广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．( )
A.65 B.160 C.165 D.210
2．将3个不同的小球放入5个不同盒子中,则不同放法种数有( )
A. B. C. D.
3．已知函数在点处的切线方程为,则( )
A. B. C. D.
4．已知甲,乙,丙三人去参加某公司面试,他们被该公司录取的概率分别是,,,且三人的录取结果相互之间没有影响,则他们三人中至少有一人被录取的概率为( )
A. B. C. D.
5．曲线在点处的切线的倾斜角为,则实数( )
A. B. C.2 D.3
6．的展开式中的常数项是( )
A. B. C.48 D.112
7．袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为( )
A. B. C. D.
8．函数的图象大致是( )
A. B.
C D.
二、多项选择题
9．下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是( )
A.
B.若,则
C.若,则
D.
11．下列说法正确的是( )
A.已知,则x可能取值为6
B.已知,则x可能取值为7
C.在的展开式中,各项系数和为0
D.在的展开式中,各项系数和为29
三、填空题
12．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大,则____________.
13．设函数（为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围_______.
14．假设有两箱零件,第一箱内装有10件,其中有2件次品;第二箱内装有20件,其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱,然后从该箱中随机取1个零件,则取出的零件是次品的概率是___________.
四、解答题
15．有3名男生与4名女生,在下列不同条件下,分别求排法种数.
（1）全体排成一排,女生必须站在一起;
（2）全体排成一排,男生互不相邻;
（3）全体排成一行,其中甲,乙,丙三人从左至右的顺序不变
16．已知函数,.
（1）当时,求曲线在处的切线方程;
（2）求的单调区间.
17．已知()的展开式中前项的二项式系数之和等于.
（1）求n的值;
（2）若展开式中x的一次项的系数为,求实数a的值.
18．现有两台车床加工同一型号的零件,第1台车床加工的零件次品率为6%,第2台车床加工的零件次品率为5%,加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2:3,从这些零件中任取一个.
（1）求这个零件是次品的概率;
（2）已知这个零件是次品,求它是第一台车床加工的概率.
19．北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核,记考核成绩不小于80分的为优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩,如下表:
成绩
人数 5 5 15 25 10
（1）从参加培训的学生中随机选取1人,请根据表中数据,估计这名学生考核优秀的概率;
（2）用分层抽样的方法,在考核成绩为的学生中任取8人,再从这8人中随机选取4人,记取到考核成绩在的学生数为X,求X的分布列.
参考答案
1．答案：C
解析：.
故选:C.
2．答案：C
解析：每个不同小球都有5种不同放法,故共有种不同放法.
故选:C.
3．答案：A
解析：因为函数在点处的切线方程为,
所以,且,所以,
所以.
故选:A
4．答案：D
解析：因为甲,乙,丙三人被该公司录取的概率分别是,,,且三人录取结果相互之间没有影响,所以他们三人都没有被录取的概率为,故他们三人中至少有一人被录取的概率为.
故选:D
5．答案：C
解析：由,得,
由于曲线在点处的切线的倾斜角为,
故,,
故选:C
6．答案：D
解析：展开式的通项为.
令,得,则;
令,得,则;
故的展开式中的常数项是.
故选:D.
7．答案：C
解析：设事件“第1次摸到红球”，“第2次摸到蓝球”，则.
8．答案：B
解析：因为,
令,解得或;令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以的两个极值点为,故排除选项A和选项D,
当时,,,所以恒正,排除选项C,
即只有选项B符合要求.
故选:B.
9．答案：BC
解析：,,,
,故AD错误,BC正确.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：对于A中,由分布列的性质,可得,解得,所以A正确;
对于B中,若,可得,则,故B正确;
对于C中,由概率的定义知,所以C不正确;
对于D中,由,,则,所以D正确.
故选:ABD.
11．答案：BC
解析：根据组合数公式,则或,
解得,经检验符合题意;故A错B对;
令,则的展开式中,各项系数和为0,故C对D错.
故选:BC.
12．答案：6
解析：因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大,
根据二项展开式的性质,可得中间项的二项式系数最大,所以展开式一共有7项,
所以n为偶数且,可得.
故答案为:6.
13．答案：
解析：，因为函数在区间上单调递减，
所以，恒成立，即，.
又在上单调递减，所以，故，即，
所以m的取值范围为.
14．答案：
解析：设(,2)表示从第i箱取到的零件是次品,B表示从第一箱中取零件,表示从第二箱中取零件,
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是:
.
故答案为:.
15．答案：（1）576
（2）1440
（3）840
解析：（1）将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有种方法,
再将名女生进行全排列,也有种方法,
故共有种排法.
（2）男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有种方法,
再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有种方法,
故共有种排法.
（3）从7个位置中选四个安排除甲,乙,丙以外的4个人,有种方法,
剩下的三个位置从左至右依次安排甲,乙,丙,仅有一种安排,
故共有种排法
16．答案：（1）;
（2）答案见解析.
解析：（1）当时,,求导得,则,,
所以曲线在处的切线方程为,即.
（2）函数的定义域为,求导得,
当时,恒有,因此在上单调递增;
当时,由,得,单调递增,由,得,单调递减,
所以当时,函数的递增区间是;
当时,函数的递增区间是,递减区间是.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题设,,整理得,解得(舍)或;
（2）由（1）知:二项式展开式通项为,
当时为含x的项,故,解得.
18．答案：（1）0.054
（2）
解析：（1）记事件:第一台车床加工零件,记事件:第二台车床加工的零件,
记事件B:这个零件是次品,
由题意可得,,,,
由全概率公式可得:
.
（2）由（1）知,已知这个零件是次品,它是第一台车床加工的概率为
.
19．答案：（1）
（2）分布列见解析
解析：（1）设“该名学生考核成绩优秀”为事件A,
由已知60名同学的成绩中,优秀的有35名同学,所以,
可以估计这名学生考核优秀的概率为;
（2）由已知,用分层抽样方法,在考核成绩为的学生中任取8人,
则考核成绩在的学生应抽取人,在的学生应抽取5人,
由题意可得X的所有可能取值为1,2,3,4,
所以,,
,,
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P