8.6.2直线与平面垂直（第二课时）（同步课件）(共20张PPT)-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

(共20张PPT)
8.6.2直线与平面垂直
（第二课时）
复习导入
直线与平面垂直①
定义
线面角
判定定理
直线 和平面内的任意一条直线都垂直，则
（线面垂直线线垂直）
复习导入
证明线线垂直的方法
复习导入
证明线面垂直的方法
新知探究
思考1：如何研究直线与平面垂直的性质？类比线面平行，面面平行的性质研究，从哪些角度考虑？
先研究已有的线线关系，然后再加新的直线、平面探究
问题1：若直线与平面垂直，则已知直线与这个平面内的直线是什么位置关系？
（线面垂直线线垂直）
新知探究
问题2：如果在线面垂直的前提下加入新的直线或平面，它们与其已知的线面形成的关系中，有哪些不变的性质？
①加入直线，其中
猜想
//
你能试着证明它吗？
新知探究
猜想：垂直与同一个平面的两条直线平行
已知： 求证： //
假设与不平行，
记直线与的交点为，则可过作
直线与确定平面，设 （交线）
，
又，
这样在平面内过点有两条直线和都垂直于直线，这不可能！
//
新知探究
线面垂直性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言： 图形语言：
//
线面垂直
线线平行
思考：反之，若那么成立吗？
√
新知探究
②加入直线，其中（或//）
//或
（ ）
③加入平面，其中
反之，若，，那么成立吗？
新知探究
直线与平面垂直的性质
①
② //
③ //
④
证明：过直线上任意两点分别作平面的垂线，，
垂足分别为.
∵，∴.
设直线确定的平面为，.
∵∴.
∴四边形是矩形.
∴
由是直线上任取的两点，
可知直线上各点到平面的距离相等.
新知探究
例1：直线平行于平面，求证：直线各点到平面的距离相等．
新知探究
问题2：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度即为该点到平面的距离．那么我们该如何定义直线到平面的距离呢？进一步，又该如何定义两个平行平面间的距离？
点到平面的距离
直线到平面的距离
平行平面间的距离
线面平行时，线上任意一点到平面的距离为直线到平面的距离
平面上任意一点到另一平面的距离为平行平面间的距离
新知探究
转化
线面距离
面面距离
转化
点面距离
前面学习的棱柱、棱台的体积公式中的高，就是它们上、下底面间的距离，也就是上底面内任意一点到下底面的距离．
练习巩固
辨析1：设正方体的棱长为1，则：
(1)点到面的距离为________；
(2)点到面的距离为________；
(3)到面的距离为________；
(4)平面与平面间的距离为________；
(5)点到的距离为________.
练习巩固
例2：推导棱台的体积公式，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高.
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
P
解：如图，垂直于棱台的上底面，从而.
设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为，
则.于是
所以棱台的体积
. ①
由棱台的上下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且
所以.代入①式，得
O′
O
练习巩固
练习1：如图,在正方体
中,是上一点,是的中点,平面.求证:∥.
证明：因为在正方体中,四边形为正方形,
所以.
又因为平面, 平面
所以
因为平面平面
所以平面
又因为平面,
所以∥
练习巩固
练习2：已知正方体的棱长为,求平面到平面的距离
解：因为两平面平行,
所以原问题等价于求解点到平面的距离,
由等体积法可得=,
即,
解得
即平面到平面的距离为.
练习巩固
练习3：如图所示,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形,
(1)求证:平面; (2)求证:.
证明：（1）在直角梯形中,,
所以,
所以,所以.
因为平面,∥,
所以平面,所以
又平面,平面,,所以平面
练习巩固
练习3：如图所示,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形,
(1)求证:平面; (2)求证:.
证明：（2）因为平面,平面,
所以
又所以.
又平面,平面,
所以平面.
又平面,所以.
小结