专题19长方体和正方体课件(共45张PPT)2024年小升初数学复习讲练测（通用版）

(共45张PPT)
第七章 立体图形的认识与测量
专题19 长方体和正方体
小 升 初
【例1】一个长方体的棱长总和是72厘米，长、宽、高的比是3:2:4。则这个长方体的高是（ ）厘米。
长方体的棱长总和等于（长＋宽＋高）×4，所以先用棱长总和除以4求出长、宽、高的和。然后根据长、宽、高的比，求出总份数，用长、宽、高的和除以总份数，再分别乘高所占的份数即可求出高。
（72÷4）×
＝18×
＝8（厘米）
8
【例2】一个长方体的长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米。一个正方体和这个长方体的棱长总和相等，那么正方体的体积是多少立方分米？
先根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和；因为正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和，正方体有12条棱且每条棱相等，所以用棱长总和÷12可以求出正方体的棱长；再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可得正方体体积。
【例2】一个长方体的长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米。一个正方体和这个长方体的棱长总和相等，那么正方体的体积是多少立方分米？
（3＋2＋4）×4
＝9×4
＝36（分米）
36÷12＝3（分米）
3×3×3
＝9×3
＝27（立方分米）
答：正方体的体积是27立方分米。
【例3】如图，在一个正方体的相邻两个面上画了两条对角线AC和AB，那么这两条对角线的夹角是（ ）°。
由于是正方体，那么它上面所有的正方形的对角线都是相等的。AB，AC，再加上左面的正方形的对角线，正好组成一个等边三角形，所以这两条对角线的夹角为60°。
60
【例4】一个正方体的每个面分别标有数字1、2、3、4、5、6。根据下图中三种状态所显示的数字，和“6” 相对的数字是（ ）。
A.2 B.3 C.4 D.5
观察正方体可知， 与“1”相对的是“5”，与“3”相对的是“6”，与“2”相对的是“4”。
C
1、用下面的硬纸板沿虚线折叠拼成一个立方体，则“5”的对面是（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4
将硬纸板沿虚线折叠拼成一个立方体后，数字“1”与“4”相对，“3”与“5”相对，“2”与“6”相对。
C
2、用一根长96厘米的铁丝正好围成一个正方体框架，则相交于同一个顶点的所有棱长的和是（ ）厘米。
用铁丝围成框架，铁丝的长度就是正方体的棱长总和。因为正方体有12条棱且都相等，所以用棱长总和除以12可得到每条棱的长度，而相交于一个顶点的所有棱长的和也就是每条棱的长度的3倍。
96÷12×3
＝8×3
＝24（厘米）
8
3、一个长方体的棱长总和是116厘米，则相交于同一个顶点的所有棱长的和是（ ）厘米。
长方体有8个顶点，相交于同一个顶点的棱有3条，分别叫做长方体的长、宽、高。长方体的棱长总和等于相交于一个顶点的三条棱的和的4倍。那么相交于同一个顶点的所有棱长的和是：116÷4＝29（厘米）。
29
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、长方体的表面积
长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2
【例5】一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、5厘米、3厘米，如果把这个长方体平均分成两个小长方体，表面积最少会增加（ ）平方厘米；最多会增加（ ）平方厘米。
把一个长方体平均分成两个小长方体，会增加两个面，要使增加的表面积最少，则增加的两个面是原长方体中较小的两个面，即长为5厘米、宽为3厘米的面，那么增加的表面积为
2×5×3
＝10×3
＝30（平方厘米）
30
【例5】一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、5厘米、3厘米，如果把这个长方体平均分成两个小长方体，表面积最少会增加（ ）平方厘米；最多会增加（ ）平方厘米。
要使增加的表面积最多，则增加的两个面是原长方体中较大的两个面，即长为10厘米、宽为5厘米的面，那么增加的表面积为
2×10×5
＝20×5
＝100 平方厘米
30
100
【例6】一间客厅长8米，宽5米，高3米。
（1）客厅准备用边长5分米的方砖铺地面，需要多少块？
（1）先统一单位，将客厅的长和宽换算成分米，求出客厅地面的面积，再求出每块方砖的面积，用客厅地面面积除以每块方砖面积即可得到方砖数量。
8米＝80分米
5米＝50分米
80×50÷（5×5）
＝4000÷25
＝160（块）
答：需要160块。
【例6】一间客厅长8米，宽5米，高3米。
（2）准备粉刷客厅的四周墙壁和顶面，门窗、电视墙等12平方米不粉刷，实际粉刷的面积是多少平方米？
（2）求出客厅四周墙壁和顶面的总面积，减去不粉刷的面积，就是实际粉刷的面积。
8×5＋[2×（8×3＋5×3）]
＝40＋2×39
＝40＋78
＝118（平方米）
118－12＝106（平方米）
答：实际粉刷的面积是106平方米。
【例7】用8个棱长是1分米的小正方体可以搭成不同的长方体，体积都是（ ）立方分米。在所有搭成的长方体中，表面积最大是（ ）平方分米。
用小正方体搭成不同的长方体，无论怎么搭，体积都等于小正方体体积之和。8个棱长1分米的小正方体体积为：
8×（1×1×1）
＝8×1
＝8（立方分米）
所以搭成的长方体体积都是8立方分米。
8
【例7】用8个棱长是1分米的小正方体可以搭成不同的长方体，体积都是（ ）立方分米。在所有搭成的长方体中，表面积最大是（ ）平方分米。
要使表面积最大，则把8个小正方体排成一排，这样长方体的长是8 分米、宽是1分米、高是1分米，表面积为：
（8×1＋8×1＋1×1）×2
＝（8＋8＋1）×2
＝（16＋1）×2
＝34（平方分米）
8
34
【例9】要修建一个长方体花坛，在比例尺是1:40的设计图上，花坛的长为12厘米，宽为8厘米，高为2厘米。按图施工完成后，如果在这个花坛的底面和四周贴上瓷砖，那么贴瓷砖部分的面积是多少平方米？
首先根据比例尺算出实际的长、宽、高。然后求出底面面积和四周面积，四周面积为前后两个面的面积加左右两个面的面积，最后将底面和四周面积相加就是贴瓷砖部分的面积，注意单位换算。
【例9】要修建一个长方体花坛，在比例尺是1:40的设计图上，花坛的长为12厘米，宽为8厘米，高为2厘米。按图施工完成后，如果在这个花坛的底面和四周贴上瓷砖，那么贴瓷砖部分的面积是多少平方米？
12×40＝480（厘米）＝4.8（米）
8×40＝320（厘米）＝3.2（米）
2×40＝80（厘米）＝0.8（米）
4.8×3.2＋4.8×0.8×2＋3.2×0.8×2
＝15.36＋7.68＋5.12
＝28.16（平方米）
答：贴瓷砖部分的面积是28.16平方米。
1、用铁丝做一个长40厘米，宽30厘米，高20厘米的长方体框架，需要用（ ）厘米长的铁丝。如果要在这个框架外面包一层纸板，至少需要纸板（ ）平方厘米。（接口处忽略不计）
求铁丝长度就是求长方体的棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；
（40＋30＋20）×4
＝（70＋20）×4
＝90×4
＝360（厘米）
360
1、用铁丝做一个长40厘米，宽30厘米，高20厘米的长方体框架，需要用（ ）厘米长的铁丝。如果要在这个框架外面包一层纸板，至少需要纸板（ ）平方厘米。（接口处忽略不计）
求纸板面积就是求长方体的表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
（40×30＋40×20＋30×20）×2
＝（1200＋800＋600）×2
＝（2000＋600）×2
＝2600×2
＝5200（平方厘米）
360
5200
2、把一个长方体铁块截成三个完全一样的正方体，这三个正方体的棱长之和比原来长方体增加了72厘米，原来长方体铁块的表面积是多少平方厘米？
把长方体截成三个完全一样的正方体，会增加 4 个正方形的面，也就是增加了16条正方体的棱，已知增加的棱长之和是72厘米，那么可求出正方体的棱长为72÷16＝4.5厘米。原来长方体的长是正方体棱长的3倍，即13.5厘米，宽和高都是正方体棱长4.5厘米，然后根据长方体表面积公式可求出表面积。
2、把一个长方体铁块截成三个完全一样的正方体，这三个正方体的棱长之和比原来长方体增加了72厘米，原来长方体铁块的表面积是多少平方厘米？
72÷16＝4.5（厘米）
4.5×3＝13.5（厘米）
（13.5×4.5＋13.5×4.5＋4.5×4.5）×2
＝（60.75＋60.75＋20.25）×2
＝141.75×2
＝283.5（平方厘米）
答：原来长方体铁块的表面积是283.5平方厘米。
正方体的表面积
正方体的表面积＝棱长×棱长×6
用字母表示：S＝6a2
【例10】将一个正方体木块切成27个相等的小正方体后，表面积增加108平方厘米，原来正方体的体积是（ ）立方厘米
把一个大正方体切成27个小正方体，需要切6次，每切一次增加两个大正方体的面，所以共增加了12个大正方体的面。已知表面积增加了108平方厘米，那么一个面的面积是108÷12＝9平方厘米，由此可求出大正方体的棱长为3厘米，再根据正方体体积公式求出正方体的体积：3×3×3＝27（立方厘米）。
27
【例11】从一个长方体中切下一个体积是48立方厘米的小长方体，剩下的部分刚好是一个棱长4厘米的正方体，那么原来长方体的表面积是多少平方厘米？
剩下部分是一个棱长4厘米的正方体，说明原来长方体底面是边长为4厘米的正方形，截下的小长方体的高可通过体积除以底面积求出，进而求出原来长方体的高，然后根据长方体表面积公式求解。
【例11】从一个长方体中切下一个体积是48立方厘米的小长方体，剩下的部分刚好是一个棱长4厘米的正方体，那么原来长方体的表面积是多少平方厘米？
48÷（4×4）
＝48÷16
＝3（厘米）
4＋3＝7（厘米），
4×4×2＋4×7×4
＝32＋112
＝144（平方厘米）
答：原来长方体的表面积是144平方厘米。
【例12】两个正方体棱长比是5:3，那么表面积的比是（ ），体积的比是（ ）。
根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设大正方体的棱长为5a，小正方体的棱长为3a，则大正方体的表面积为 6×（5a）×（5a）＝150a ，小正方体的表面积为 6×（3a）×（3a）＝54a ，所以表面积之比为 150a :54a ＝25:9；
根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，可得大正方体的体积为（5a）×（5a）×（5a）＝125a ，小正方体的体积为（3a）×（3a）×（3a）＝27a ，所以体积之比为 125a :27a ＝125:27。
25:9
125:27
1、把一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的表面积就扩大到原来的（ ）倍。
A.3 B.6 C.9 D.12
设原正方体的棱长为a，原正方体的表面积为6a 。当棱长扩大到原来的3倍时，新正方体的棱长为3a。新正方体的表面积为：
6×（3a）
＝6×9a
＝54a
则新表面积是原表面积的54a ÷6a ＝9倍。
C
2、用铁丝做一个棱长为3分米的正方体盒子框架，要给这个盒子框架除顶面外的其它面贴上装饰纸，至少需要多少平方分米的装饰纸？（接头处损耗忽略不计）
要求除顶面外其它面的面积，先求出正方体一个面的面积，正方体一个面的面积＝棱长×棱长，再求出除顶面外其它5个面的面积之和。
3×3＝9（平方分米）
9×5＝45（平方分米）
答：至少需要 45 平方分米的装饰纸。
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）和立方米（m3）。
3、长方体的体积＝长×宽×高
用字母表示：V＝abh
【例13】一个长方体木块长8厘米、宽7厘米、高6厘米，把它削成一个最大的正方体，削去部分的体积是（ ）立方厘米。
要把长方体削成一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长应取长方体长、宽、高的最小值，所以削成的最大正方体棱长为6厘米。先根据长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出削成的正方体的体积，最后用长方体体积减去正方体体积就是削去部分的体积。
8×7×6－6×6×6
＝336－216（立方厘米）
＝120（立方厘米）
120
【例14】用一条长96厘米的铁丝做成一个长、宽、高的比为 3:2:1的长方体框架，在每个面都用铁皮封上做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少立方厘米？
长方体有4条长、4条宽、4条高，用铁丝的总长度除以4可得长、宽、高的和。再根据长、宽、高的比例关系，求出长、宽、高各自的值，最后利用长方体体积公式求出体积。
【例14】用一条长96厘米的铁丝做成一个长、宽、高的比为 3:2:1的长方体框架，在每个面都用铁皮封上做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少立方厘米？
96÷4＝24（厘米）
24×＝12（厘米）
24×＝8（厘米）
24×＝4（厘米）
12×8×4
＝96×4
＝384（立方厘米）
答：这个铁盒的体积是384立方厘米。
【例15】往一个长10分米、宽8分米、高6分米的长方体鱼缸内倒入4分米深的水，然后放入一个棱长为4分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？
正方体铁块放入容器中会使水位上升，上升的水的体积就等于正方体铁块的体积。先根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积；再根据长方形的面积＝长×宽求出长方体容器的底面积；然后用正方体铁块的体积除以长方体容器的底面积，就可得到水位上升的高度。
【例15】往一个长10分米、宽8分米、高6分米的长方体鱼缸内倒入4分米深的水，然后放入一个棱长为4分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？
4×4×4÷（10×8）
＝64÷80
＝0.8（分米）
答：水位上升了0.8分米。
1、要挖一个长方体形状的蓄水池，蓄水池长8米，宽4米，深1.5米，如果每立方米土重1.3吨，挖这个蓄水池一共要挖出（ ）吨土。
要求挖出的土的重量，先要求出挖出的土的体积，也就是这个长方体蓄水池的体积，长方体体积＝长×宽×高，然后用体积乘每立方米土的重量即可。
8×4×1.5
＝32×1.5
＝48（立方米）
1.3×48＝62.4（吨）
62.4
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
用字母表示：V＝a3
【例16】把一个正方体木块加工成一个最大的圆锥形木块，若圆锥形木块的底面直径是10厘米，求原来这个正方体木块的体积是（ ）立方厘米。
要把正方体加工成最大的圆锥形，那么这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。已知圆锥底面直径为10厘米，即正方体棱长为10厘米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可求出正方体的体积：10×10×10＝1000（立方厘米）
1000
【例17】用4个大小完全相同的小正方体木块拼成一个长方体（如图），表面积减少了32平方厘米，则一个小正方体的体积是多少立方厘米？
4个小正方体拼成一个长方体，会减少8个面。表面积减少了32平方厘米，那么一个面的面积是32÷8＝4平方厘米，因为正方形面积＝边长×边长，所以可得小正方体的棱长为2厘米，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可求出小正方体体积。
【例17】用4个大小完全相同的小正方体木块拼成一个长方体（如图），表面积减少了32平方厘米，则一个小正方体的体积是多少立方厘米？
32÷8＝4（平方厘米）
因为2×2＝4，所以小正方体棱长为2厘米。
2×2×2
＝4×2
＝8（立方厘米）
答：一个小正方体的体积是8立方厘米。
【例18】一个长10cm，宽8cm，高4cm的长方体木块可以切成（ ）个棱长为2cm的正方体木块。
分别用长方体的长、宽、高除以正方体的棱长，得到的商相乘就是可以切成的正方体木块的个数。
长可以切：10÷2＝5（个），
宽可以切：8÷2＝4（个），
高可以切：4÷2＝2（个），
所以一共可以切：5×4×2＝40（个）
40
1、将一个棱长为4分米的正方体铁块熔铸成一个圆锥（不计损耗），若圆锥的底面积是32平方分米，则圆锥的高是（ ）分米。
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，先求出正方体铁块的体积，也就是圆锥的体积。再根据圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积即可求出答案。
4×4×4×3÷32
＝64×3÷32
＝6（分米）
6
每一份努力，都将在学习中得到最好的回报。加油！