9.2.3+总体集中趋势的估计课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+

(共34张PPT)
9.2.3 总体集中趋势的估计
高一数学组
第九章 统计
引 入
为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律。但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征. 例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等等.
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.
1.概念讲解
(2)中位数：
(1)众数：
(3)平均数：
例：1.一组7个样本数据为:19,27,12,15,17,10,12
排序后为:10,12,12,15,17,19,27
众数为12
中位数为15
下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
一组数据中出现次数最多的数．
一组数据按大小依次排列后处在最中间位置的数(或最中间两个数据的平均数).
一组数据的算术平均数.
平均数为16
2.平均数、中位数、众数刻画一组数据的集中趋势的特点
【思考】小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数．但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77．请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数8.79t和中位数6.8t作比较,哪个量的值变化更大
平均数：8.79 t
中位数：6.8 t
9.483 t
6.8 t
与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。
“去掉一个最高分和一个最低分”的原因？
“我们企业员工的年平均收入为20万元”可信吗？
针对练习
[练习1]一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为( )A.-0.9 B.0.9 C.3.4 D.4.3
变式：某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为165,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是　　　　.
2
3.平均数、中位数的大小与数据分布形态
平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关(如下图），平均数和中位数的大小存在什么关系？
(1)直方图形状对称：平均数和中位数应该大体上差不多；
(2)直方图右边“拖尾”：平均数大于中位数；
(3)直方图左边“拖尾”：平均数小于中位数.
与中位数相比，平均数总在直方图的“长尾巴”那边
如果一组数据的平均数和中位数相差较大，那么可以推断这组数据一定是不对称的.
如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中不存在较大的极端值.
3.平均数、中位数的大小与数据分布形态
例5 某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格. 根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据.
通过观察条形图可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
4.众数的特点
众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多,但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，众数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感.
对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；
对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.
【小结】
4.众数的特点
在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布.
探究2 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据．
如何由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数？
你能以图9.2-1中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗
由频率分布直方图估计平均数、中位数、众数
1. 根据频率分布直方图计算样本平均数：
①估计平均数
假设数据在组内均匀分布.
分组
小矩形底边中点的横坐标
频率（小矩形面积）
频数
…
…
…
…
↑小矩形面积
↓小矩形底边中点横坐标
于是平均数的近似值为
这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大.
——每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和
↑小矩形面积
↓小矩形底边中点横坐标
①估计平均数
根据中位数的意义，在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
∴中位数落在区间[4.2,7.2)内
设中位数是x ，则
这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8相差不大.
——中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等
x-4.2
②估计中位数
众数常用在描述分类型数据中，众数5.7让我们知道月均用水量在区间[4.2，7.2)的居民用户最多. 这个信息具有实际意义.
在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值.
——最高矩形的中点
③估计众数
——找众数、中位数、平均数
众数：最高矩形的中点
由频率分布直方图估计总体的集中趋势
中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等
平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和
【小结】
[练习2]已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图，如图所示，该图的众数为____，平均数为____，中位数为_____．
65
62
62.5
平均数为45×0.1+55×0.3+65×0.4+75×0.2=62
设中位数为m，则0.1+0.3+(m－60)×0.04=0.5，
解得m=62.5
随堂练习
随堂练习
75,73.3,72
小结
平均数、中位数、众数各自的含义、特点及优缺点：
平均数 中位数 众数
在频率分布直方图中的含义
特点
优点 缺点 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变
把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据
最高矩形底边中点的横坐标
只利用了出现次数最多的那个值的信息
受极端数据的影响较大.
代表了样本数据更多的信息.
只能表达样本数据中的少量信息.
容易计算，不受少数几个极端值的影响.
合作探究·形成关键能力
分组 频数 频率
[40,50)
[50,60) 25 p
[60,70) s 0.30
[70,80) m n
[80,90) 10 0.10
[90,100]
合计 M 1
老板 30 000元
大厨 4 500元
二厨 3 500元
采购员 4 000元
杂工 3 200元
服务生 3 200元
会计 4 100元
总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计：
①直接利用样本数据； ②由频率分布直方图来估计
两者可能不同
①众数：最高矩形的中点.
由频率分布直方图估计总体的集中趋势
②中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等.
③平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.