2024年人教版A版（2019）数学高一下学期期末总复习：单选题8大考点突破训练

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2024年数学高一下学期期末总复习：单选题8大考点 突破训练-人教版A版（2019）
8大考点汇总
题型1：平面向量的概念与运算
题型2：平面向量的应用
题型3：复数的四则运算
题型4：斜二测画法相关问题
题型5：简单几何体的表面积与体积
题型6：空间点、直线、面之间的位置关系
题型7：统计
题型8：概率
8大考点汇总突破训练
题型1：平面向量的概念与运算
1．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C． D．或4
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
3．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且模相等的向量，其终点必相同
4．已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
题型2：平面向量的应用
5．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型3：复数的四则运算
9．复数z满足，则复数z的虚部是（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．已知为虚数单位，复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B．5 C． D．4
题型4：斜二测画法相关问题
13．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．5
14．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A． B．2 C． D．
15．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则（ ）
A． B．2 C． D．4
题型5：简单几何体的表面积与体积
17．已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
18．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温.一个高脚杯容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的饮料.若在高脚杯内放入一个半径为的冰球，冰球没有融化前饮料恰好没过冰球，则原来高脚杯内饮料的体积是（ ）
A． B． C． D．
19．已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
题型6：空间点、直线、面之间的位置关系
21．直线l与平面成角为，点P为平面外的一点，过点P与平面成角为，且与直线l所成角为的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．4条
22．若表示直线，表示平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则或与异面
23．如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
24．设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
题型7：统计
25．将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37．若该组数据的35%分位数为19，则（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
26．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
27．一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ）

A．225 B．295 C．235 D．305
28．在一次数学模考中，从甲 乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同 方差也相同，则把这20个数据合并后（ ）
A．中位数一定不变，方差可能变大
B．中位数可能改变，方差可能变大
C．中位数一定不变，方差可能变小
D．中位数可能改变，方差可能变小
题型8：概率
29．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互为对立事件 B．
C．与相等 D．与互斥
30．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球
C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球
31．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A．与C是互斥事件，也是对立事件
B．与D是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件
D．A与是互斥事件，也是对立事件
32．已知事件和相互独立，，，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
1．D
【分析】利用向量平行的坐标表示，再解方程即可.
【详解】由两向量共线可知，即，解得或.
故选：D.
2．C
【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.
故选：C
3．A
【分析】利用单位向量的定义可判定A ；利用共线向量的定义可判定B；利用平面向量的定义可判定C、D.
【详解】对于A，因为单位向量的模长为1，故A正确；
对于B，因为方向相同或相反的向量是共线向量，故B错误；
对于C，向量是具有方向和大小的量，模有大小，但方向不能比大小，故C错误；
对于D，有共同起点，模长相等但方向不同的向量，终点不相同，故D错误.
故选：A
4．D
【分析】由题意将题目转化为恒成立，即恒成立，解出的值，进而判断出排除其他答案即可.
【详解】设，则，过点作的垂线，垂足为，
在上任取一点，
设，如图所示；
则由数量积的几何意义可得，
，，
于是恒成立，
整理得恒成立，
只需即可，于是，
因此我们得到，即是的中点，
是等腰三角形，即.
故选：D.
5．D
【分析】先求得，再根据正弦定理可直接计算.
【详解】由题可得：，由正弦定理得：
，故，
故选：D.
6．A
【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围.
【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为：
即，
故选：A.
7．A
【分析】根据题意，把为基底，用它表示，再由余弦定理可求，从而由平明向量的数量积求解即可.
【详解】由题意，
，
.
在中，由余弦定理得.
所以
.
故选：A.
8．C
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可.
【详解】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设，则，
所以，
由于正八边形的每个外角都为；
则，
所以.
故选：C
9．C
【分析】由题意可得，进而可求得，可得结论.
【详解】因为，
则，
故复数z的虚部是1．
故选：C．
10．D
【分析】先根据复数的除法运算得出；再根据共轭复数的定义和复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：D.
11．A
【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．
【详解】
因为，所以，
故复数在复平面内的对应点位于第一象限，
故选：A．
12．A
【分析】由复数的乘法运算化简，由共轭复数的定义求出，即可求出，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】由题知，则，
因此，则.
故选：A.
13．C
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以．
故选：C．
14．C
【分析】根据题意，过点，分别作轴和轴的平行线，即可得到的坐标，再由两点间距离公式，即可得到结果.
【详解】
根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线，
与轴和轴分别交于点，，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，
则，，则的坐标为，则，，
故原图中，的坐标为，A的坐标为，
故，
故选：C.
15．A
【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果.
【详解】
过点作交轴于点，如图所示，
在中，，
由正弦定理可得，，所以，
由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是.
故选：A.
16．C
【分析】借助余弦定理计算可得直观图中的长度，结合斜二测画法可知形状及边长，即可得其面积.
【详解】在，，，
由余弦定理可得：，
即，而，解得，
由斜二测画法可知：中，，，，
故.
故选：C.
17．C
【分析】取中点E，根据已知可得E为的外心，过E作底面的垂线，使，可得O为三棱锥外接球的球心，计算球的半径，由球的表面积公式可得结果.
【详解】在中，因为，，，所以，
所以，取中点E，则E为的外心，且外接圆的半径为，
过E作底面的垂线，使，又平面，则O为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故选：C.
18．C
【分析】作出液面下方的轴截面图形，求出圆锥的底面半径和高，再由圆锥和球的体积公式求出高脚杯内水的体积.
【详解】显然，冰球内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，
如图，作，垂足为D，则球的半径，，
此时，，，
水面半径，
设加入冰球后水面以下的体积为，原来饮料的体积为，冰球的体积为，
所以饮料的体积为.
故选：C.
19．B
【分析】作出辅助线，设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，表达出圆台的高、母线长分别为，，从而利用球和圆台表面积公式得到，并求出两几何体的体积之比.
【详解】设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，
由于，
则圆台的高、母线长分别为，，
设外接球的表面积为，圆台表面积为，
由表面积公式知，
则外接球的体积为，圆台的体积为，
.
故选：B
20．C
【分析】作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积.
【详解】如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点，
因为，，
所以，⊥，则⊥，
由于⊥，故即为二面角的平面角，
则，
过点作⊥于点，
因为⊥，⊥，，平面，
故⊥平面，
因为平面，所以⊥，
又，平面，
则⊥平面，，
取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面，
连接，，则，过点作，交直线于点，
则，
，
，
由余弦定理得
，
设，则，故，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径为，外接球表面积为.
故选：C
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
21．C
【分析】过与平面成角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成角），然后考虑这些母线中与直线成角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得．
【详解】如图所示，设直线与平面相交于，直线在平面的射影为直线.
且直线与平面所成角为，
即.
设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面，
即圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于.
当过点的母线为直线时，
直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，即,
当过点的母线沿逆时针旋转到直线时，
直线与直线所成角为，即，
所以过点的直线从沿逆时针旋转到直线时，
与直线所成角的范围为，
故存在一条过点的直线与直线所成角为，
同理可得，过点的直线从沿顺时针旋转到直线时，
也存在一条过点的直线与直线所成角为，
所以过点的直线与平面所成角为，与直线所成角为的直线有2条.
故选：C.
22．D
【分析】举反例否定A，B，C，利用线面平行的性质定理判断D即可.
【详解】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，，则或与相交或与异面，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误;
对于D，若，，结合线面平行的性质定理得或与异面，故D正确.
故选：D.
23．C
【分析】根据三角形中位线可得线线平行即可求证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
【详解】如下图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，
又，平面平面，
是侧面内一点，且平面，
则必在线段上，
在中，，
同理，在中，求得，
为等腰三角形，
当在中点时，此时最短，位于、处时最长，
，
，
所以线段长度的是大值与最小值之和为，．
故选：C．
24．C
【分析】根据两平面的位置关系可判断A；根据线面平行的性质结合线线的位置判断B；根据线面的垂直的性质可判断CD.
【详解】在A中，若，，则，可能相交或平行，故A错误：
在B中，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误：
在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故C正确；
在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D错误.
故选：C.
25．A
【分析】根据题意，结合百分位数的概念及计算方法，即可求解.
【详解】这组数据有10个数，所以，则该组数据的分位数为第4个数据，
所以．
故选：A.
26．A
【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，结合方差的公式，分析选项，即可求解.
【详解】设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，
则，
，
结合选项，可得A项不符合.
故选：A.
27．C
【分析】根据题设条件求出数据在内的频数，去掉内的频数即得.
【详解】因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为，
故样本中数据在内的个数为．
故选：C.
28．A
【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论.
【详解】不妨设，
则的中位数为，的中位数为，
因为，所以或，
则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变.
设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，
合并后总数为20，平均数为，方差为，
如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大.
故选：A.
29．B
【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误.
【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
B选项，，故B正确；
C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．
故选：B．
30．D
【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合即可得答案．
【详解】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球，
3个都是篮球，至少有1个是排球是随机事件，
3个都是排球是不可能事件，至少有1个是篮球是必然事件；
故选：D．
31．D
【分析】本题考查互斥事件及对立事件的概念，依据互斥事件和对立事件的定义判断即可.
【详解】由于A,B,C,D彼此互斥且,则是一个必然事件,
任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件；
任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.
所以与C是互斥事件，但不是对立事件；
与D是互斥事件，但不是对立事件；
与是互斥事件，也是对立事件；
A与是互斥事件，也是对立事件.
故选：D
【点睛】思路点睛：判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
32．D
【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可.
【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件，则，
所以，解得；
故选：D
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