2024年四川省泸州市纳溪区中考数学适应性试卷（含解析）

2024年四川省泸州市纳溪区中考数学适应性试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.“山河明月醉酒城”被称为纳溪的“不夜城”，据初步统计年春节假期期间累计接待游客约人次，请将用科学记数法表示( )
A. B. C. D.
3.如图，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.下列几何体中，主视图是三角形的为( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.一组数据，，，有唯一众数，且中位数是，则平均数是( )
A. B. C. D.
7.如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在 中，平分，交于点，交的延长线于点，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的值是( )
A. B. C. D.
10.如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
11.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接为半径，与相切，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
12.抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.因式分解： ．
14.请写出一个正整数 ______的值，使得是整数．
15.关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是______．
16.如图，已知是的直径，是的切线，交于点，，，则的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
如图，，，求证：．
19.本小题分
化简：．
20.本小题分
睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容为了解学生午休情况，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天午休的时间单位：分钟进行调查将调查数据进行整理后分为五组，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
记各组午休时间为分钟
组：
组：
组：
组：
组：
根据以上信息，解答下列问题：
这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是______；
若该学校有名学生，请你估计该中学一周平均每天午休时间不超过分钟的有多少人？
21.本小题分
“六一”儿童节将至，张老板计划购买型玩具和型玩具进行销售，若用元购买型玩具的数量比用元购买型玩具的数量多个，且一个型玩具的进价是一个型玩具进价的倍．
求型玩具和型玩具的进价分别是多少？
若型玩具的售价为元个，型玩具的售价为元个，张老板购进，型玩具共个，要使总利润不低于元，则型玩具最多购进多少个？
22.本小题分
某商店窗前计划安装如图所示的遮阳棚，其截面图如图所示，在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为若经过点的光线恰好照射在地面点处，则，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度结果精确到，参考数据：
23.本小题分
如图，已知反比例函数的图象经过、两点，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在平行四边形的对角线上．
求反比例函数的解析式；
已知平行四边形的面积是，求点的坐标．
24.本小题分
如图，是的直径，是上异于、的点外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且设的面积为，的面积为．
判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
若，，求常数的值．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
求抛物线的解析式；
当点在直线上方的抛物线上时，连接交于点如图，当的值最大时，求点的坐标及的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以的倒数是．
故选：．
根据乘积是的两个数互为倒数计算即可得解．
本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为，
故选：．
根据科学记数法的方法进行解题即可．
此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
3.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
，
；
故选：．
根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，结合对顶角相等，进行求解即可．
本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的应用．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了由几何体判定三视图，根据已知得出三视图是解决问题的关键．根据主视图的观察角度，从物体的正面观察，即可得出答案．
【解答】
解：、其主视图是三角形，故此选项正确；
B、其主视图是圆形，故此选项错误；
C、其主视图是正方形，故此选项错误；
D、其主视图是矩形，故此选项错误．
5.【答案】
【解析】解：、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：．
根据完全平方公式、合并同类项的方法、幂的乘法与积的乘法法则、同底数幂的除法法则进行解题即可．
本题考查了积的乘方、同底数幂相除、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一组数据，，，有唯一众数，且中位数是，
，
平均数是，
故选：．
根据中位数、众数、平均数的定义及公式进行计算即可求出答案．
本题考查平均数，众数，中位数，解题的关键是掌握平均数，众数，中位数的意义．
7.【答案】
【解析】解：正五边形的边长为，
，，
阴影部分的面积为，
故选：．
由题意得出，，再由扇形面积公式计算即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和问题、求扇形面积，关键是扇形面积公式的应用．
8.【答案】
【解析】证明：在 中，，
，
平分，
，
，
．
，
；
故选：．
根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；再进一步可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
9.【答案】
【解析】解：有两个不相等的实数根，
，
即，
，，
，
即，
解得，与相矛盾，故舍去，
故选：．
先得出，解出，结合，即，解出实数的值是，即可作答．
本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，熟知以上知识是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点是的中点，线段，
，
点表示的数是，且点在点的右边，
，
即点表示的数是，
故选：．
先根据点是的中点，线段，得出，结合点表示的数是，以及数轴信息，得出，即可作答．
本题考查了实数与数轴，解答本题的关键是能准确理解并运用该知识．
11.【答案】
【解析】解：点关于的对称点为，
，，
四边形是矩形，
，
，
；
设与切于点，连接，并延长交于点，如图所示，
，，
四边形是矩形，
，，，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据轴对称的性质可得，，根据四边形是矩形，得出，从而，从而得出，设与切于点，连接，并延长交于点，可证得，从而得出，进而得出，即可求解．
本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识和正确添加辅助线．
12.【答案】
【解析】解：抛物线与轴有交点，
，即，
，
解得或；
抛物线对称轴为直线 ，
当时，抛物线对称轴在直线左侧，此时抛物线与轴的一个交点为，，如图：
，
解得：，
；
当时，抛物线对称轴在直线右侧，此时抛物线与轴的一个交点为，，如图：
，
解得：，
；
综上所述，或；
故选：．
由抛物线与轴有交点，可得，故或；抛物线对称轴为直线 ，分两种情况讨论，当时，抛物线对称轴在直线左侧，当时，抛物线对称轴在直线右侧，然后可得到答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：是整数，
．
故答案为：答案不唯一
根据算术平方根的含义结合是整数可得被开方数是完全平方数，从而可得答案．
本题考查的是算术平方根的含义，掌握算术平方根的含义是关键．
15.【答案】
【解析】解：由，可得．
原不等式组的整数解仅有个，
，
解得：，
故填：．
先根据原不等式组的解集中有五个整数解，求出的取值范围，进而可得的取值范围，得出答案．
本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：是的直径，是的切线，
的度数为，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由切线的性质可求的度数，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先计算零次幂，化简二次根式，代入锐角三角函数，化简绝对值，再合并即可．
本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键．
18.【答案】证明：，
，
即．
在和中，
，
≌，
．
【解析】根据角的和差求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分即可得到答案．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】
【解析】解：；
组人数为，补全条形图如图：
故答案为：；
；
故答案为：；
人．
答：估计该中学一周平均每天午休时间不超过分钟的学生有人．
组的人数除以所占的比例求出样本容量，进而求出组人数，补全条形图即可；
组人数所占的比例进行求解即可；
利用样本估计总体的思想进行求解即可．
本题考查条形图和扇形图，能根据题意从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
21.【答案】解：设型玩具的进价为元个，则型玩具的进价是元个．
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
型玩具的进价为元个，
答：型玩具的进价是元个，型玩具的进价是元个．
设购买型玩具个，则购进型玩具个．
根据题意得，，
解得：，
答：最多可购进型玩具个．
【解析】设型玩具的单价为元件．根据用元购买型玩具的数量比用元购买型玩具的数量多个，列方程即可得到结论；
设购买型玩具个．根据张老板购进，型玩具共个，总利润不低于元，列不等式即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：过点作，垂足为，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度约为．
【解析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数；
经过点、，
可设的解析式为
将点坐标代入，，
解得：，
的解析式为，
反比例函数经过点，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标为，
的解析式为，
，
，
，
，
解得：，
．
【解析】利用待定系数法求解即可；
求出直线的解析式为，设，且，由平行四边形的性质可得，，求出，得到，结合得出，求出的值即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24.【答案】解：与相切，理由如下：
如图，连接，
，
，
是的直径，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
又为半径，
与相切；
如图，，
∽，
，
设，则，
，
，，，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】通过证明∽，可得，可证，即可求解；
设，则，由相似三角形的性质可求的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】解：把，，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
过点作轴，交于点，如图所示：
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点，
点在直线上方的抛物线上，
，
轴，
，，
∽，
，即，
当时，有最大值，
此时点的坐标为．
【解析】把，，，代入求出，，的值，进而可得解析式；
过点作轴，交于点，如图所示：待定系数法求直线的解析式为，设点的坐标为，则点，，证明∽，则，即，然后根据二次函数的图象与性质，求解作答即可．
本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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