8.3.1+棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件(共31张PPT)-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

(共31张PPT)
人教A版2019必修第二册
第 八 章 立体几何初步
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
1.通过对柱体、锥体、台体的研究,掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法.
2.了解柱体、锥体、台体的表面积、体积计算公式.
3.能运用柱体、锥体、台体的表面积、体积公式进行计算和解决有关实际问题.
4.通过学习并运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式.
教学目标
PART.01
情境引入
情境导入
埃及金字塔被誉为世界奇迹,在生产工具很落后的时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的金字塔的 这真是一个十分难解的谜.图中的金字塔外形是一个正四棱锥.
思考：如何求金字塔的体积和表面积？
问题提出
对于空间几何体，我们分别从结构特征和直观图两个方面进行了研究，但为了度量一个几何体的大小，我们还须进一步学习几何体的表面积和体积。
我们学过哪些几何体的面积和体积的求法及公式？
常见多面体与旋转体又该如何求表面积和体积？
PART.02
棱柱、棱锥、棱台的表面积
概念讲解
思考：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
空间问题
平面问题
几何体表面积
展开图
平面图形面积
概念讲解
问题1：棱柱的展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
棱柱的底面展开图是两个全等的多边形；
棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边长等于侧棱长，另一边等于棱柱的底面周长;
表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和：
=
概念讲解
问题2：棱锥的展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成;
表面积是侧面展开图的面积加上底面积的
=
概念讲解
问题3：棱台的展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台
棱柱的底面展开图是两个相似的多边形；
棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成;
表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和：
=
概念讲解
h'
求棱柱、棱锥、棱台的侧面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题，而计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。
表面积
例题剖析
例1.如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.
解：因为是正三角形，其边长为，所以.
因此，四面体的表面积为.
例题剖析
练习：已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高的夹角为30°.求该正四棱锥的侧面积和表面积．
解：如图所示，设正四棱锥P－ABCD，其高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.
例题剖析
练习：已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，求它的侧面面积.
解：(法一)设正四棱台为，如图.设为斜高.
在中，，，
所以.
所以.
所以正四棱台的侧面面积为.
例题剖析
解：(法二)设正四棱台为，延长正四棱台的侧棱交于点，作面上的斜高，交于，如图.
设，则，解得，所以.又，所以.
所以.
所以正四棱台的侧面面积为.
PART.03
棱柱、棱锥、棱台的体积
概念讲解
思考：还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
(a为正方体的棱长)
(a、b、c为长方体的长、宽、高)
思考：你能猜想四棱柱的体积公式吗？
V棱柱=sh
底面积×高
c
a
概念讲解
探究：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？
高度、书中每页纸面积和顺序不变
概念讲解
幂势既同，则积不容异.
祖暅原理
两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
概念讲解
问题1：由祖暅原理你能得到什么启发？棱柱的体积是？






一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积.
棱柱的高是指两底面之间的距离
概念讲解
问题2：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？


















如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.即：
概念讲解
问题3:怎么求棱台的体积呢？
由于棱台是由棱锥截成的，
因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式；
设棱台的高为，棱锥的高为
①
又因为大棱锥与小棱锥相似，则其对应边成比例，即，
②
将②代入①得，
概念讲解
几何体 柱体 锥体 台体
直 观 图
体 积
体积
概念讲解
思考：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
V棱柱＝Sh
V棱锥＝ Sh
V棱台
上底扩大
S'=S
S'=S
S'=0
上底缩小
S'=0
等底面积且等高的两个同类多面体的体积相等.
例题剖析
例2：如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是，公共面是边长为的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到)？(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
解：由题意知，，
所以这个漏斗的容积
例题剖析
练习：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________；
例题剖析
练习：如图所示，正方体的棱长为，过顶点截下一个三棱锥，请解决以下问题：
(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥的高.
解：(1)
故剩余部分的体积
例题剖析
解：(2)设三棱锥的高为则
∵
∴，解得
∴三棱锥的高为.
归纳小结
求几何体体积的常用方法
PART.04
课堂小结
课堂小结