【北师大版八上同步练习】 第四章 一次函数（能力提升）检测题（含答案）

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【北师大版八上同步练习】
第四章一次函数（能力提升）检测题
一、填空题
1．如图，矩形中，，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则的长为　 　.
2．函数的图像经过，那么　 　0．（填“”，“”或“=”）
3．若 成立，则x满足　 　
二、单选题
4．下列函数中，是一次函数的是（　　）
①；②；③；④
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
5．函数y＝2x﹣1图象向上平移3个单位后，对应函数为（　　）
A．y＝2x+3 B．y＝x﹣5 C．y＝2x+2 D．y＝2x﹣5
6．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．一次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，一次函数y1=ax+b（a，b是常数）的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，3）、点B，正比例函数y2=x的图象与一次函数y1的图象交于点P（m，1），有下列结论：
①一次函数y1的图象与y轴交点的纵坐标为3；
②方程ax+b=0的解为x=4.5；
③不等式ax+b<0的解集为x>4.5，其中正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
三、解答题
9．已知y﹣2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝12，求y与x的函数关系式．
10．已知y与x－1成反比例，且当x＝－5时，y＝2．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝5时，求y的值．
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若，求AF的长．
四、计算题
12．已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 时， ； 时， .试求当 时， 的值.
五、综合题
13．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍，若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞，无人机所在高度（米）与时间（秒）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）甲在空中停留时的高度是　 　米，甲出发　 　秒后乙开始起飞，点表示的意义是　 　；
（2）甲、乙两架无人机的上升速度分别是多少米/秒？
（3）当时，两架无人机所在的高度相差多少米？
14．甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟　 　米，乙在A地时距地面的高度b为　 　米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？
15．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的 时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
六、实践探究题
16．小明在学习一次函数后，对形如y=k(x-m)+n(其中k，m，n为常数，且k≠0) 的一次函 数图象和性质进行了探究，过程如下：
（1）[特例探究]
如图所示，小明分别画出了函数y=(x-2)+1，y=-(x-2)+1，y=2(x-2)+1的图象(网格中每个小方格边长为1)．通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现y=k(x-2)+1(k为常数，且k≠0) 的图象一定会经过的点的坐标是　 　 ；
（2）[深入探究]
归纳：函数y=k(x-m)+n (其中k、m、n为常数，且k≠0)的图象上定会经过的点的坐标是　 　 ；(用含m，n的字母表示)
（3）[实践运用]
已知一次函数y=k(x+2)+3(k为常数，且k≠0)的图象一定会经过点N，且与y轴相交于点M，点O为坐标原点，若AOMN的面积为4，求k的值．
17． 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标；
（3）请完成以下探究．
【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E．
【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由．
18．学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距 个单位长度的直线跑道 上，机器人甲从端点 出发，匀速往返于端点 、 之间，机器人乙同时从端点 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 、 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种.
（1）【观察】
①观察图 ，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 　 　个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 　 　个单位长度；
（2）【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度.兴趣小组成员发现了 与 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 ，不包括点 ，如图 所示）.
① ＝　 　；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图 中补全函数图象；　 　
（3）【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离 不超过 个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离 的取值范围是　 　.（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
2．【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
3．【答案】2≦x<3
【知识点】二次根式有意义的条件
4．【答案】B
【知识点】一次函数的定义
5．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
7．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
8．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题
9．【答案】解：由题意，设，
把x=1，y=12代入，得，
解得
∴y与x的函数关系式为
即
【知识点】函数解析式；待定系数法求一次函数解析式
10．【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为，
由题意得2＝，解得k＝－12
∴y与x的函数关系式为y＝－
（2）解：当x＝5时，y＝－＝－＝－3
【知识点】函数值；待定系数法求反比例函数解析式；用关系式表示变量间的关系
11．【答案】解：∵四边形为矩形，∴，，，，，∴，
∵垂直平分，∴，∴，
∴为等边三角形，∴，
∵，∴，
设，则，由勾股定理得：，
∴，解得：（负值已舍去），
∵，，∴，
∴，∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的应用；矩形的性质
12．【答案】解：设 ， 则 解得 ， 当x=3时，y的值为
【知识点】反比例函数的定义；正比例函数的定义
13．【答案】（1）20；14；24秒时甲、乙无人机所在高度都是60米
（2）解：（米/秒）
（米/秒）
因此，甲、乙两架无人机的上升速度分别为4米/秒、6米/秒。
（3）解：（米）
因此，当时，两架无人机所在的高度相差12米。
【知识点】一次函数的实际应用；一次函数图象、性质与系数的关系
14．【答案】（1）10；30
（2）解：当0≤x≤2时，y=15x；
当x≥2时，y=30+10×3（x-2）=30x-30．
当y=30x-30=300时，x=11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为 ．
（3）解：甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100-（30x-30）=50时，解得：x=4；
当30x-30-（10x+100）=50时，解得：x=9；
当300-（10x+100）=50时，解得：x=15．
答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
15．【答案】（1）解： 点A的坐标为 ，
设直线AB的解析式为 ，
点 在直线AB上，
，
，
直线AB的解析式为
（2）解：由 知，直线AB的解析式为 ，
令 ，
，
，
，
，
的面积是 的面积的 ，
，
设P的纵坐标为m，
，
，
，
直线OC的解析式为 ，
当点P在OC上时， ，
，
当点P在BC上时， ，
，
即：点 或
（3）解： 是直角三角形，
，
当点P在OC上时，由 知，直线OC的解析式为 ，
直线BP的解析式的比例系数为 ，
，
直线BP的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
，
当点P在BC上时，由 知，直线AB的解析式为 ，
直线OP的解析式为 ，联立 解得， ，
，
即：点P的坐标为 或 ．
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题
16．【答案】（1）(2，1)
（2）(m，n)
（3）将x=-2代入y=k(x+2)+3得y=3，
∴点N坐标为(-2，3)，
将x=0代入y=k(+2)+3得y=2k+3，
∴点M坐标为(0，2k +3)，
∴OM =|2k+3|，
∴S△OMN=OM．|xN|=×2OM=|2k+3|=4，
当2k+3=4时，k=
当2k+3=-4时，k=
∴k的值为或
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
17．【答案】（1）解：抛物线与x轴相交于，两点，
，解得，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：连接，过点M作轴交于点H，如图所示：
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
直线的表达式为，
设点，则点，
则四边形的面积
，
解得：，
故点；
（3）解：依题意作图如图所示：
设点M、N的坐标分别为、，
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
的表达式为：，
将代入得：，
整理得：，
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，可得，
解得：，
可得：，
，
则
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
18．【答案】（1）；
（2）50；当 时，点 在线段 上， ∴线段 的表达式为 ， 当 时，即当 ，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点 返回向点 时， 设机器人甲的速度为 ，则机器人乙的速度为 ， 根据题意知， ， ， 即： ， 补全图形如图2所示，
（3）0＜x≤12或48≤x≤72.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题
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