2.4线段的垂直平分线(一)
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．
2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
(二)思维训练要求
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．
3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
(三)情感与价值观要求
1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．
2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
教学难点
写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它．
教具准备
多媒体演示、直尺、圆规
教学过程
Ⅰ．创设现实情境，引入新课
教师用多媒体演示：
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
[生]校址应建在线段AB的垂直平分线与BC垂直平分线的交点上．
[师]同学们认同他的看法吗？
[生]是的
[师]认为对的说说你的理由是什么呢？
[生]我们在2.2节时学过轴对称：知道了图形的全等的。所以线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“校址P点距离三个村庄都相等”利用此性质就能完成．
[师]（边说边用折纸的方法再现定理）这位同学分析得很好，我们在刚刚研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？
下面给大家3分钟的时间自学，自学指导如下：
自学指导：自学课本P45----P47页，小组完成下列问题
1.线段是轴对称图形吗？线段垂直平分线的定义是什么？你能用数学符号语言描述线段垂直平分线的定义吗？
2.线段垂直平分线的性质是什么？在性质的探究（2）中，对于垂直平分线上的任意一点P分了哪两种情况？你能用几何证明的方法来说明吗？
3.到线段两端距离相等的点一定在线段的垂直平分线上吗？也需要分类探究吗？请你说明一下。
4.如何用尺规做出已知线段的垂直平分线？明确作图方法及步骤；在作图过程中，为什么必须以大于 1/2 AB的长为半径画弧呢？
Ⅱ．讲述新课
[第一部分] 线段垂直平分线的定义
[师] 线段垂直平分线的定义：
文字语言：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
符号语言：∵MN⊥AB，垂足为O
且AO=BO
∴直线MN是线段AB的垂直平分线
[第二部分] 线段垂直平分线的性质定理
问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？
（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想）
②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？
③谁能帮老师分析一下证明思路？
[生]（思考回答）
[师生共析]
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．求证：PA＝PB．
分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：（1）当P点在AB上时
∵MN是线段AB的垂直平分线
∴P为线段AB的中点
∴PA=PB
（2）当P点不在AB上时
连接PA，PB
∵MN为线段AB的垂直平分线
∴∠AOP= ∠BOP=90 o，AO=BO
在△AOP与△BOP中
AO=BO
∠AOP= ∠BOP
OP=OP
∴ △AOP ≌ △BOP（SAS）
∴ PA=PB
[师]既然我们证明了性质定理，那么该定理的符号语言，文字语言，图形语言是什么呢？引导启发学生思考，与学生共同完成。教师板书。
【牛刀小试一】
1、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°，则∠CAE= .
[第三部分] 线段垂直平分线的判定定理
教师用多媒体完整演示证明过程．同时，引导学生写出符号语言，文字语言，图形语言，学会分析使用定理。教师板书。
【牛刀小试二】
已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平
分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
[第四部分] 用尺规作线段垂直平分线
通过自学，学生已经基本掌握了作图方法。
教师多媒体演示：
<一>画线段垂直平分线
尺规画法
①分别以点A、B为圆心，大于?AB长为半径画弧交于点M、N
②过点M、N作直线. 则直线MN就是线段AB的垂直平分线(如图)
<二>想一想 1、作法中为什么要“大于?AB长为半径”呢？ 2、为什么这样作出的直线就是线段AB的垂直平分线呢？
问题1：
假若以A,B为圆心，
当小于?AB长为半径画弧时，则两弧无交点
当等于?AB长为半径画弧时，则两弧只有一个交点
而确定垂直平分线需要两点，故以上均不能作出线段的垂直平分线。
问题2、作线段垂直平分线的理论依据：判定定理---->到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
[师]根据上面作法中的步骤，请你说明MN为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．
[生]从作法的第一步可知
MA＝MB，NA＝NB．
∴M、N都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．
∴MN就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．
[师]回扣本节开始时的问题：问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
Ⅲ．收获，分享！
Ⅳ．当堂检测
1、如图，在△ABC中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等于______．
2、如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，则△BCD的周长______。
3、如下图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC.BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
Ⅴ．课后作业
P47 练习第1、2、题
Ⅵ．板书设计
2.4线段的垂直平分线(一)
一、线段垂直平分线的定义．
符号语言：
文字语言：
图形语言：
二、线段垂直平分线的性质定理．
符号语言：
文字语言：
图形语言：
作用：
三、线段垂直平分线的判定定理．
符号语言：
文字语言：
图形语言：
作用：
四、用尺规作线段的垂直平分线．
当堂检测
1、如图，在△ABC中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等于______．
2、如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，则△BCD的周长______。
3、如下图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC.BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
课件17张PPT。2.4 线段的垂直平分线问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.???ABC学习目标：
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
3．会用尺规作一条线段的垂直平分线，了解作图的道理．自学指导：自学课本P45----P47页，小组完成下列问题1.线段是轴对称图形吗？线段垂直平分线的定义是什么？你能用数学符号语言描述线段垂直平分线的定义吗？
2.线段垂直平分线的性质是什么？在性质的探究（2）中，对于垂直平分线上的任意一点P分了哪两种情况？你能用几何证明的方法来说明吗？
3.到线段两端距离相等的点一定在线段的垂直平分线上吗？也需要分类探究吗？请你说明一下。
4.如何用尺规做出已知线段的垂直平分线？明确作图方法及步骤；在作图过程中，为什么必须以大于 1/2 AB的长为半径画弧呢？文字语言：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线MNO符号语言：∵MN⊥AB，垂足为O
且AO=BO
∴直线MN是线段AB的垂直平分线反过来：∵直线MN是线段AB的垂直平分线
∴MN⊥AB，AO=BO
即：∠AOM= ∠BOM=90o
AO=BO一、线段垂直平分线的定义线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。MNP已知：线段AB，直线MN是线段AB的垂直平分线
交点为O，P为MN上任意一点
求证：PA=PB证明：（1）当P点在AB上时
∵MN是线段AB的垂直平分线
∴P为线段AB的中点
∴PA=PB （2）当P点不在AB上时
连接PA，PB
∵MN为线段AB的垂直平分线
∴∠AOP= ∠BOP=90 o，AO=BO
在△AOP与△BOP中
AO=BO
∠AOP= ∠BOP
OP=OP
MNPO∴ △AOP ≌ △BOP（SAS）
∴ PA=PB二、线段垂直平分线的性质1、如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cmC2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°，则∠CAE= .50°到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上互逆关系?已知：线段AB和任意一点P，满足PA=PB
求证：P点在线段的垂直平分线上P证明：(1)当P在线段AB上时
∵PA=PB
∴P为线段AB的中点
∴点P在线段AB的垂直平分线上（2）当点P不在AB上时
取AB的中点O，连接PO
∵O为AB的中点
∴AO=BO
在△AOP与△BOP中
AO=BO
OP=OP
PA=PB
∴ △AOP ≌ △BOP(SSS)?P?O∴ ∠AOP= ∠ BOP
∵ ∠AOP+ ∠ BOP=180 o
∴ ∠AOP=∠ BOP=90o
∴PO是线段AB的垂直平分线
即P在线段AB的垂直平分线上
三、线段垂直平分线的判定 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平
分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴ OA=OB.同理OB=OC.∴ OA=OC.∴ 点O在AC的垂直平分线上.四、线段垂直平分线的画法<一>画线段垂直平分线
尺规画法
①分别以点A、B为圆心，大于?AB长为半径画弧交于点M、N
②过点M、N作直线. 则直线MN就是线段AB的垂直平分线(如图)ABMNO<二>想一想 1、作法中为什么要“大于?AB长为半径”呢？ 2、为什么这样作出的直线就是线段AB的垂直平分线呢？作法中为什么要“大于?AB长为半径画弧”呢？假若以A,B为圆心，
当小于?AB长为半径画弧时，则两弧无交点
当等于?AB长为半径画弧时，则两弧只有一个交点
而确定垂直平分线需要两点，故以上均不能作出线段的垂直平分线。问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.???ABC点P为校址收获，分享！1、如图，在△ABC中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等于______．82、如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，则△BCD的周长______。193、如下图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC.BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处C感谢聆听！
