2024年人教版A版（2019）数学高一下学期期末总复习：单选题10大考点与突破训练

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2024年数学高二下学期期末总复习：单选题10大考点与突破训练-人教版A版（2019）
10大考点汇总目录
考点一：数列的概念
考点二：等差数列
考点三：等比数列
考点四：导数的概念及其意义
考点五：导数的运算
考点六：导数的在研究函数中的应用
考点七：排列与组合
考点八：二项式定理
考点九：数随机变量及其分布
考点十：成对数据的统计分析
10大考点突破训练
考点一：数列的概念
1．数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和为，，且（且），若，则（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
3．集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．
C．实数的取值范围是
D．数列中的每一项都不能够被5整除
4．已知数列满足（为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
考点二：等差数列
5．设是公差为3的等差数列，且，若，则（ ）
A．21 B．25 C．27 D．31
6．等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33 B．54 C．64 D．81
8．数列满足，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
考点三：等比数列
9．已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（ ）
A．14 B．28 C．42 D．56
11．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．
12．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊 马 牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
A．斗 B．斗 C．斗 D．斗
考点四：导数的概念及其意义
13．函数在上的平均变化率是（ ）
A． B．8 C． D．
14．如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点五：导数的运算
17．已知，则（ ）
A． B． C． D．
18．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
20．已知点在函数的图象上，点在直线上，记，则（ ）
A．当取最小值时，点的横坐标为
B．当取最小时，点的横坐标为1
C．当取最小值时，点的横坐标为
D．当取最小时，点的横坐标为
考点六：导数的在研究函数中的应用
21．在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，若对任意，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．平面内相距的A，B两点各放置一个传感器，物体在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线所示.已知曲线经过点，，，曲线经过点，且若的运动轨迹与线段相交，则的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及分别为（ ）
A． B． C． D．
考点七：排列与组合
25．某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（ ）
A．240种 B．360种 C．720种 D．2002种
26．已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（ ）种不同的测试方法．
A．114 B．90 C．106 D．128
27．寒假期间某校6名学生计划去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择．若至少有2人前往黄山，其余两个景区都分别至少有1人前往，则不同方案的种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．540
28．小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.
A．48 B．72 C．216 D．432
考点八：二项式定理
29．已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
30．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
31．的展开式中的系数是（ ）
A．48 B．-48 C．72 D．-72
32．对任意的实数，若，则的值为（ ）
A．15 B．6 C．1 D．20
考点九：数随机变量及其分布
33．现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
34．设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（ ）
A．若，则A与B相互独立 B．
C． D．A与B有可能是对立事件
35．若X服从分布，且，则（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5
36．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ）
A． B． C． D．
考点十：成对数据的统计分析
37．已知变量x，y线性相关，利用样本数据求得的回归直线方程为，且点都在直线上，则这组样本数据的相关系数（ ）
A．1 B． C． D．
38．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ）
A． B．1 C． D．2
39．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
40．某统计部门对四组数据进行统计分析后获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
1．B
【分析】由已知求得，再根据当时，，，可求得范围.
【详解】因为，
则，
两式相减得，
因为数列是递增数列，
所以当时，，解得.
当时，，
所以，解得.
综上.
故选：B.
2．A
【分析】根据给定的递推关系，结合变形，再构造常数列求出，然后代入计算即可.
【详解】当时，，则，
于是，即有，
因此数列是常数列，，即，
由，得，而，所以.
故选：A
3．D
【分析】利用题意，可计算，判断B是错误的；再利用的关系，可求得，但要注意此时，再检验首项，可判断A是错误的；对于不等式，可利用化简变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项D是正确的.
【详解】解，所以，即B错误；
所以，则，
两式相减得：，
当时，，所以，不满足上式，所以A错误；
由上，当时，
由恒成立，则，
等价变形得：，化简得：，
当为偶数得：，则，所以，
当为奇数得：，由，所以，
但是当时，，而，
由得：，解得，
综上可得：，所以C错误；
当时，，
因为和都能被5整除，而一定不能被5整除，此时一定不能被5整除，
而当时，，显然不能被5整除，所以D正确；
故选：D．
4．A
【分析】设出数列中的一项，然后分被3除余1，余2，余0三种情况进行讨论，借助给出的递推关系式进行推证即可判断①，结合递推关系式得到符合的形式，然后保证即可判断②．
【详解】不妨设数列中的一项为，
①若被3除余1，则由已知可得，
若被3除余2，则由已知可得，
若被3除余0，则由已知可得，
所以对任意的，，则，
所以对数列中的任一项，若，则，
因为，所以，所以数列中必存在某一项（否则与上述结论矛盾），
若，结论得证；
若，则，，结论得证；
若，则，得证；
所以不论论取何值，总有；故①正确；
②若是3的倍数，则，
若被3除余1，则由已知可得，
若被3除余2，则由已知可得，
所以连续7项构成的等比数列的公比为，
因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项）
设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得，
因为，所以或，
由递推关系式可知，在该数列的前k-1项中，满足小于等于2022的项只有：
或，或
所以首项的所有可能取值的集合为，
故的所有可能取值有6个，故②正确．
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推关系式，考查学生的抽象思维能力，属于难度较大题．
5．D
【分析】由，得，从而可得，进而可求解.
【详解】由，得，则，
从而.
故选：D
6．B
【分析】根据条件，可得数列为递减数列，且，，可判断得解.
【详解】在等差数列中，，由，可得，
，，且数列为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
7．D
【分析】由等差数列的性质求出，再由等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】因为，所以，即，
所以.
故选：D.
8．B
【分析】根据等差数列求和公式得到，从而得到，再由裂项相消法计算可得.
【详解】因为，
所以，
设数列的前项和为，
则.
故选：B
9．D
【分析】根据求出，再根据等比数列求和公式计算可得.
【详解】等比数列中，又，可得，解得，故C错误；
又，，故D正确；
又，，所以，故B错误；
又，，，
故不成立，故A错误．
故选：D．
10．B
【分析】由等差中项的性质可得，再由等比数列的性质可求出，即可得出答案.
【详解】设等比数列的公比为，有，
由，，成等差数列可知，
即，解方程可得（舍去），
则.
故选：B.
11．B
【分析】根据构成以为公比的新等比数列，可求出的公比，再用等比数列求和公式求得，再相除可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则，
所以，，，
故．
故选：B.
12．C
【分析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解.
【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，
由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗.
故选：C.
13．A
【分析】根据平均变化率的概念求解即可.
【详解】函数在上的平均变化率是.
故选：A.
14．D
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
15．A
【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程.
【详解】由可得：，即，
根据导数的定义可知：，
又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率，
所以过点处的切线方程为：，即，
故选：A.
16．C
【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，，结合三角形面积公式计算即可；
【详解】由，得，则，，
所以曲线在点处的切线方程为.
令，得，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选：C
17．D
【分析】求导得，进而可求.
【详解】因为，所以，则．
故选：D．
18．B
【分析】对于A：根据导数的加法法则运算求解；对于B：根据导数的除法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的乘法法则运算求解.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；
故选：B.
19．C
【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值．
【详解】两条切线，的倾斜角分别为，，
根据题意，，
若点是切点时，切线斜率为，
若点是切点（点不重合），则，
由，解得（舍去），
所以直线斜率为，
则．
故选：C．
20．D
【分析】利用导数研究函数的单调性，作出函数的图象，然后利用数形结合知函数在点处的切线平行于直线，然后利用导数的几何意义求得切点坐标，再利用垂直关系求得直线PQ方程，与直线联立求解交点即可.
【详解】，则，令得，
令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
作出函数函数的图象，
如图：
由题意，当最小时，函数在点处的切线平行于直线，
过点作直线的垂线，垂足即为点.设的坐标为，
因为，所以，解得，即点的坐标为，
所以过点，且与直线垂直的直线方程为，
联立方程解得的坐标为.
故选：D.
21．B
【分析】根据题意，分别画出函数的图象，找到最小距离为为圆心到直线的距离减去半径，再结合点到直线的距离公式求出结果即可.
【详解】由，整理得，
即在圆心，半径为1的半圆上.
令，则，
令，
所以当时，，为单调递增函数，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以曲线的一条切线为，
数形结合可知，当分别为对应切点，且与两切线垂直时取得最小值，
即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，
即的最小值为.
过圆心与垂直的直线方程，
所以，当且仅当即时取到最小值.
综上所述，，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于由导数放缩求出的切线方程，再结合题意将问题转化为的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
22．D
【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果.
【详解】因为，，定义域为.
所以.
当时，，即在单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以当时，取得最大值为.
所以函数的值域为.
令，则，
要使函数的值域为，
则，解得或，
综上，.
故选：D.
23．D
【分析】根据给定条件，求出函数，由零点的意义构造函数，利用导数探讨的零点个数，再利用奇偶性即可得解.
【详解】依题意，，由，得，
即，令，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，，即在上无零点，
当时，，当且仅当或时取等号，又，
则当时，，即函数在上无零点，
，令，求导得
当时，，，，函数在上递增，
，函数在上递减，而，
因此函数在上有唯一零点；
当时，，函数在上单调递增，
而，因此函数在上有唯一零点，
于是函数在上有2个零点，
又，即函数是R上的偶函数，
则函数在上也有2个零点，所以函数，即函数有4个零点.
故选：D
24．B
【分析】建系，设点，作出相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设动点的轨迹与轴重合，
其在时刻对应的点分别为，的速度为，
因为，可得，
由题意可知：均与轴垂直，且，
作垂足为，则，
因为，即，解得；
又因为轴，
所以的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值为：；
又，，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：建系，设动点的轨迹与轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.
25．B
【分析】先在5名女志愿者中选3名女志愿者，再在9名男志愿者中选2名男志愿者，根据分步乘法计数原理即可得到结果.
【详解】根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种.
故选：B.
26．A
【分析】利用分类加法计数原理可求得测试方法的种数.
【详解】解：检测2次可测出2件次品，不同的测试方法有种；
检测3次可测出2件次品，不同的测试方法有种；
检测4次测出2件次品；不同的测试方法有种；
检测4次测出4件正品，不同的测试方法共有种，
由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为：
种．
故选：A．
27．B
【分析】先将6名同学分成三组，再按要求分配到三个景区即可.
【详解】将6名同学分成三组，其中有三种方案：4，1，1；3，2，1；2，2，2．
则不同方案的种数和为（种）．
故选：B.
28．D
【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.
【详解】先将个将军俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
将个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
将个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
再将所得个元素作全排，有种排法，所以不同的排法共有种.
故选：D.
29．B
【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解.
【详解】由题意二项式系数仅最大，故，
所以二项式为，其通项公式为，
设二项式展开式中第项的系数最大，则有，
，即，故，经经验符合题意，
所以展开式中系数最大的项是第3项.
故选：B.
30．D
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.
【详解】对于，由二项展开式的通项得，
令解得，
则所求系数为，
故选：D
31．A
【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解.
【详解】由题意，多项式的展开式中，的系数等于.
故选：A.
32．C
【分析】利用赋值法，令即可得结果.
【详解】因为，
令，可得.
故选：C.
33．D
【分析】求出事件发生的个数和事件同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.
【详解】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为,
事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故.
故选：D.
34．A
【分析】对A：借助相互独立事件定义计算即可得；对B：借助概率公式计算即可得；对C：借助条件概率公式计算即可得；对D：借助对立事件定义即可得.
【详解】对A：由，故，则有，
故与相互独立，故与相互独立，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，由未定，故C错误；
对D：，故与不是对立事件，故D错误.
故选：A.
35．C
【分析】根据分布的概念可知，结合可求，再求期望即可.
【详解】因为X服从分布，所以，因为，
所以，，故．
故选：C
36．D
【分析】由题意设该质点向右移动的次数为，则，所以，再根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】设该质点向右移动的次数为，则，，
而，所以的可能取值为，
所以
.
故选：D．
37．B
【分析】根据题意，结合回归直线方程，以及相关系数的含义，即可求解.
【详解】由题意知，点都在直线上，可得，
又由变量负相关，所以．
故选：B．
38．A
【分析】结合回归方程，根据线性相关系数的性质可得结论.
【详解】因为样本数据所对应的点都在直线上，
所以变量为负相关关系，且，
故选：A．
39．B
【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误的概率的范围.
【详解】因为，结合表格可知，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过，
故选：B
40．C
【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小．
【详解】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关 ，而且对应的相关性比对应的相关性要强，故；
所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知，因此，
故选：C．
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