江西省科技学院附属中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含解析）

江科附中2023-2024学年度下学期5月份月考试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列说法不正确的是（ ）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
3．已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C．1 D．13
4．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角的对边分别为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知锐角中，内角的对边分别为，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．复数满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知锐角的三个内角的对边分别是，且的面积为．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的取值范围为
C．若，则的外接圆的半径为2
D．若，则的面积的取值范围为
11．已知点为直四棱柱表面上一动点，四边形为正方形，为的中点，为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为
B．过三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形
C．若平面，则点的轨迹长度为
D．若动点到棱的距离为，则点的轨迹长度为
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数满足，则的虚部为_______．
13．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是_______．
14．如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面．则线段长度的最大值与最小值之和为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知分别为的三个内角的对边，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积．
16．如图，，是的中点，与交于点．
（1）用表示；
（2）设，求的值．
17．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，且，．
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由．
18．为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知．
（1）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
（2）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
19．任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为：，则：．如果令，则能导出复数乘方公式：．请用以上知识解决以下问题．
（1）试将写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
（3）计算：的值．
江科附中2023-2024学年度下学期5月份月考试卷
高一数学参考答案
1．A
【详解】由可得，故在复平面内对应的点为，故对应的点为第一象限，
2．C
【详解】对于A，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；
对于B，根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确；
对于C，用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误；
对于D，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确；
3．B
【详解】根据题意，，
则．
4．A
【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为：
即，
5．A
【详解】如图，在直观图中过点，作交于点，
因为，
所以，即
将直观图还原为平面图如下：
则，
所以．
故选：A
6．D
【详解】由及正弦定理得，即，
由及余弦定理可得，
．
又．
故选：D．
7．B
【详解】如图，取中点中点，连接
在直三棱柱中，，所以平面，平面，所以，则
因为分别为中点，所以
又可得，则四边形为平行四边形
所以，则为异面直线与所成的角或其补角
由平面平面，可得，所以，
在中，，由余弦定理得
，
所以，
所以在中，由余弦定理得
所以异面直线与所成的角的余弦值．
8．C
【详解】由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，则，所以，，
又因为函数在内单调递增，所以，，可得，
由于为锐角三角形，则即，解得，
，
因为，则，
因为存在最大值，则，解得．
9．ABD
【详解】由，可得，则，解得，
所以，故选项A，D正确．
当时，，当时，，故选项B正确，选项C错误．
10．ABD
【详解】对A：由题意可得，由余弦定理可得，
即有，即，
由，故，即，故A正确；
对B：则，解得，故B正确；
对C：由正弦定理可得，即，故C错误；
对D：若，则，
由正弦定理可得，即，
即
，
由，则，故，故D正确．
11．ABD
【详解】选项A：如图1，取的中点，连接，则过三点的平面截该四棱柱所得的截面为等腰梯形，理由如下：
连接，因为分别是和的中点，所以，
又在平行四边形中，，所以，则四点共面，
因为，所以，
则等腰梯形的高，
所以等腰梯形的面积，所以A正确；
选项B：如图2，连接并延长，交的延长线于，连接交于，连接，取靠近的四等分点，连接，则五边形即过三点的平面截该四棱柱所得的截面，理由如下：
作的中点，连接和，作的中点，连接和，
则有，所以四边形是平行四边形，即，
又有，所以，
所以四边形是平行四边形，即，则，
所以四点共面，
由题可知平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
又因为是靠近的四等分点，是的中点，所以，
则，所以五点共面，所以B正确；
选项C：如图3，分别取的中点，连接，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又平面平面，
所以平面平面，
则点的轨迹为，所以点的轨迹长度为，故C错误；
选项D：如图4，若动点到棱的距离为，则点的轨迹长度为两个以为半径的圆的周长的再加上两个侧棱的长度，即，所以D正确．
故选：ABD．
12．1
【详解】由，得，故的虚部为1，
13．
【详解】在中，，
由正弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，所以．
14．
【详解】如下图所示：
分别取棱的中点，连接，连接，
为所在棱的中点，，
，又平面平面，
平面；
四边形为平行四边形，
，又平面平面，
平面，
又平面平面，
是侧面内一点，且平面，
则必在线段上，
在中，，
同理，在中，求得，
为等腰三角形，
当在中点时，此时最短，位于处时最长，
，
，
所以线段长度的是大值与最小值之和为，
15．（1） （2）
【详解】（1）由余弦定理，
所以，又，所以．
（2）因为，所以，
因为，由已知得，故，故，
所以．
16．（1）；（2）
【详解】（1）依题意，．
（2）依题意，，而三点共线，则．
17．【详解】（1）在上取点，使得，连接
在中，点分别为上的三等分点，则有
又面面
由线面平行的判定定理：面
又且四边形为平行四边形
则有，又面面面
由于面面面面
又面面
（2）假设在棱上存在点，使得面
连接，交于
面面，面面
由线面平行的性质定理：
则在中，，易知，
点为棱的中点．
18．（1） （2）时，的面积取最小值为
【详解】（1），
，
在中，由余弦定理可得：，则，护栏的长度（的周长）为；
（2）设，因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，
由，得，所以，即；
（3）设，由（2）知，
中，由外角定理可得，
又在中，由，得，
所以
，所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为．
19．（1） （2）推导过程见解析 （3）
【详解】（1）由于，故，
则；
（2）设模为1的复数为，
则
，
由复数乘方公式可得，
故；
（3）首先证明：；
由于，则，
则，故
，
则可得
，
，
所以
．