为3x＋y－2＝0
D. △F2MN的周长为4
8 (2023绍兴一中期中)如图，已知抛物线 y2＝4x，过抛物线焦点F的直线l自上而下分别交抛物线与圆(x－1)2＋y2＝1于A，C，D，B四点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ·＝－3
B. AC·BD＝1
C. 当直线l的斜率为时，AB·AF＝
D. 4AF＋BF≥18
三、 填空题
9 已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y2＝4有相同的右焦点F2，P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若 PF2＝3，则椭圆C1的离心率为________．
10 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，AF1＝3AF2，AF2⊥x轴，则椭圆的离心率为________．
11 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，Q(2，3)为抛物线C内的一点，M为抛物线C上任意一点，且MQ＋MF的最小值为4，则p＝______；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则△OAB的面积为________．
四、 解答题
12 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，M为椭圆C上一点，∠F1MF2＝，且△MF1F2的面积为9.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若直线l交椭圆C于P，Q两点，PQ的中点为(－3，2)，求直线l的方程．
13 (2023莆田五中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点F(2，0)的距离是到直线x＝的距离的.
(1) 求点M的轨迹方程；
(2) 设P(1，0)，直线x＝t(t≠3)与点M的轨迹相交于A，B两点，若直线BP与点M的轨迹交于另一个点C，证明：直线AC过定点．
【答案解析】
3 专题 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
1. B　因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，所以只需该定点落在椭圆内或在椭圆上，则直线与椭圆总有交点，即＋≤1，解得m≥1.又m≠4，所以实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞).
2. B　由题意知，a<0，且－＝1，所以a＝－2，抛物线C的方程为x2＝－4y.将y＝－x＋b代入x2＝－4y，得x2－4x＋4b＝0.因为抛物线C与直线y＝－x＋b相切，所以Δ＝(－4)2－4×4b＝0，解得 b＝1.
3. A　联立消去y并整理，得4x2＋6x＝0，解得x＝0或x＝－，则直线与椭圆的交点为(0，1)，，所以AB＝＝.
4. B　因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又双曲线的顶点为(±1，0)，所以当直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴时，满足题意，且只有一条；当直线l的斜率存在时，直线l平行于渐近线，且过点P，只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
5. D　当x≥0，y≥0时，x2－＝1，其图象是焦点在x轴上的双曲线第一象限的部分；当x≥0，y<0时，x2＋＝1，其图象是焦点在y轴上的椭圆第四象限的部分；当x<0，y<0时，－x2＝1，其图象是焦点在y轴上的双曲线第三象限的部分；当x<0，y≥0时，－x2－＝1，不存在，则x|x|－＝1的图象如下．又|x－y＋6|＝2×的几何意义是曲线上的点到直线x－y＋6＝0的距离的2倍，两条双曲线的渐近线相同，且与x－y＋6＝0平行，此时两平行线距离为2×＝6.由图可知当直线与椭圆x2＋＝1在第四象限的部分相切时，距离取得最大．设切线为x－y＋t＝0，联立消去y并整理，得6x2＋2tx＋t2－3＝0，所以Δ＝12t2－24(t2－3)＝0，解得t＝－或t＝(舍去)，所以最大值为2×＝6＋，则|x－y＋6|的取值范围是(6，6＋].
6. A　因为x1，x2是关于x的二次方程mx2－2x＋8－3m＝0的两个不同实数根，所以
又Δ＝4－4m(8－3m)>0，得m<或m>，且m≠0.经过两点A(x1，x)，B(x2，x)的直线为y－x＝(x－x1)，整理，得y＝(x1＋x2)x－x1x2，即y＝x－＝(x－4)＋3，该直线恒过点A(4，3)，且斜率不为零，根据图象可得直线与抛物线y2＝8x公共点的个数是2.
7. BD　由直线与双曲线交于A，B两点，得 k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，即k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝－，所以AB＝·＝·＝8，解得k＝±或k＝±.故选BD.
8. ACD　设过焦点F的直线方程为x＝ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－2pty－p2＝0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，x1＋x2＝2pt2＋p，所以以AB为直径的圆的圆心为.由抛物线的定义，得AB＝AM＋BN＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，则半径为r＝AB＝(x1＋x2＋p)＝pt2＋p，圆心到准线的距离为d＝＝pt2＋p，所以以弦AB为直径的圆与准线相切．设lOA：y＝x＝x，N.因为y1y2＝－p2，所以N在直线OA上，所以A，O，N三点共线．如图，由抛物线的定义，得AF＝AM，BF＝BN，所以∠AFM＝∠AMF＝∠MFO，∠BFN＝∠BNF＝∠NFO，∠MFO＋∠NFO＝∠MFN＝90°，所以∠MON>90°，故A，C，D正确，B错误．故选ACD.
9. 相交　联立消去y并整理，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交．
10. y＝2x±　设直线l的方程为y＝2x＋m，与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝2x＋m代入双曲线－＝1，消去y并整理，得16x2＋20mx＋5(m2＋4)＝0，则Δ＝400m2－4×16×5(m2＋4)>0，解得 m>4或m<－4，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋4)，所以AB2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝5(x1－x2)2＝＝20，解得m＝±，符合题意，所以直线l的方程为y＝2x±.
11. 2　设A(x1，y1)，B(x2，y2).由抛物线的范围可知x≥0，如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0.由AB的中点M在直线x＝1上，可知＝1，即x1＝2－x2，所以x1≤2.如图2，当点B在原点时，点A的横坐标有最大值，为2.
图1 图2
12. (1) 因为过点F且斜率为k的直线l与抛物线C有两个不同的交点A(4，4)，B(x2，y2)，
所以42＝8p，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2) 因为过点A作平行于抛物线C的对称轴的直线交抛物线C的准线于点A1，
所以A1(－1，4).
由抛物线的方程为y2＝4x，得焦点F(1，0)，
所以直线l的方程为y＝(x－1)，
联立消去x并整理，得y2－3y－4＝0，
所以y1＝4，y2＝－1，即B，
所以kOB＝－4，kOA1＝－4.
因为OB，OA1有公共点O，
所以B，O，A1三点共线．
13. (1) 因为e2＝＝＝，所以a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2，1)，
所以＋＝1，
所以a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立消去y并整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
又直线l与椭圆C相交，
所以Δ＝4m2－4(2m2－4)＝16－4m2>0，
解得－2则AB＝·＝·＝.
又点P到直线l的距离d＝＝|m|，
所以S△PAB＝AB·d＝××|m|＝＝2，
所以m2＝2，所以m＝±，满足－2则m的值为±.
3 专题 直线与圆锥曲线的位置关系(2)
1. B　联立消去y并整理，得2x－1＝1，故x＝1，故方程组有且只有一组解，则双曲线 x2－y2＝1与直线x－y＝1有且只有一个交点.
2. C　设M(x1，y1)，N(x2，y2).因为点M，N在双曲线上，所以x－＝1，x－＝1，两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)＝.因为MN过点A(－1，3)，且被点A平分，所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝6，代入上式，得(x1－x2)×(－2)＝，所以＝－.
3. B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).由点B，C在x轴上方，得y2>0，y3>0.因为抛物线为y2＝12x，所以F(3，0)，则y＝12x2，y＝12x3，所以(y2－y3)(y2＋y3)＝12(x2－x3)，则kBC＝＝.又x1＋x2＋x3＝9，故＝9，即 y＋y＋y＝108.又y1＝－(y2＋y3)，代入，得y＋y＋y2y3＝54，故(y2＋y3)2＝54＋y2y3≤54＋，即(y2＋y3)2≤54，解得y2＋y3≤6，当且仅当y2＝y3＝3时，等号成立，而y2≠y3，故等号不成立，所以kBC＝>＝，故m≤，则m的最大值为.
4. A　因为以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，所以OP⊥PF.不妨设直线OP的方程为y＝x.因为F(c，0)，所以直线PF的方程为 y＝－(x－c)，由解得xP＝，yP＝.因为Q是PF的中点，所以xQ＝，yQ＝，代入双曲线方程，得－＝1，可得－＝1，可得c2＝2a2，故e＝＝＝＝.
5. D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0).将A，B两点的坐标代入椭圆C的方程，得＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0.因为M为AB的中点，所以所以＋＝0，所以kAB＝＝－，kOM＝＝.又直线l与OM的斜率之积为－，所以kAB·kOM＝－·＝－＝－，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
6. D　设M(xM，－1)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，其中yA7. BCD　对于A，因为椭圆＋＝1的焦点为F1(0，2)，F2(0，－2)，所以椭圆的焦点在y轴上，所以m2－2＝22，得m2＝6，故A错误；对于B，由A可知a2＝6，得a＝，所以离心率为e＝＝＝，故B正确；对于C，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，即＝－.因为P为线段MN的中点，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，所以＝－，所以＝－3，所以直线MN的斜率为－3，所以直线l的方程为y－＝－3，即3x＋y－2＝0，经检验，符合题意，故C正确；对于D，因为直线l：3x＋y－2＝0过点F1(0，2)，所以△F2MN的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2＋MF1＋NF1＝4a＝4，故D正确．故选BCD.
8. ABC　由题意，得F(1，0).设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.对于A，·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝1－4＝－3，故A正确；对于B，AC·BD＝(AF－1)·(BF－1)＝(x1＋1－1)·(x2＋1－1)＝x1x2＝＝1，故B正确；对于C，当直线l的斜率为时，直线l的方程为y＝(x－1)，联立直线与抛物线方程，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝，所以x1＋x2＝，所以AB·AF＝(x1＋x2＋2)(x1＋1)＝×4＝，故C正确；对于D，＋＝＋＝＝，将y1＋y2＝4t，y1y2＝－4代入可得＋＝＝＝1，所以4AF＋BF＝(4AF＋BF)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当AF＝，BF＝3时，等号成立，故D错误．故选ABC.
9. 　由题意，不妨设点P在第一象限，F1为左焦点．因为双曲线C2：x2－y2＝4可化为－＝1，由双曲线的定义知，PF1－PF2＝4，PF2＝3，则 PF1＝7，c＝＝2.由椭圆的定义知，2a＝PF1＋PF2＝10，所以a＝5.因为椭圆与双曲线有相同的右焦点，所以椭圆的离心率e＝＝.
10. 　由AF1＝3AF2，得AF1＋AF2＝4AF2＝2a，所以AF2＝，AF1＝.因为AF2⊥x轴，所以 AF＋F1F＝AF，即＋4c2＝，所以＝，即椭圆的离心率为.
11. 2　2　易知l：y＝－是抛物线的准线，过点M作MN⊥l于点N，过点Q作QP⊥l于点P，则MF＝MN，MQ＋MF＝MQ＋MN，易知当点M是QP与抛物线的交点时，QM＋MF取得最小值，所以3＋＝4，即p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1≠x2，x1＋x2＝4，y1＋y2＝6.由得x－x＝4(y1－y2)，则kAB＝＝＝1，所以直线AB的方程为y－3＝x－2，即y＝x＋1，所以原点O到直线AB的距离为d＝＝.由得x2－4x－4＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4，则AB＝|x1－x2|＝·＝×＝8，所以S△OAB＝AB·d＝×8×＝2.
12. (1) 设MF1＝m，MF2＝n.
因为∠F1MF2＝，且△MF1F2的面积为9，
所以mn＝9，即mn＝18.
又m＋n＝2a，2c＝6，m2＋n2＝(2c)2，b2＝a2－c2，
所以c＝3，a2＝18，b2＝a2－c2＝9，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，
相减整理，得＝－·.
因为PQ的中点为(－3，2)，
所以＝－×＝，
所以直线l的方程为y－2＝(x＋3)，
即3x－4y＋17＝0.
13. (1) 设点M的坐标为(x，y).
由题意，得＝|x－|，
化简，得－y2＝1，
所以点M的轨迹方程是－y2＝1.
(2) 由题意可知，直线BP的斜率不为零．
设直线BP的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，A(x1，－y1)，
联立消去x并整理，得(m2－3)y2＋2my－2＝0，
则m2－3≠0，Δ＝(2m)2＋8(m2－3)>0，解得 m2>2，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－.
直线AC的方程为y＋y1＝(x－x1)，
令y＝0，得x＝＋x1＝
＝
＝＝＝3，
所以直线AC过定点(3，0).