【北师大版八上同步练习】 第四章 一次函数（培优）检测题（含答案）

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【北师大版八上同步练习】
第四章一次函数（培优）检测题
一、填空题
1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点M（x，y）满足，那么称点M是点A，B的“双减点”．
⑴点A（﹣1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，﹣2），则B点坐标是 　 　；
⑵若点D（3，﹣4），点E（4m，﹣2m﹣5）的“双减点”是点F，当点F在直线y＝x+1下方时，m的取值范围是 　 　．
2．已知正比例函数的图象经过(－1，2)，则当x=2时，函数y的值为　 　．
3．定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知三点，连接，以为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 　 　．
二、单选题
4．一次函数与正比例函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知正比例函数的图象经过点，则的值为（　　）．
A． B． C． D．8
6．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（　　）
A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度
C．燃料的体积 D．火箭的质量
7．以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系：
篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系．
小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系．
李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系．
周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系．用图象法依次刻画以上变量间关系，排序正确的是（　　）
A．①—（1），②—（2），③—（3），④—（4）
B．①—（1），③—（2），④—（3），②—（4）
C．①—（1），③—（2），②—（3），④—（4）
D．①—（1），④—（2），②—（3），③—（4）
8．若与成正比，则（　　）
A．y是x的正比例函数 B．y是x的一次函数
C．y与x没有函数关系 D．以上都不正确
三、解答题
9．已知正比例函数经过点，求的值．
10．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量（只） 1 2 3 4 5 …
高度（cm） 4 5.2 6.4 7.6 8.8 …
（1）h（cm）表示这摞碗的高度，x（只）表示这摞碗的数量，请用含x的代数式表示h；
（2）若这摞碗共有15个，求这摞碗的高度；
（3）若这摞碗的高度为11.2cm，求这摞碗的数量．
11．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且.
（1）求直线的解析式；
（2）①若另一条直线与直线有唯一交点，求点的坐标；
②直接写出的取值范围.
（3）若直线只与轴的交点在线段上（不与，重合），试写出取值范围.
四、计算题
12．已知函数y=(2m+1)x+m-3
(1)若函数图象经过原点，求m的值；
(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限， 求的取值范围.
五、综合题
13．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（ ）与所挂物体质量x（ ）满足函数关系 ．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20 时，求所挂物体的质量．
14．如图，函数与的图象交于点．
（1）求出m，n的值；
（2）观察图象，写出的解集；
（3）设和的面积分别为、，求．
15．已知直线为，点在上，且，点的坐标为．
（1）设的面积为，求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）当时，求点的坐标；
（3）在直线上有一点，使的和最小，求点的坐标．
六、实践探究题
16． 综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）
素材2 对该背包的背带长度进行测量，该双层的部分长度是，单层部分的长度是，得到如下数据：双层部分长度2610单层部分长度116108100
素材3 单肩背包的最佳背带总长度与身高比例为
根据上述的素材，解决以下问题：
（1）在下图的平面直角坐标系中，以表格中的x的值为横坐标，以y的值为纵坐标，描出所表示的点，并将这些点依次连接起来，观察这些点是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线对应的函数解析式，如果不在同一直线上，请说明理由．
（2）设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式．
（3）身高的小明爸爸准备购买此款背包，爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
17．【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是　 　；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
18． 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当　 　时，代数式到最小值，最小值为　 　；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为　 　．
答案解析部分
1．【答案】（﹣9，7）；m＜
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；定义新运算
2．【答案】-4
【知识点】正比例函数的图象和性质；待定系数法求一次函数解析式
3．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
6．【答案】B
【知识点】函数的概念
7．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
8．【答案】B
【知识点】一次函数的定义；正比例函数的定义；用关系式表示变量间的关系
9．【答案】解：将代入中，
得，
解得.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
10．【答案】（1）解：由表格中两个变量的变化关系可得，，
答：
（2）解：当时，
答：当这摞碗共有15个时，这摞碗的高度是
（3）解：当时，即，解得，
答：当这摞碗的高度为，碗的数量为7只．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
11．【答案】（1）解：对于直线，令得
∴
∵，
∴
∴
把代入，得
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①联立方程组，
∴
整理得，，
∵直线与直线有唯一交点，
∴
解得，
∴，
∴点P的坐标为：
②由①知
∴；
（3）解：对于，当时，
∵直线只与轴的交点在线段上（不与，重合），
∴，
解得，．
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
12．【答案】解：（1）把（0，0）代入，得m-3=0，m=3；
（2）根据y随x的增大而减小说明k＜0，即2m+1＜0，m＜；
（3）若图象经过第一、三象限，得m=3．
若图象经过第一、二、三象限，则2m+1＞0，m-3＞0，解得m＞3，
综上所述：m≥3．
【知识点】一次函数的定义；一次函数的性质
13．【答案】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得：
，
解得： ，
∴y与x的函数关系式为
（2）解：把y=20代入（1）中函数解析式得：
，
解得： ，
即所挂物体的质量为2.5kg
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
14．【答案】（1）解：将点代入函数得：，
解得，
，
将点代入函数得：，
解得．
（2）解：不等式表示的是函数的图象位于函数的图象下方（含交点），
则由函数图象可知，的解集为．
．
（3）解：对于函数，
当时，，则，
当时，，解得，则，
，
对于函数，
当时，，则，
，
，
，
．
【知识点】一次函数图象与几何变换
15．【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵直线为，
∴直线l的解析式为，
∴当时，；
∵，，
∴，
∴，
（2）解：当时，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作点O关于直线l的对称点G，连接，设直线l与x轴，y轴分别交于D、C，
∴，
∴，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时最小，即此时最小，则点M即为直线与直线l的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数的性质
16．【答案】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，这些点在同一条直线上，
设这条直线的解析式为、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
这条直线的解析式为；
（2）解：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
，
身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式为；
（3）解：当时，，
解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
17．【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
18．【答案】（1）；
（2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）解：∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）
【知识点】二次根式的应用；函数解析式
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