吉林省长春市榆树市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学联考数学试题
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（2017·泰兴模拟）如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的正视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答由俯视图可知，几个小立方体所搭成的几何体如图所示，
故正视图为 ，
故答案为：D．
【分析】根据俯视图的定义可知，前排左边有1个小正方体，中间有1个正方体，右边有1个正方体，后排右边有2个正方体，所以其正视图的第一层从左向右有3个小正方体，最右边第二层有1个正方形，故答案为D
2．（2024九下·榆树月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
A：，含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，分母含有二次根式，不是最简二次根式，不符合题意；
C：，是最简二次根式，符合题意；
D：，含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义进行逐一判断即可求解.
3．（2021九上·石景山期末）若，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、，得，A不符合题意；
B、 ，得，B不符合题意；
C、，得，C符合题意；
D、，得，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
4．（2024九下·榆树开学考）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，且A、B位于原点两侧，
∴A、B互为相反数，
∴B为-2023；
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义即可解答.
5．（2024九下·榆树开学考）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 2x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△==1-42(-m)>0
解得 .
故答案为：A.
【分析】考查一元二次方程根的判别式，由题知方程有两个不相等的实数根，可知△>0，解出m即可.
6．（2020九上·绿园期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故答案为：D．
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
7．（2024九上·长春期末）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作一个角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解： P为AB上一动点
根据作图过程可知，BF是的平分线
在 和中
(HL)
设，则AG=AC-GC=3-x
即
解得
故选：B
【分析】根据垂线段最短定理可以判定当，GP有最小值，根据作图过程可知作出的是角平分线，根据角平分线的性质可推断出GP的最小值就是GC的长度；设所求线段长度为x，根据勾股定理可计算出x值。
8．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2018·苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．
【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入方程，得出关于M，N的方程，根据等式的性质变形即可得出答案。
10．（2024九上·长春期末）如图，与位似，点为位似中心，若：：，则： ．
【答案】：
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，
∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，
∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，
∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，
故答案为：1：3．
【分析】利用位似三角形的性质可得△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求解即可。
11．（2024九下·榆树开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 3 …
则这个二次函数图象的对称轴是直线 ．
【答案】x＝1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵x=0、x=2时的函数值都是0，
∴此函数图象的对称轴为直线x==1；
故答案为：x=1.
【分析】由图表可知，x=0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可.
12．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上若线段，则线段 ．
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：，
∵AB=2，
∴BC=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将AB的值代入求出BC的长即可.
13．（2024九下·榆树开学考）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（x，8），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则x的值为 ．
【答案】6
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过P作PH⊥x轴于H，
∵P的坐标是(x，8)，
∴OH=x，PH=8，
∵tan α == ，
解得OH=6，
∴x的值为6；
故答案为：6.
【分析】过P作PH⊥x轴于H，由P的坐标，得到OH=x，PH=8，由锐角的正切值，求出OH=6即可得到答案.
14．（2024九下·榆树开学考）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝ ．
【答案】8
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：：，
：：，
与是位似图形，
∽，，
∽，
，
，即保存进入下一题，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据位似图形面积之比等于位似比的平方解答，由题可得OB：：，推出，从而得出.
三、解答题（共78分）
15．（2024九下·榆树开学考）计算：．
【答案】解：原式＝
＝11+6．
【知识点】二次根式的乘除法；特殊角的三角函数值；完全平方式
【解析】【分析】 利用特殊角的锐角三角函数值、二次根式的除法法则、完全平方公式计算，然后化简合并即可.
16．（2024九下·榆树月考）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在至层的任意一层出电梯．
车库
（1）如果甲在层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 ；
（2）请你用画树状图或列表法求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率．
【答案】（1）
（2）解：
甲、乙在同一楼层出电梯．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）由题意可得甲在层出电梯，和甲在同一层楼出电梯的概率是 ，
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可求解；
（2）先画出树状图得到总共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种，利用概率公式进行计算即可求解.
17．（2024九下·榆树开学考）如图，公园原有一块长18m，宽6m的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为85m2，求所铺设的石子路的宽度．
【答案】解：设所铺设的石子路的宽度为x m，则其余部分可合成长为（18﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，
根据题意得：（18﹣x）（6﹣x）＝85，
整理得：x2﹣24x+23＝0
解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）．
答：所铺设的石子路的宽度为1m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用， 设所铺设的石子路的宽度为x m，则其余部分可合成长为（18﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形 ，根据各区域鲜花面积和为85m2，列方程求解即可.
18．（2024九下·榆树开学考）由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）图①中，画出⊙O的圆心O．
（2）图②中，在BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；
（3）图③中，在⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得．
【答案】（1）解：圆心O如图①所示；
（2）解：点D如图②所示；
（3）解：点E如图③所示．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【分析】(1)由∠ACB=90°可得AB为直径，利用格点找出AB的中点即可得到圆心；
(2)利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得∠GAC=∠GAB，即GA平分∠BAC，因此GA与BC的交点即为所求的点D；
(3)作CH⊥AB，延长CH交圆于点E，由垂直定理可证.
19．（2019·信丰模拟）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
【答案】解：过点C作⊥AB于点H，过点E作EF⊥AB延长线于点F，
设CH=x，则AH=CH=x， BH=CHcot68°=0.4x，
由AB=49知x+0.4x=49，
解得x=35，∵BE=4，∴EF= BEsin68°=3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7（cm）
答：点E到地面的距离为66.7cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C作CH⊥AB于H，过点E作EF⊥AB延长线于点F，设CH=x，则AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH的长，再由EF=BEsin68°=3.72，根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
20．（2024九下·榆树开学考）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可证出结论；
(2)由翻折可得：AF=10，根据勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
21．（2024九下·榆树开学考）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝ ．
（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝ ．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）
（3）2
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）解：连接AR，
∵E是AP的中点，F是PR的中点，
∴EF＝AR，
∵R是CD的中点，
∴DR＝CD，
∵CD＝4，
∴DR＝2，
∵AD＝6，
∴AR＝2，
∴EF＝，
故答案为：；
（3）解：∵E是AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝16，
∴DE＝8，
∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB，
∵AB＝12，
∴DF＝6，
∴EF＝2，
故答案为：2．
【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明 △ADE∽△ABC ，即可证明DE∥BC，且DE＝BC ；
(2)连接AR，在△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF即可；
(3)在直角△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线定义求DE，即可求EF.
22．（2024九下·榆树开学考）某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：min），并对数据进行了整理、描述，部分信息如下：
a．每天在校体育锻炼时间分布情况：
每天在校体育锻炼时间x（min） 频数（人） 百分比
60≤x＜70 14 14%
70≤x＜80 40 m
80≤x＜90 35 35%
x≥90 n 11%
b．每天在校体育锻炼时间在80≤x＜90这一组的是：80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，84，84，84，85，85，85，85，85，85，85，85，86，87，87，87，87，87，88，88，88，89，89，89，89，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ．
（2）若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；
（3）该校准备确定一个时间标准p（单位：min），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使25%的学生得到表扬，则p的值可以是 ．
【答案】（1）40%；11
（2）解：1000×（35%+11%）＝460（名），
答：该校1000名学生中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生大约有460名；
（3）86
【知识点】用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：（1）m=100%-14%-35%-11%=40%，
调查总人数：1414%=100（人），
n=100-14-40-35=11（人），
故答案为：40%、11；
（3）所调查的人数中，体育锻炼时间大于90分钟的有11人，在80≤x＜90的有35人，
根据所列举的数据可知，p＝86，
故答案为：86．
【分析】（1）根据频率=计算即可；
（2）求出样本中 体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数占比，利用样本估计总体，频数=频率x总数；
（3）求出体育锻炼时间在前25%的学生人数，再根据所列举出的数据进行判断即可.
23．（2024九上·朝阳期末）如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为 ，
把点代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
∴球不能射进球门．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设抛物线为 ，再将点A的坐标代入求出a的值即可；
（2）将x=0代入解析式求出y的值再比较大小即可.
24．（2020九上·二道期末）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE∽△DCF．
（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）解：∵△DAE∽△DCF，
∴ ，
∴
∴y＝ x+4；
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴16+AE2＝（6﹣AE）2，
∴AE＝ ，
∴DE＝BE＝ ，
∴cos∠AED＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；（2）运用相似三角形的性质解答即可；（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.
25．（2024九下·榆树开学考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3 …
y ﹣2 m ﹣2 1 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求抛物线的解析式和m的值．
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c（x＞0）的图象记为G1，将G1绕点O旋转180°后的图象记为G2，G1、G2合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①若直线y＝k与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围．
②若对于函数G上的两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥2时，总有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）开口向上；x＝1
（2）解：设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k，代入（0，﹣2）、（3，1）得：
y＝（x﹣1）2﹣3，
将（1，m）代入上式，得：m＝﹣3；
（3）解：①k的值为﹣3或3或﹣2≤k≤2②0＜t＜1或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的三种形式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格知：x=0和x=2时，y=-2
∴（0，-2）和（2，-2）是对称点
∴对称轴为直线x==1；
由表格知x>1时，y随x的增大而增大，
∴ 抛物线开口向上；
故答案为：开口向上，x=1.
（3）①如下图，从图象看，当k的值为﹣3或3或﹣2≤k≤2时，直线y＝k与函数G有且只有两个交点，
②当点P在y轴右侧和点Q（x＝2）之间以及在点R的左侧时，总有y1＜y2，如下图：
当点P在y轴右侧和点Q（x＝2）之间时，
则t+1＜2且t＞0，
即0＜t＜1；
当点P在点R的左侧时，
根据函数的对称性，y轴右侧抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当x＝2时，y＝（x﹣1）2﹣3＝﹣2，
当y＝2＝﹣x2﹣2x+2，
则xR＝﹣1﹣（正值已舍去）；
则t+1＜xR＝﹣1﹣，
即t＜﹣2﹣，
综上，0＜t＜1或．
【分析】（1）由表格数据，根据函数图象和性质即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）①出图函数图象，观察函数图象即可求解；
②当点P在y轴右侧和点Q（x=2）之间以及在店R的左侧时，总有y11 / 1吉林省长春市榆树市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学联考数学试题
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（2017·泰兴模拟）如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的正视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·榆树月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·石景山期末）若，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·榆树开学考）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
5．（2024九下·榆树开学考）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·绿园期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
7．（2024九上·长春期末）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2018·苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．
10．（2024九上·长春期末）如图，与位似，点为位似中心，若：：，则： ．
11．（2024九下·榆树开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 3 …
则这个二次函数图象的对称轴是直线 ．
12．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上若线段，则线段 ．
13．（2024九下·榆树开学考）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（x，8），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则x的值为 ．
14．（2024九下·榆树开学考）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S△ABC＝2，则S△DEF＝ ．
三、解答题（共78分）
15．（2024九下·榆树开学考）计算：．
16．（2024九下·榆树月考）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在至层的任意一层出电梯．
车库
（1）如果甲在层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是 ；
（2）请你用画树状图或列表法求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率．
17．（2024九下·榆树开学考）如图，公园原有一块长18m，宽6m的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为85m2，求所铺设的石子路的宽度．
18．（2024九下·榆树开学考）由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）图①中，画出⊙O的圆心O．
（2）图②中，在BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；
（3）图③中，在⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得．
19．（2019·信丰模拟）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
20．（2024九下·榆树开学考）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的长．
21．（2024九下·榆树开学考）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝ ．
（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝ ．
22．（2024九下·榆树开学考）某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：min），并对数据进行了整理、描述，部分信息如下：
a．每天在校体育锻炼时间分布情况：
每天在校体育锻炼时间x（min） 频数（人） 百分比
60≤x＜70 14 14%
70≤x＜80 40 m
80≤x＜90 35 35%
x≥90 n 11%
b．每天在校体育锻炼时间在80≤x＜90这一组的是：80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，84，84，84，85，85，85，85，85，85，85，85，86，87，87，87，87，87，88，88，88，89，89，89，89，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ．
（2）若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；
（3）该校准备确定一个时间标准p（单位：min），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使25%的学生得到表扬，则p的值可以是 ．
23．（2024九上·朝阳期末）如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．
24．（2020九上·二道期末）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE∽△DCF．
（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为 ．
25．（2024九下·榆树开学考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x 0 1 2 3 …
y ﹣2 m ﹣2 1 …
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为直线 ．
（2）求抛物线的解析式和m的值．
（3）将抛物线y＝ax2+bx+c（x＞0）的图象记为G1，将G1绕点O旋转180°后的图象记为G2，G1、G2合起来得到的图象记为G，完成以下问题：
①若直线y＝k与函数G有且只有两个交点，直接写出k的取值范围．
②若对于函数G上的两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥2时，总有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答由俯视图可知，几个小立方体所搭成的几何体如图所示，
故正视图为 ，
故答案为：D．
【分析】根据俯视图的定义可知，前排左边有1个小正方体，中间有1个正方体，右边有1个正方体，后排右边有2个正方体，所以其正视图的第一层从左向右有3个小正方体，最右边第二层有1个正方形，故答案为D
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
A：，含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，分母含有二次根式，不是最简二次根式，不符合题意；
C：，是最简二次根式，符合题意；
D：，含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义进行逐一判断即可求解.
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、，得，A不符合题意；
B、 ，得，B不符合题意；
C、，得，C符合题意；
D、，得，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，且A、B位于原点两侧，
∴A、B互为相反数，
∴B为-2023；
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义即可解答.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 2x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△==1-42(-m)>0
解得 .
故答案为：A.
【分析】考查一元二次方程根的判别式，由题知方程有两个不相等的实数根，可知△>0，解出m即可.
6．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故答案为：D．
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作一个角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解： P为AB上一动点
根据作图过程可知，BF是的平分线
在 和中
(HL)
设，则AG=AC-GC=3-x
即
解得
故选：B
【分析】根据垂线段最短定理可以判定当，GP有最小值，根据作图过程可知作出的是角平分线，根据角平分线的性质可推断出GP的最小值就是GC的长度；设所求线段长度为x，根据勾股定理可计算出x值。
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
9．【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】根据方程根的概念，将x=2代入方程，得出关于M，N的方程，根据等式的性质变形即可得出答案。
10．【答案】：
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，
∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，
∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，
∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，
故答案为：1：3．
【分析】利用位似三角形的性质可得△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求解即可。
11．【答案】x＝1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵x=0、x=2时的函数值都是0，
∴此函数图象的对称轴为直线x==1；
故答案为：x=1.
【分析】由图表可知，x=0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可.
12．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：，
∵AB=2，
∴BC=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将AB的值代入求出BC的长即可.
13．【答案】6
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过P作PH⊥x轴于H，
∵P的坐标是(x，8)，
∴OH=x，PH=8，
∵tan α == ，
解得OH=6，
∴x的值为6；
故答案为：6.
【分析】过P作PH⊥x轴于H，由P的坐标，得到OH=x，PH=8，由锐角的正切值，求出OH=6即可得到答案.
14．【答案】8
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：：，
：：，
与是位似图形，
∽，，
∽，
，
，即保存进入下一题，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据位似图形面积之比等于位似比的平方解答，由题可得OB：：，推出，从而得出.
15．【答案】解：原式＝
＝11+6．
【知识点】二次根式的乘除法；特殊角的三角函数值；完全平方式
【解析】【分析】 利用特殊角的锐角三角函数值、二次根式的除法法则、完全平方公式计算，然后化简合并即可.
16．【答案】（1）
（2）解：
甲、乙在同一楼层出电梯．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）由题意可得甲在层出电梯，和甲在同一层楼出电梯的概率是 ，
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可求解；
（2）先画出树状图得到总共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种，利用概率公式进行计算即可求解.
17．【答案】解：设所铺设的石子路的宽度为x m，则其余部分可合成长为（18﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形，
根据题意得：（18﹣x）（6﹣x）＝85，
整理得：x2﹣24x+23＝0
解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）．
答：所铺设的石子路的宽度为1m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用， 设所铺设的石子路的宽度为x m，则其余部分可合成长为（18﹣x）m，宽为（6﹣x）m的矩形 ，根据各区域鲜花面积和为85m2，列方程求解即可.
18．【答案】（1）解：圆心O如图①所示；
（2）解：点D如图②所示；
（3）解：点E如图③所示．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【分析】(1)由∠ACB=90°可得AB为直径，利用格点找出AB的中点即可得到圆心；
(2)利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得∠GAC=∠GAB，即GA平分∠BAC，因此GA与BC的交点即为所求的点D；
(3)作CH⊥AB，延长CH交圆于点E，由垂直定理可证.
19．【答案】解：过点C作⊥AB于点H，过点E作EF⊥AB延长线于点F，
设CH=x，则AH=CH=x， BH=CHcot68°=0.4x，
由AB=49知x+0.4x=49，
解得x=35，∵BE=4，∴EF= BEsin68°=3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7（cm）
答：点E到地面的距离为66.7cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C作CH⊥AB于H，过点E作EF⊥AB延长线于点F，设CH=x，则AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH的长，再由EF=BEsin68°=3.72，根据点E到地面的距离为CH+CD+EF可得答案．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可证出结论；
(2)由翻折可得：AF=10，根据勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
21．【答案】（1）证明：∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）
（3）2
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）解：连接AR，
∵E是AP的中点，F是PR的中点，
∴EF＝AR，
∵R是CD的中点，
∴DR＝CD，
∵CD＝4，
∴DR＝2，
∵AD＝6，
∴AR＝2，
∴EF＝，
故答案为：；
（3）解：∵E是AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝16，
∴DE＝8，
∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB，
∵AB＝12，
∴DF＝6，
∴EF＝2，
故答案为：2．
【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明 △ADE∽△ABC ，即可证明DE∥BC，且DE＝BC ；
(2)连接AR，在△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF即可；
(3)在直角△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线定义求DE，即可求EF.
22．【答案】（1）40%；11
（2）解：1000×（35%+11%）＝460（名），
答：该校1000名学生中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生大约有460名；
（3）86
【知识点】用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：（1）m=100%-14%-35%-11%=40%，
调查总人数：1414%=100（人），
n=100-14-40-35=11（人），
故答案为：40%、11；
（3）所调查的人数中，体育锻炼时间大于90分钟的有11人，在80≤x＜90的有35人，
根据所列举的数据可知，p＝86，
故答案为：86．
【分析】（1）根据频率=计算即可；
（2）求出样本中 体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数占比，利用样本估计总体，频数=频率x总数；
（3）求出体育锻炼时间在前25%的学生人数，再根据所列举出的数据进行判断即可.
23．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为 ，
把点代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
∴球不能射进球门．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）设抛物线为 ，再将点A的坐标代入求出a的值即可；
（2）将x=0代入解析式求出y的值再比较大小即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）解：∵△DAE∽△DCF，
∴ ，
∴
∴y＝ x+4；
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴16+AE2＝（6﹣AE）2，
∴AE＝ ，
∴DE＝BE＝ ，
∴cos∠AED＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；（2）运用相似三角形的性质解答即可；（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.
25．【答案】（1）开口向上；x＝1
（2）解：设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k，代入（0，﹣2）、（3，1）得：
y＝（x﹣1）2﹣3，
将（1，m）代入上式，得：m＝﹣3；
（3）解：①k的值为﹣3或3或﹣2≤k≤2②0＜t＜1或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的三种形式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）由表格知：x=0和x=2时，y=-2
∴（0，-2）和（2，-2）是对称点
∴对称轴为直线x==1；
由表格知x>1时，y随x的增大而增大，
∴ 抛物线开口向上；
故答案为：开口向上，x=1.
（3）①如下图，从图象看，当k的值为﹣3或3或﹣2≤k≤2时，直线y＝k与函数G有且只有两个交点，
②当点P在y轴右侧和点Q（x＝2）之间以及在点R的左侧时，总有y1＜y2，如下图：
当点P在y轴右侧和点Q（x＝2）之间时，
则t+1＜2且t＞0，
即0＜t＜1；
当点P在点R的左侧时，
根据函数的对称性，y轴右侧抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当x＝2时，y＝（x﹣1）2﹣3＝﹣2，
当y＝2＝﹣x2﹣2x+2，
则xR＝﹣1﹣（正值已舍去）；
则t+1＜xR＝﹣1﹣，
即t＜﹣2﹣，
综上，0＜t＜1或．
【分析】（1）由表格数据，根据函数图象和性质即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）①出图函数图象，观察函数图象即可求解；
②当点P在y轴右侧和点Q（x=2）之间以及在店R的左侧时，总有y11 / 1
