第3章 圆锥曲线与方程复习 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 第3章 圆锥曲线与方程复习 基础练习（含解析）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-07 19:50:59 | ||
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文档简介
第3章 圆锥曲线与方程 复习
一、 单项选择题
1 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A. 2 B. C. D.
2 已知F2为双曲线C：－＝1(a＞0)的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点，若∠AF2B＝，则△AF2B的面积为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3 (2023眉山彭山一中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且双曲线C上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线C的方程为( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
4 (2023滁州期中)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，A为椭圆的右焦点，过点A在x轴上方作两条斜率分别为1和－1的射线，与椭圆E分别交于B，C两点，且△ABC的面积为，则a2的值为( )
A. 或2 B. 2或3
C. 2 D.
5 (2023保定定州中学月考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为B，准线与y轴交于点A，P是抛物线C上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. 2 D. 2
6 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，直线AF2与椭圆C的另一个交点为B，若△BF1A为等腰三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2023长安一中期中)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. PF1＋PF2＝4
B. 椭圆C的离心率e＝
C. △PF1F2面积的最大值为2
D. 以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切
8 (2023青岛二中期中)已知双曲线x2－＝1的左、右顶点为A1，A2，左、右焦点为F1，F2，直线l与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为2
B. 若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则PM＝NQ
C. 若PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA2斜率的取值范围为
D. 存在直线l的方程为2x－y－1＝0，使得弦PQ的中点坐标为(1，1)
三、 填空题
9 已知过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线有________条．
10 (2023南通启东期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，则AB＝________．
11 设椭圆C的上顶点为D(0，1)，且长轴长为2，则椭圆C的标准方程为________；过点D作两条互相垂直的直线分别另交椭圆C于A，B两点，则直线AB过定点________．
四、 解答题
12 已知双曲线－＝1的渐近线方程为 x±2y＝0，且经过点(4，).
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若Q是直线l：y＝x＋1上一动点，过点Q引双曲线的两条切线，切点为A，B，试探究：直线AB是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
13 (2023镇江丹阳期中)已知椭圆C：＋＝1(其中a>b>0)的焦距2，点A在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若过椭圆C右焦点的直线l交椭圆C于P，Q两点，且kAP＋kAQ＝0，求直线l的方程．
【答案解析】
第3章 圆锥曲线与方程 复 习
1. C 由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，所以－·＝－1，则a＝b，所以e2＝＝＝2，则e＝.
2. D 设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知，四边形AF1BF2是平行四边形，所以S△AF1F2＝S△AF2B，∠F1AF2＝.设AF1＝r1，AF2＝r2，则4c2＝r＋r－2r1r2cos .又|r1－r2|＝2a，所以r1r2＝4b2＝16，所以S△AF1F2＝r1r2sin ＝4，所以△AF2B的面积为4.
3. B 因为双曲线C的离心率为，且双曲线C上的点到焦点的最近距离为c－a＝2，所以解得故双曲线C的方程为－＝1.
4. C 由焦距为2知，A(1，0)，a2－b2＝1.设直线AB与椭圆E的另外一个交点为D，B(x1，y1)，D(x2，y2)，则点C，D关于x轴对称，即AD＝AC.由△ABC的面积为，得AB·AC＝，即AB·AD＝，将直线BD：y＝x－1代入椭圆E的方程整理，得(2a2－1)x2－2a2x＋(2a2－a4)＝0，显然判别式大于0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为AB·AD＝，所以(x1－1)·(1－x2)＝，即－x1x2＋(x1＋x2)－1＝，所以－＋－1＝，解得a2＝2或a2＝(舍去)，所以a2＝2.
5. B 如图，易知抛物线的准线l：y＝－1，过点P作PN⊥l交直线l于点N，则PN＝BP，则＝＝.要使取得最大值，则sin ∠PAN取得最小值，即∠PAN取到最小值，所以当且仅当PA与抛物线相切于点P时，∠PAN取到最小值．当PA与抛物线相切时，设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，得x2－4kx＋4＝0，此时需满足Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1.不妨设点P在第一象限，则k＝1，此时sin ∠PAN＝，所以(sin ∠PAN)min＝，即的最大值为.
6. B 如图，因为△BF1A为等腰三角形，且AF1＝AF2＝a，又AB＋BF1＋AF1＝4a，所以AB＝，所以AF2＝2F2B.过点B作BM⊥x轴，垂足为M，则△AOF2∽△BMF2.由A(0，－b)，F2(c，0)，得B.因为点B在椭圆C上，所以＋＝1，所以＝，即离心率e＝＝.
7. AB 因为椭圆C的方程为＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝1.由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝2a＝4，故A正确；离心率e＝＝，故B正确；△PF1F2的面积S△PF1F2＝F1F2·|yP|＝|yP|，而0≤|yP|≤，所以△PF1F2面积的最大值为，故C错误；因为F1(－1，0)，F2(1，0)，F1F2＝2，所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，其圆心为(0，0)，半径为1.又直线方程为x＋y－2＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝>1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相离，故D错误．故选AB.
8. ABC 在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，c＝，A1(－1，0)，A2(1，0)，F1(－，0)，F2(，0).对于A，在双曲线的焦点三角形PF1F2中，有可得PF2·PF1＝8，所以S△PF1F2＝PF2·PF1sin ＝2，故A正确；对于B，不妨设x2－＝λ，当λ＝1时，表示双曲线，当λ＝0时，表示该双曲线的两条渐近线．设直线l：y＝kx＋m，其与x2－＝λ的交点为(x1，y1)，(x2，y2).联立消去y并整理，得(k2－2)x2＋2kmx＋m2＋2λ＝0，应满足k2－2≠0且Δ>0，则有x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝＋2m，都与λ无关，所以线段PQ的中点与线段MN的中点重合，不妨设为T.由PT＝QT，NT＝MT可知PM＝QN，故B正确；对于C，设P(x0，y0)，且x－＝1，则kPA1·kPA2＝·＝＝＝2，所以若PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA2的斜率的取值范围为，故C正确；对于D，联立消去y并整理，得2x2－4x＋3＝0，则Δ<0，故直线l与双曲线无交点，故D错误．故选ABC.
9. 2 由题意，得抛物线焦点为(1，0).当该直线斜率不存在时，此时直线方程为x＝1，则xA＋xB＝2，不符合题意，所以设直线方程为y＝k(x－1).代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝＝5，解得k＝±，所以这样的直线有2条．
10. 由抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F(2，0)，可得＝2，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，过点F且斜率为的直线y＝(x－2).联立消去y并整理，得3x2－20x＋12＝0，其中Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝.由抛物线的定义，得AB＝x1＋x2＋p＝＋4＝.
11. ＋y2＝1 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，根据题意可得b＝1，又长轴长为2，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).由可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.又＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝[2(m2－1)(k2＋1)－4k2(m2－m)＋(1＋2k2)(m－1)2]＝0，所以3m2－2m－1＝0，解得m＝－或m＝1.当m＝1时，直线AB经过点D，不满足题意，所以直线AB的方程为y＝kx－，故直线AB过定点.
12. (1) 由题意可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ，
将点(4，)代入，得λ＝4，
所以双曲线的方程为－y2＝1.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，设过点A的切线方程为y＝k(x－x1)＋y1，代入双曲线方程－y2＝1并整理，得(1－4k2)x2－8k(y1－kx1)x－4(y1－kx1)2－4＝0.
由Δ＝0，得[8k(y1－kx1)]2＋16(1－4k2)[(y1－kx1)2＋1]＝0，
化简，得(y1－kx1)2＋1－4k2＝0，展开整理，得(x－4)k2－2x1y1k＋y＋1＝0.
因为点A在双曲线上，所以－y＝1，
则x－4＝4y，y＋1＝，
所以4yk2－2x1y1k＋＝0，
即16yk2－8x1y1k＋x＝0，
当y1≠0时，解得k＝，
则切线QA：－y1y＝1.
同理可得切线QB：－y2y＝1.
当Q(－2，－1)时，A(－2，0)，切线方程为QA：x＝－2，检验知上述结论仍然成立；
同理可得当Q(2，3)时，A(2，0)，切线方程为QB：x＝2，检验知上述结论同样成立，
则A，B都是直线－y0y＝1上的点，
即lAB：－y0y＝1.(*)
又点Q(x0，y0)在直线l：y＝x＋1上，则y0＝x0＋1，
代入(*)式，得x0－y－1＝0，则过定点(－4，－1).
综上，直线AB过定点(－4，－1).
13. (1) 设椭圆的半焦距为c>0.
由题意可得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 由(1)可知，右焦点的坐标为(1，0)，且在椭圆内部，则直线l与椭圆必相交．
由题意可知直线l的斜率存在，
设l：y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，
整理，得2kx1x2－(x1＋x2)＋2k＋3＝0，
则－·＋2k＋3＝0，
解得k＝，
所以直线l的方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
一、 单项选择题
1 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A. 2 B. C. D.
2 已知F2为双曲线C：－＝1(a＞0)的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点，若∠AF2B＝，则△AF2B的面积为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3 (2023眉山彭山一中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且双曲线C上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线C的方程为( )
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
4 (2023滁州期中)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，A为椭圆的右焦点，过点A在x轴上方作两条斜率分别为1和－1的射线，与椭圆E分别交于B，C两点，且△ABC的面积为，则a2的值为( )
A. 或2 B. 2或3
C. 2 D.
5 (2023保定定州中学月考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为B，准线与y轴交于点A，P是抛物线C上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. 2 D. 2
6 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，直线AF2与椭圆C的另一个交点为B，若△BF1A为等腰三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2023长安一中期中)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. PF1＋PF2＝4
B. 椭圆C的离心率e＝
C. △PF1F2面积的最大值为2
D. 以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切
8 (2023青岛二中期中)已知双曲线x2－＝1的左、右顶点为A1，A2，左、右焦点为F1，F2，直线l与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为2
B. 若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则PM＝NQ
C. 若PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA2斜率的取值范围为
D. 存在直线l的方程为2x－y－1＝0，使得弦PQ的中点坐标为(1，1)
三、 填空题
9 已知过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线有________条．
10 (2023南通启东期中)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，则AB＝________．
11 设椭圆C的上顶点为D(0，1)，且长轴长为2，则椭圆C的标准方程为________；过点D作两条互相垂直的直线分别另交椭圆C于A，B两点，则直线AB过定点________．
四、 解答题
12 已知双曲线－＝1的渐近线方程为 x±2y＝0，且经过点(4，).
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若Q是直线l：y＝x＋1上一动点，过点Q引双曲线的两条切线，切点为A，B，试探究：直线AB是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
13 (2023镇江丹阳期中)已知椭圆C：＋＝1(其中a>b>0)的焦距2，点A在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若过椭圆C右焦点的直线l交椭圆C于P，Q两点，且kAP＋kAQ＝0，求直线l的方程．
【答案解析】
第3章 圆锥曲线与方程 复 习
1. C 由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，所以－·＝－1，则a＝b，所以e2＝＝＝2，则e＝.
2. D 设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知，四边形AF1BF2是平行四边形，所以S△AF1F2＝S△AF2B，∠F1AF2＝.设AF1＝r1，AF2＝r2，则4c2＝r＋r－2r1r2cos .又|r1－r2|＝2a，所以r1r2＝4b2＝16，所以S△AF1F2＝r1r2sin ＝4，所以△AF2B的面积为4.
3. B 因为双曲线C的离心率为，且双曲线C上的点到焦点的最近距离为c－a＝2，所以解得故双曲线C的方程为－＝1.
4. C 由焦距为2知，A(1，0)，a2－b2＝1.设直线AB与椭圆E的另外一个交点为D，B(x1，y1)，D(x2，y2)，则点C，D关于x轴对称，即AD＝AC.由△ABC的面积为，得AB·AC＝，即AB·AD＝，将直线BD：y＝x－1代入椭圆E的方程整理，得(2a2－1)x2－2a2x＋(2a2－a4)＝0，显然判别式大于0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为AB·AD＝，所以(x1－1)·(1－x2)＝，即－x1x2＋(x1＋x2)－1＝，所以－＋－1＝，解得a2＝2或a2＝(舍去)，所以a2＝2.
5. B 如图，易知抛物线的准线l：y＝－1，过点P作PN⊥l交直线l于点N，则PN＝BP，则＝＝.要使取得最大值，则sin ∠PAN取得最小值，即∠PAN取到最小值，所以当且仅当PA与抛物线相切于点P时，∠PAN取到最小值．当PA与抛物线相切时，设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，得x2－4kx＋4＝0，此时需满足Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1.不妨设点P在第一象限，则k＝1，此时sin ∠PAN＝，所以(sin ∠PAN)min＝，即的最大值为.
6. B 如图，因为△BF1A为等腰三角形，且AF1＝AF2＝a，又AB＋BF1＋AF1＝4a，所以AB＝，所以AF2＝2F2B.过点B作BM⊥x轴，垂足为M，则△AOF2∽△BMF2.由A(0，－b)，F2(c，0)，得B.因为点B在椭圆C上，所以＋＝1，所以＝，即离心率e＝＝.
7. AB 因为椭圆C的方程为＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝1.由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝2a＝4，故A正确；离心率e＝＝，故B正确；△PF1F2的面积S△PF1F2＝F1F2·|yP|＝|yP|，而0≤|yP|≤，所以△PF1F2面积的最大值为，故C错误；因为F1(－1，0)，F2(1，0)，F1F2＝2，所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，其圆心为(0，0)，半径为1.又直线方程为x＋y－2＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝>1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2＝0相离，故D错误．故选AB.
8. ABC 在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，c＝，A1(－1，0)，A2(1，0)，F1(－，0)，F2(，0).对于A，在双曲线的焦点三角形PF1F2中，有可得PF2·PF1＝8，所以S△PF1F2＝PF2·PF1sin ＝2，故A正确；对于B，不妨设x2－＝λ，当λ＝1时，表示双曲线，当λ＝0时，表示该双曲线的两条渐近线．设直线l：y＝kx＋m，其与x2－＝λ的交点为(x1，y1)，(x2，y2).联立消去y并整理，得(k2－2)x2＋2kmx＋m2＋2λ＝0，应满足k2－2≠0且Δ>0，则有x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝＋2m，都与λ无关，所以线段PQ的中点与线段MN的中点重合，不妨设为T.由PT＝QT，NT＝MT可知PM＝QN，故B正确；对于C，设P(x0，y0)，且x－＝1，则kPA1·kPA2＝·＝＝＝2，所以若PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA2的斜率的取值范围为，故C正确；对于D，联立消去y并整理，得2x2－4x＋3＝0，则Δ<0，故直线l与双曲线无交点，故D错误．故选ABC.
9. 2 由题意，得抛物线焦点为(1，0).当该直线斜率不存在时，此时直线方程为x＝1，则xA＋xB＝2，不符合题意，所以设直线方程为y＝k(x－1).代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝＝5，解得k＝±，所以这样的直线有2条．
10. 由抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F(2，0)，可得＝2，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，过点F且斜率为的直线y＝(x－2).联立消去y并整理，得3x2－20x＋12＝0，其中Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝.由抛物线的定义，得AB＝x1＋x2＋p＝＋4＝.
11. ＋y2＝1 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，根据题意可得b＝1，又长轴长为2，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).由可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.又＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1＋m－1)(kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝[2(m2－1)(k2＋1)－4k2(m2－m)＋(1＋2k2)(m－1)2]＝0，所以3m2－2m－1＝0，解得m＝－或m＝1.当m＝1时，直线AB经过点D，不满足题意，所以直线AB的方程为y＝kx－，故直线AB过定点.
12. (1) 由题意可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ，
将点(4，)代入，得λ＝4，
所以双曲线的方程为－y2＝1.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，设过点A的切线方程为y＝k(x－x1)＋y1，代入双曲线方程－y2＝1并整理，得(1－4k2)x2－8k(y1－kx1)x－4(y1－kx1)2－4＝0.
由Δ＝0，得[8k(y1－kx1)]2＋16(1－4k2)[(y1－kx1)2＋1]＝0，
化简，得(y1－kx1)2＋1－4k2＝0，展开整理，得(x－4)k2－2x1y1k＋y＋1＝0.
因为点A在双曲线上，所以－y＝1，
则x－4＝4y，y＋1＝，
所以4yk2－2x1y1k＋＝0，
即16yk2－8x1y1k＋x＝0，
当y1≠0时，解得k＝，
则切线QA：－y1y＝1.
同理可得切线QB：－y2y＝1.
当Q(－2，－1)时，A(－2，0)，切线方程为QA：x＝－2，检验知上述结论仍然成立；
同理可得当Q(2，3)时，A(2，0)，切线方程为QB：x＝2，检验知上述结论同样成立，
则A，B都是直线－y0y＝1上的点，
即lAB：－y0y＝1.(*)
又点Q(x0，y0)在直线l：y＝x＋1上，则y0＝x0＋1，
代入(*)式，得x0－y－1＝0，则过定点(－4，－1).
综上，直线AB过定点(－4，－1).
13. (1) 设椭圆的半焦距为c>0.
由题意可得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 由(1)可知，右焦点的坐标为(1，0)，且在椭圆内部，则直线l与椭圆必相交．
由题意可知直线l的斜率存在，
设l：y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，
整理，得2kx1x2－(x1＋x2)＋2k＋3＝0，
则－·＋2k＋3＝0，
解得k＝，
所以直线l的方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.