2024年人教版A版（2019）数学高一下学期期末总复习：填空题8大考点突破训练

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2024年数学高一下学期期末总复习：填空题8大考点 突破训练-人教版A版（2019）
8大考点汇总
题型1：平面向量的概念与运算
题型2：平面向量的应用
题型3：复数的四则运算
题型4：斜二测画法相关问题
题型5：简单几何体的表面积与体积
题型6：统计
题型7：概率
题型8：空间点、直线、面之间的位置关系
8大考点汇总突破训练
题型1：平面向量的概念与运算
1．相等向量与共线向量
（1） 且 的向量叫做相等向量，向量与相等，记作.
（2）方向 的非零向量叫做平行向量，如果向量平行，记作，任一组 向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做 ．
（3）规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有.
2．已知向量，，且，则 .
3．如图，函数的图象经过点A，B，点T在x轴上，若，则点B的纵坐标是 ．
4．已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论：
①若，则；
②若为奇数，则；
③若为偶数，则；
④若，则.
其中所有正确结论的序号是 .
题型2：平面向量的应用
5．三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，若，则角的大小为 .
6．如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为 (精确到0.1 m).

7．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，则塔高为 .
8．在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ．
题型3：复数的四则运算
9．
10．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ．
11．已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 .
12．已知为虚数单位，若复数，是的共轭复数，则 ．
题型4：斜二测画法相关问题
13．如图所示，由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是直角三角形OAB，，AB=2，那么它的原图形面积为
14．如图，已知，直角梯形是水平放置的一个平面四边形的直观图，且，，则四边形的周长为 .
15．水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 .
16．水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .
题型5：简单几何体的表面积与体积
17．已知为圆锥的顶点，为该圆锥底面的一条直径，若该圆锥的侧面积为底面积的3倍，则 .
18．已知圆台的轴截面是等腰梯形，，，，圆台的底面圆周都在球的表面上．记圆台的体积为，球的体积为，则 ．
19．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为 ．
20．我国南北朝的伟大科学教祖暅于5世纪提出了著名的祖暅原理，意思就是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个几截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图1，为了求半球的体积，可以构造一个底面半径和高都与半球的半径相等的圆柱，与半球放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一个新几何体，用任何一个平行底面的平面去截它们时，两个截面面积总相等.如图2，某个清代陶瓷容器的上、下底面为互相平行的圆面（上底面开口，下底面封闭），侧面为球面的一部分，上、下底面圆半径都为6cm，且它们的距离为24cm，则该容器的容积为 （容器的厚度忽略不计）．
题型6：统计
21．某同学高三以来成绩依次为110，93，92，93，88，86，则这组数据的第40百分位数为 ．
22．如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为 .
23．为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ．
24．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品.某日三种产品的生产比例如图所示，且医用防护口罩和医用外科口罩共生产了45000个，则医用普通口罩生产的个数为 .
题型7：概率
25．A、B相互独立，，，则 .
26．一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）的概率为 .
27．电视台为了做好宣传，引导广大青年“不忘初心，牢记使命”，切实增强“四个意识”，树立“四个自信”坚定不移听党话、跟党走，举办了一次活动．现场观众是由40名大学生，30名高中生，30名初中生组成，其中一个环节是由参加活动的一位嘉宾现场随机抽取一名观众进行知识问答竞赛．已知这位嘉宾抽到大学生，且嘉宾能获胜的概率是；抽到高中生，且嘉宾能获胜的概率是；抽到初中生，且嘉宾能获胜的概率是．则这位嘉宾获胜的概率是 ．
28．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为 .
题型8：空间点、直线、面之间的位置关系
29．如图，在三棱锥中，，点在棱上，点在棱上，且，设表示与所成的角，表示与所成的角，则的值为 .

30．在正方体中，异面直线与所成角的大小为 .
31．如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为 ．
32．给出以下四个命题：
①斜棱柱的侧面展开图一定是一个平行四边形；
②若直线与直线异面，且平面，则与的位置关系是平行或相交；
③如果两条平行线中有一条平行于这个平面，那么另外一条直线也平行于该平面；
④若正方体的截面形状是四边形，则该四边形必有一组边平行.
其中正确的命题是 .（填写序号）.
参考答案：
1． 长度相等 方向相同 相同或相反 平行 共线向量
【分析】根据题意，结合平行（共线）向量的定义，即可求解.
【详解】根据相等向量的定义，可得长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；
再由平行向量的定义，可得方向相同或相反的向量叫做平行向量，任一组平行向量都可以平移到一条直线上，平行向量也叫共线向量.
故答案为：长度相等；方向相同；相同或相反；平行；共线向量.
2．
【分析】根据向量共线得到方程组，解出即可.
【详解】，所以，
即，，.
故答案为：.
3．/
【分析】设，计算出，，再设，根据中点公式得到的坐标，将其代入三角函数解析式并结合二倍角的余弦公式得到，解出即可.
【详解】由题意设，则，，
设，，因为，
所以为线段的中点，所以，，
又点在函数图象上，所以，
，，
所以即，所以（负舍），
则点B的纵坐标是.
故答案为：.
4．①③④
【分析】先证明，得到①③正确，②错误，然后在和的情况下推导出矛盾，从而得到，即④正确.
【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等.
这表明对任意的，当且仅当，有.
将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点.
所以，对每个，显然存在另一个到距离取到最小值的点，
则此时就有，从而，这就直接说明了.
所以①③正确，②错误；
对于④，假设，.
由于，
故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点.
特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.
不妨设，并记为点，
则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.
对两个不同点，记直线的倾斜角为.
假设存在使得，不妨设，
则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾.
所以两两不相等，不妨设.
由于，，故，，
所以.
故，同理.
而对，有或，
故.
所以，这意味着，矛盾.
这表明假设不成立，所以，④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关系与角度的大小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”.
5．/
【分析】先利用向量共线的坐标运算得，然后利用余弦定理即可求出角.
【详解】因为，，，得，得：，
即，由余弦定理，所以.
故答案为：
6．37.3m
【分析】正确作出图形，在两个直角三角形中，利用三角函数列出方程组，解之即得.
【详解】点距离湖面10，云朵点对于点的仰角为，
湖中之影对于点的俯角为，依题求点距离湖面的高度.
不妨设，在中，,则.
在中，,即
故得，，解得.
故答案为：37.3m.
7．
【分析】先利用内角和为，由已知的两角函数值求出，再由正弦定理求出，最后由直角三角形中的正切函数求出高.
【详解】由，可得，
再由三角形内角和为，可知：
，
在中，由正弦定理得：，
所以，解得，
在直角中，，因为，
所以.
故答案为：.
8．
【分析】由正弦定理和余弦定理得到，再由外接圆半径，由基本不等式得到，由三角形面积公式求出答案.
【详解】在中，
由正弦定理得由余弦定理得
因为为的内角，则，所以
因为的外接圆的半径为由正弦定理得
所以由余弦定理得
即
因为所以当且仅当时取等号，
故的面积所以面积的最大值为
故答案为：
9．0
【分析】由复数运算法则直接计算即可.
【详解】.
故答案为：0.
10．/
【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，又，
所以，
所以复数的虚部为.
故答案为：
11．
【分析】思路一：把代入方程中，再利用复数相等求出、，即可得解.
思路二：依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解.
【详解】方法一：由已知可得，即，
所以，解得，所以.
方法二：因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，
所以也是该方程的一个根，
由韦达定理得，解得，所以.
故答案为：.
12．/
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，再计算其模.
【详解】因为，
所以，所以.
故答案为：
13．
【分析】利用直观图求得，可得原图中，进而可求面积.
【详解】因为直观图是直角三角形OAB，，AB=2，
所以可求得，设原图为，则其为直角三角形，
且在原图形中，，
所以原图形的面积为.
故答案为：.
14．
【分析】先作，求得，然后利用斜二测画法还原四边形，即可求解.
【详解】如图，作，
则为等腰直角三角形，则因为，所以，即，
则四边形为如图所示的直角梯形，
所以,，，，
故四边形的周长为.
故答案为：
15．5
【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得.
【详解】把直观图还原为原图形，如图所示，
则，
所以.
故答案为：5.
16．
【分析】把的直观图在平面直角坐标系中还原即可求解.
【详解】在等腰直角三角形中，点是斜边的中点，且，
所以，把平面直观图还原为原图形，如图所示：
则底边的高为，且，
故答案为：.
17．
【分析】根据圆锥的侧面积公式，得到母线与底面半径的关系，再代入余弦定理，即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则，所以.
在中，由余弦定理知.
故答案为：
18．
【分析】令，根据题意，求得圆台上、下底面半径分别为，高，且，结合圆台的体积公式，分别求得的值，即可求解.
【详解】如图所示，不妨令，
因为，且，可得，，
则圆台上、下底面半径分别为，，高，
设，可得，解得，所以，
可得，，所以．
故答案为：.
19．
【分析】由题意，该几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体，结合圆锥、圆柱和球的体积公式计算即可．
【详解】由题意，将所得平面图形绕直线旋转一圈后，
所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体，
则该组合体的体积为
．
故答案为：
20．
【分析】构造一个底面半径为，高为12的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得容器的体积的一半等于圆柱的体积减去等高的小圆锥的体积.
【详解】先求容器一半的体积，根据图一左图，可知，
则球的半径为，且上底面圆的面积为，
建立一个底面半径为，高为12的圆柱，如图一右图，
那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥，
其底面面积为，
所以，
所以整个容器的容积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，圆锥，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到几何体的体积.
21．
【分析】将数据从小到大排列，根据百分数的定义进行求解.
【详解】将数据从小到大排列，，
，故从小到大，选择第3个数作为这组数据的第40百分位数，即.
故答案为：92
22．
【分析】根据青年教师的比例计算即可．
【详解】由图知，青年教师的比例为，所以青年教师被抽出的人数为．
故答案为：.
23．
【分析】利用直方图直方块总面积为，进行运算解出即可.
【详解】由直方图可知：组距为，
所以，
解得.
故答案为：.
24．105000
【分析】通过医用防护口罩和医用外科口罩的总数以及所占比例和，求出三种产品的总数，然后利用医用普通口罩的百分比，即可求解
【详解】因为三种产品的总数为：（个），
所以医用普通口罩生产的个数（个）.
故答案为：105000
25．/
【分析】由并事件的概率和相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】因为A、B相互独立，，，
所以，
所以，
故答案为：.
26．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式直接计算可得答案.
【详解】因为1个人抛出一次时龙的图案在最上面的概率为，
所以2个成员各抛一次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.
故答案为：
27．/0.64
【分析】这位嘉宾获胜，可以包括抽到大学生且获胜、抽到高中生且获胜、抽到初中生且获胜三种情况，每种情况都是相互独立事件同时发生，每种情况概率相加即可.
【详解】抽到大学生的概率是，这位嘉宾抽到大学生，且嘉宾能获胜的概率是；
抽到高中生的概率是，抽到高中生，且嘉宾能获胜的概率是；
抽到初中生的概率是，抽到初中生，且嘉宾能获胜的概率是．
由全概率公式得嘉宾获胜的概率为．
故答案为：
28．
【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.
【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为：
甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，
即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题，
又每位顾客答对2题的概率为，
每位顾客答对3题的概率为，
所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为：
.
故答案为：
29．/
【分析】如图，作，则，进而，得，即可求解.
【详解】作交于，连接，则.
而，所以，则.
由，得，所以，
又，，
所以，故.
故答案为：

30．
【分析】由∥可知异面直线与所成角为（或其补角），结合长度关系分析求解.
【详解】连接，
因为∥，且，
可知四边形为平行四边形，则∥，
则异面直线与所成角为（或其补角），
由题意可知：，即为等边三角形，则，
所以异面直线与所成角为.
故答案为：
31．
【分析】根据条件分别在棱取点，证明平面，同理平面，进而可得平面平面，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为，进一步即可得解.
【详解】在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，，
所以四边形是平行四边形，所以，又平面，
平面，所以平面．
在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，，
如图所示．同理可得平面，
又，平面，所以平面平面．
所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为．
因为正方体的棱长为3，所以，
，
所以点P的轨迹长度为．
故答案为：.
32．④
【分析】利用反例说明①②③，利用正方体的性质及面面平行的性质判断④.
【详解】对于①：斜棱柱的每个侧面是平行四边形，但是全部展开以后，
那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形，故①错误；
对于②：若直线与直线异面，且平面，则与的位置关系是平行或相交或，
故②错误；
对于③：如果两条平行线中有一条平行于这个平面，那么另外一条直线平行于该平面或在该平面内，
故③错误；
对于④：若正方体的截面形状是四边形，则截面必与相对的两个平面相交，
又正方体中相对的两个平面互相平行，由面面平行的性质可知，这两条交线必平行，
即该四边形必有一组边平行，故④正确.
故答案为：④
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