9.1.2 分层随机抽样-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

(共29张PPT)
9.1.2 分层随机抽样
高一下学期
1、通过实例了解分层随机抽样的概念、特点和操作步骤；
2、了解分层随机抽样的必要性；
3、掌握各层样本量化比例分配的方法；
4、掌握分层抽样中样本平均数与总体平均数的计算方法.
重点：分层随机抽样的概念与步骤
难点：各层样本量化比例分配的方法、样本平均数与总体平均数的计算
思考：在上一节对树人中学高一年级学生身高的调查中，我们使用简单随机抽样抽取一个容量为50的样本，使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，计算得到平均数为176cm，由此估计该学校高一学生的平均身高为176cm，请问这样的结果合理吗？为什么会出现这样的结果？
因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.
追问：能否利用总体中的一些额外信息改进一下抽样方法吗？
探究：已知树人中学高一年级有712名学生，其中男生有326名, 女生有386名. 能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？
性别是影响身高的其中一个主要因素.
高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小.
我们可利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本。
追问：已知树人中学高一年级有712名学生，其中男生有326名, 女生有386名.
抽取一个容量为50的简单随机样本，应如何分配？
为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些.
即可按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配：
无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等.
均为
思考：每个学生被抽到的概率相等吗？
一、分层随机抽样
一般地，按 变量把总体划分成若干个 ，每个个体 一个子总体，在每个子总体中独立地进行 ，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为 ，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为 .
一个或多个
子总体
属于且仅属于
简单随机抽样
总样本
比例分配
按照性别变量
高一年级的学生
男生
女生
男生样本
女生样本
抽样
抽样
总样本
子总体1
子总体2
抽样比
总体
例题：某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层随机抽样的方法抽取,并写出抽样过程.
解：第一步：确定抽样比，样本容量与总体容量的比为，
第二步：确定分别从三类人员中抽取的人数，
从行政人员中抽取(人)，
从教师中抽取(人)，
从后勤人员中抽取(人)；
第三步：用简单随机抽样方法抽取行政、教师、后勤人员为2人，14人，4人.
第四步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本.
分层
计算抽样比
定数
抽样汇总
分层随机抽样的步骤：
分层
按某种特征将总体分成若干部分(层)
计算
抽样比
抽样比
定数
按抽样比确定每层抽取的个体数
抽样
各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本
汇总
综合各层抽样，组成样本
1、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级学生的课业负担情况,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是(　　).
A.抽签法 B.简单随机抽样 C.分层随机抽样 D.随机数法
C
2、甲校有3600名学生，乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个样本量为90的样本,应在甲、乙、丙三校分别抽取的学生人数为(　　).
A.30，30，30 B.30，45，15 C.20，30，40 D.30，50，10
B
3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，若该校取一个容量为n的样本，每个学生被抽到的可能性均为0.2, 则n= .
360
解：(1)由题意，解得，
所以.
练习：某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A,B,C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下:
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35岁以下的人数 210 400 800
35岁以上(含35岁)的人数 100 100 400
(1)从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值;
(2)从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
(2)35岁以下的人数为，35岁以上(含35岁)的人数为.
探究：我们按上述方法抽取了容量为50的样本，其观测数据(单位)如下：
男生：173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0
164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0
176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
女生：163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0
164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0
170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5
157.0 163.0 172.0
思考1：如何估计整个高一年级学生身高的平均数？
思考2：若通过计算得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6,160.6，如何估计整个高一年级学生身高的平均数？
思考2：若通过计算得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6,160.6，如何估计整个高一年级学生身高的平均数？
男生身高的样本平均数为170.6
女生身高的样本平均数为160.6
根据男生、女生身高的样本平均数以及它们各自的人数，
即估计树人中学高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.
则总体平均数为
男生身高的总体平均数约为170.6
女生身高的总体平均数约为160.6
估计
总体平均数 样本平均数
第1层
第2层
总体
在分层随机抽样中，如果层数分别为2层，
第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.
●第1层总体的各个个体的变量值为：，…，；
第1层样本的各个个体的变量值为：，…，；
●第2层总体的各个个体的变量值为：，…，；
第2层样本的各个个体的变量值为：，…，.
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，
用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，
因此我们可以用: 估计总体平均数.
在比例分配的分层随机抽样中，
可得
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数
思考：在简单随机抽样中如何估计总体平均数？
用样本平均数估计总体平均数
追问：那么在分层随机抽样中，还能用样本平均数估计总体平均数吗？
例题：将一个总体分为A，B，C三层,其个体数之比依次为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则A，B，C三层的样本的平均数分别为15，30，20.(1)求样本的平均数； (2)估计总体平均数.
解析：(1)样本平均数. (2)总体平均数约为20.5.
例题：为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0求m，n；
(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数.
解：(1)∵0(2)∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，
∴(m+n)=72，解得m+n=108，∴三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.
练习：为了了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”的情况,某记者分别从该社区60~70岁,40~50岁,20~30岁的三个年龄段中的160人,240人,x人中,采用分层抽样的方法共抽取了30人进行调查,若在60~70岁这个年龄段中抽查了8人,则x为(　　).
A.90 B.120 C.180 D.200
D
解：从60~70岁，40~50岁，20~30岁的三个年龄段中的160人，240人，x人中抽取30人，每个个体被抽到的概率为，
∵在60~70岁这个年龄段中抽查了8人，∴，解得x=200.
(1)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比,
即；
(2)样本量在总体的占比等于每一层样本量在每一层个体中的占比，
即；
(3)每一层个体量在总体的占比等于每一层样本量在总样本量中的占比，
即;
练习：某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团。已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团。各年级参加社团的人数情况如下表：
其中：：=5:3:2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的3/5。为了了解学生对两个社团活动的满意程度，若从中抽取一个样本量为50的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取____人。
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑
剪纸
6
探究：与考察简单随机抽样估计效果类似，小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数如表所示，与上一小节“思考”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较，小明有一个重要的发现，你是否也有所发现？
我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的平均数用图形进行表示，其中红线表示整个年级学生身高的平均数.
发现1：分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层抽样并没有明显优于简单随机抽样.
发现2：分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样中出现了一个(第2个)偏离总体平均数的幅度比较大的样本平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现.
实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法.分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便，而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计.
在实际抽样调查中，由于实际问题的复杂性，除了要考虑获得的样本的代表性，还要考虑调查实施中人力、物力、时间等因素，因此通常会把多种抽样方法组合起来使用.例如，在分层抽样中，不同的层内除了用简单随机抽样外，还可以用其他的抽样方法，有时层内还需要再进行分层，等等.
解：这种说法有道理. 因为一个好的抽样方法，一般随着样本量的增加，抽样调查结果会越来越接近于普查的结果. 因此，只要根据误差控制范围的要求取相应的样本量进行调查，就可以节省人力、物力和财力.
2、有人说:“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力普查的结果差不多，而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法有道理吗 为什么
教材P184
3、高二年级有男生490人，女生510人，张华按男、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8 cm.
(1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名 在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
(2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理
解：(1)男生应抽取人，女生应抽取人，
∴样本平均数为.
(2)应按(1)的方法进行改进更合理，即高二年级全体学生的平均身高估计为：
.
教材P184
1、分层随机抽样定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
●比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
(1)
(2)
2、分层随机抽样的步骤：
分层
按某种特征将总体分成若干部分(层)
计算
抽样比
抽样比
定数
按抽样比确定每层抽取的个体数
抽样
各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本
定数
综合各层抽样，组成样本
3.样本平均数的计算公式：
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，样本平均数分别为，，总体的样本平均数为，则.
我们可以用样本平均数估计总体平均数.
4、简单随机抽样和分层随机抽样异同：
简单随机抽样 分层随机抽样
方法 要点 随机→“搅拌均匀”→抽取 分层→比例→抽取
共同点 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 ②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
不同 点 从总体中逐个随机抽取 将总体分成不交叉的若干层，各层中按比例抽取
相互 联系 各层的抽样可采用简单随机抽样
适用 范围 总体中的个体总数较少 总体由差异明显的几个部分组成